正余弦定理例题解析：
例1．在△ABC中，如果a＝18，b＝24，A＝，则此三角形解的情况为( B ).
A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不确定
解： 由 bsinA＜a＜b 故 有两解 选B
例2．在△ABC中，a＝，b＝，A＝，则c等于( C ).
A. 2 B. C. 2或 D. 以上都不对
解： 由 bsinA＜a＜b 故 有两解 选C
例3．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角是( B ).
A. B. C. D.
解：设a＝3k，b＝5k，c＝7k，由余弦定理易求得cosC＝-，所以最大角C为.
例4．(1) 在△ABC中，若B＝，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是_____.
(2) △ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是_____.
解：(1) sinC＝，于是C＝或，故A＝或，
由S△ABC＝可得答案2或.
(2) 如图所示，由已知得BC＝2AB，又
∴ sinC＝≤ 又∵ 0＜C＜A ∴ 0＜C≤
例5．在△ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A＝2absinC
证明：由正弦定理知
故原式成立.
例6．在锐角三角形ABC中，A，B，C是其三个内角，记 求证：S＜1
证明： ∵
∵ ，∴ ，∴ cotB＜tanA即＞1，∴ S＜1.
例7．在△ABC中，如果lga-lgc＝lgsinB＝-lg，且B为锐角，判断此三角形的形状.
解：由lga-lgc＝lgsinB＝-lg，得 sinB＝，
又B为锐角，∴ B＝，又 得，
∴ sinC＝2sinA＝2sin(-C)， ∴ sinC＝sinC+cosC，
∴ cosC＝0 即C＝， 故此三角形是等腰直角三角形.
例8．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边.
① 若△ABC面积为，c＝2，A＝，求b，a的值.
② 若acosA＝bcosB，试判断△ABC的形状，证明你的结论.
解：① 由已知得，∴ b＝1.
由余弦定理a2＝b2+c2-2bccosA＝3，∴ a＝.
② 由正弦定理得：2RsinA＝a，2RsinB＝b，
2RsinAcosA＝2RsinBcosB 即sin2A＝sin2B，
由已知A，B为三角形内角，∴ A+B＝或A＝B，
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.
例9．如图所示，已知在梯形ABCD中AB∥CD，CD＝2, AC＝，∠BAD＝，求梯形的高.
解:作DE⊥AB于E， 则DE就是梯形的高.
∵ ∠BAD＝， ∴ 在Rt△AED中，有DE=AD ＝，即 DE＝AD. ①
下面求AD(关键)：
∵ AB∥CD，∠BAD＝， ∴ 在△ACD中，∠ADC＝，
又∵ CD＝2, AC＝，∴
即
解得AD＝3，(AD＝-5，舍).
将AD＝3代入①， 梯形的高
例10．如图所示, 在△ABC中，若c＝4, b＝7，BC边上的中线AD＝, 求边长a.
解：∵ AD是BC边上的中线，∴ 可设CD＝DB＝x.
∵ c＝4, b＝7, AD＝, ∴ 在△ACD中，有
在△ACB中，有∴
∴ x＝, ∴ a＝2x＝9.
www.(共56张PPT)
1．1 正弦定理
二、解三角形
1．解三角形时常用的结论
(1)在△ABC中，A>B ⑤________ ⑥________；(即在一个三角形中大边对大角)
(2)a＋b>c，b＋c>a，⑦________；(即在一个三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)
(3)内角和定理：△ABC中，A＋B＋C＝⑧________.
2．正弦定理的应用
利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
(1)已知两角和任意一边，求其他⑨________和⑩________；
(2)已知两边和其中一边的对角，求 ________，从而进一步求出其他的边和角．
对于第(1)类，其解是唯一确定的，一般先由三角形内角和为180°求得 ________，再利用正弦定理求其余两边；
对于第(2)类，其解不一定唯一，由于三角形的形状不能唯一确定，因而会出现 ________三种情况．
友情提示：在△ABC中，如果已知边a，b和角A，解的情况讨论如下：
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解和无解三种情况．
①A为锐角，如下图：
a
________解 ________解 ________解 ________解
②A为直角或钝角，如下图．
________解 ________解 ________解 ________解
归纳列表如下：
1.正弦定理的推导方法
对正弦定理的推导，我们可以从几何的角度进行推导．如图，以△ABC的顶点A为原点，边AC所在的射线为x轴的正半轴，建立直角坐标系．
另外，我们也可以从△ABC的外接圆来进行推导，如图．
当△ABC为直角三角形时，如图①所示，其外接圆的圆心O位于Rt△ABC的斜边AB上，R为外接圆的半径．
2．已知两边与其中一边的对角时，怎样确定三角形解的个数？
利用数形结合和三角函数知识来分析．例如：已知△ABC的两边a，b和角A解三角形时，有以下方法：
方法一：可以作图，利用数形结合加以说明．如下表所示：
具体解题时，作出已知角A，边长b，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数．
分析：从方程的观点看，正弦定理有三个等式，可视为三个方程，每个方程都含有四个量，知其三个量，便可求得第四个量．本题已知△ABC的两边和其中一边的对角，运用正弦定理可求出角A，然后再利用三角形内角和公式求得角C，进而求出边c.
