2011年高二数学全案：3.1.1《不等关系》（北师大版必修5）

(共45张PPT)
1．1　不等关系
1．2　比较大小
一、不等关系
在数学意义上，不等关系可以体现：
①________之间的不等关系；
②________之间的不等关系；
③________之间的不等关系；
④________之间的不等关系．
二、比较大小
1．任意两个实数a，b都能比较大小：
如果a－b>0，那么⑤________；
如果⑥________，那么a如果a－b＝0，那么⑦________.
友情提示：事实上，以上三组条件与结论反过来也是成立的. 即a－b>0 ⑧________；a－b＝0 ⑨________；a－b<0 ⑩________.
2．比较实数大小的方法．
比较两个实数a与b的大小，需归结为判断它们的差a－b的 ________(注意：这里指差的符号，至于差的值究竟是什么，无关紧要)．
三、不等式的性质
1．若a>b，则 ________；
2．若a>b，c>0，则 ________；
3．若a>b，c<0，则 ________.
4．不等关系的传递性：如果a>b，b>c，那么 ________.
友情提示：(1)要特别注意性质2、3中 ________的符号，因为 ________的符号相异，结论恰好相反．
(2)所有性质中的a和b可以是 ________，也可以是 ________.
答案：
①常量与常量　②变量与常量　③函数与函数　④一组变量　⑤a>b　⑥a－b<0　⑦a＝b　⑧a>b　⑨a＝b　⑩ab＋c　 ac>bc　 acc　 c　 c　 实数　 式子
1.不等式与等式之间主要有哪些异同？
不等式与等式是生活、生产实践中最常见的关系式，其相异的性质主要在与数相乘时，不等式两边乘(除以)的数的符号不同时，结论不同；而等式则不然．等式与不等式的性质对比如下表：
2.不等式的证明或比较实数大小有哪些方法及注意事项呢？
证明一个不等式和比较实数的大小一样，根据题目的特点可以有不同的证明方法．
(1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法，但是它们又有自己的适用范围，对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决：
①一般的实数大小的比较都可以采用作差法，但是我们要考虑作差后与0的比较，通常要进行因式分解，配方或者其他变形操作，所以，作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系．
(2)在证明不等式时还可以利用已经证明的结论，或者利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式变成简单易于比较大小的形式，再比较大小得出结论，需要注意的是，有些结论的递推是双向的，而有些是单向的，例如，不等式性质中的对称性就是双向的，而传递性就是单向的，在不等式两边同乘一个数或式子的时候，必须先判断要乘的数或式子的符号，决定相乘后是否改变符号．
(3)有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反证法进行证明，具体可以根据课本对性质4的推论3的证明方法和步骤，它可以把难以从正面说明的问题转化为其反面进行说明.
[例1]　对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：
(1)若a>b，则ac>bc；
(2)若a>b，则ac2>bc2；
(3)若aab>b2；
(4)若a(5)若a解析：(1)因未知c的正负或是否为零，无法确定ac与bc的大小，所以是假命题；
(2)因为c2≥0，所以只有c≠0时才能正确．c＝0时，ac2＝bc2，所以是假命题；
变式：若ac2>bc2，则a>b，此命题是真命题；
(3)aab；ab2，命题是真命题；
[变式训练1]　如果a>b，则下列各式正确的是(　　)
A．a·lgx>lgx·b(x>0)
B．ax2>bx2
C．a2>b2
D．a·2x>b·2x
解析：对于A：当x>0时，lgx∈R，当lgx≤0时，a·lgx>b·lgx(x>0)不成立，故应排除A；
对于B：∵x∈R，当x＝0时，ax2＝bx2，
∴ax2>bx2不成立，故应排除B；
对于C：∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，又由a>b可知a－b>0，但是a＋b的符号是不确定的，因此a2>b2不成立，故应排除C；
对于D：由指数函数的性质可知，2x>0，
又∵a>b，∴a·2x>b·2x成立，故选择D.
答案：D
实数(或式)比较大小的依据是a>b a－b>0；a＝b a－b＝0；a0，b>0时， >1 a>b)．
方法步骤是作差(商)——变形——判断大于或小于零(大于1或小于1)．关键是变形，变形的目的在于便于判断正负．常见的变形有因式分解、配方等．
[例2]　已知x>1，比较x3＋6x与x2＋6的大小．
解析：∵(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6
＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)，
∵x>1，∴(x－1)(x2＋6)>0，∴x3＋6x>x2＋6.
[变式训练2]　设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．
[例3]　比较aabb与abba(a、b为不相等的正数)的大小．
[变式训练3]　若m>0，比较mm与2m的大小．
[例4]　已知a>0，试比较a与 的大小．
[变式训练4]　已知a，b均为正数，n∈N*，比较(a＋b)(an＋bn)与2(an＋1＋bn＋1)的大小．
解析：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)
＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝abn＋anb－an＋1－bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)，
∵a、b∈R＋，n∈N*，且n≥1，
∴①当a>b>0时，a－b>0，bn∴(a－b)(bn－an)<0.
②当b>a>0时，a－b<0，bn>an.
∴(a－b)(bn－an)<0.
③当a＝b>0时，a－b＝0.
所以(a－b)(bn－an)＝0.
综上所述，(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)≤0.
即(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn－1)．
[例5]　(一题多解)求证： a>b.
分析：本题可以用比较法证明；也可以用不等式性质得到证明．
[变式训练5]　已知a>b，cb－d.
证明：证法1：由a>b知a－b>0，由c0，
∵(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)>0，
∴a－c>