[变式训练1] 在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.
[例2] △ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知b＝5，∠B＝30°，若c＝ ，解此三角形．
分析：主要考查用正、余弦定理解三角形及三角形中三角变形的技巧．
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断三角形的形状．
分析：已知条件中有边和角的混合关系，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断．
[变式训练3] 在△ABC中，若acosA＝bcosB，求证：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
分析：判断三角形形状通常从三角形内角的关系确定，也可以从三角形三边关系确定．本题可考虑把边化为角，寻找三角形角与角之间的关系，然后予以判定．
[例4] 如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.
(1)证明sinα＋cos2β＝0；
(2)若AC＝ DC，求β的值．
分析：根据等腰三角形的性质，内角和定理，结合三角公式，正、余弦定理即可解决．
解三角形的应用问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边和角的大小，从而得出实际问题的解．
[例5] (2009·辽宁卷)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，
≈1.414， ≈2.449)．
分析：本题考查了应用三角形知识求解实际问题的能力．求解此类解三角形问题首先要能够读懂题意，分析清楚题意，要能够将实际问题转化为数学问题，即解三角形问题．在具体求解过程中要能够明确三角形中的边角关系，同时要注意多解情况和计算的准确性．
解析：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1，
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.
[变式训练5] 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.正弦定理
教材：正弦定理
目的：要求学生掌握正弦定理，并能应用解斜三角形，解决实际问题。
过程：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。
那么斜三角形怎么办？——提出课题：正弦定理、余弦定理
二、1．特殊情况：直角三角形中的正弦定理：
sinA= sinB= sinC=1 即：
c= c= c= ∴==
2．能否推广到斜三角形？
证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中：
S△ABC=
两边同除以即得：==
3．用向量证明：
证二：过A作单位向量垂直于
+= 两边同乘以单位向量 (+)=
则： + =
∴|| ||cos90+|| ||cos(90C)=|| ||cos(90A)
∴ ∴=
同理：若过C作垂直于得： = ∴==
当△ABC为钝角三角形时，设 A>90 过A作单位向量垂直于向量
4．突出几点：1正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦
比相等，即：==它适合于任何三角形。
2可以证明===2R （R为△ABC外接圆半径）
3 每个等式可视为一个方程：知三求一
三、正弦定理的应用
从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
例一、在△ABC中，已知 A=45 C=30 求b（保留两个有效数字）
解略
例二、在△ABC中，已知 b=28 A=40 求B (精确到1)和c（保留两个有效数字）
解略 注意由=求出sinB=0.8999 B角有两解
例三、在△ABC中，已知 b=50 A=38 求B (精确到1)和c（保留两个有效数字）
解略 注意由b四、小结：正弦定理，两种应用
已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）
一解 两解 一解
五、作业：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
C
B
A
c
a
b
A
CV
BV
A
CV
BV
C
C
C
a
C
b
b
a
b
b
a
a
a
A
B
B
A
B1
B2
A
c
A
B正弦定理 学案
【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在RtΔABC中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即 = 。
2. 在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|= = ，即 ，同理得 ，故有 。
3. 在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|= = ，即 ，故有 。
【典例解析】
已知ΔABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小：
（1）A=600，B=450，a=10；（2）a=3,b=4,A=300；（3）a=5,b=2,B=1200；（4）b=,c=6,B=1200.
例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
【达标练习】
已知ΔABC，根据下列条件，解三角形:
(1)A=600，B=300，a=3；（2）A=450，B=750，b=8；（3）a=3，b=，A=600；
2.求证：在ΔABC中，
3.应用正弦定理证明：在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.
4．在ΔABC中，sin2A+sin2B=sin2C,求证：ΔABC是直角三角形。
参考答案
【预习达标】
1．a,b,. 2.bsinA asinB ,, ,=.
3. .bsinA asinB ,, =.
【典例解析】
例1(1)C=750，b=,c=(2)B≈41.80,C≈108.80,c≈5.7或B≈138.20，C≈11.80，c≈1.2(3)无解（4）C=450，A=150，a≈2.2
例2证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，
得，，
两式相除得
【双基达标】
1．（1）C=900，b=,c=2(2)C=1200,a=88 ,c=
(3)B=600,C=900,c=2
2．证明：设，则
3．(1)设A>B，若A≤900,由正弦函数的单调性得sinA≥sinB,又由正弦定理得a≥b；若A>900，有A+B<1800,即900>1800-A>B, 由正弦函数的单调性得sin(1800-A)>sinB,即sinA>sinB, 又由正弦定理得a>b.(2)设a>b, 由正弦定理得sinA>sinB,若B≥900,则在ΔABC中A<900,
有sinA>sin（1800-B）由正弦函数的单调性得A>1800-B,即A+B>1800,与三角形的内角和为1800相矛盾；若A≥900,则A>B；若A<900,B<900, 由正弦函数的单调性得A>B.综上得，在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.
4．略
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.
A
B
C
D
A
B
C
D
β
β
α
1800 α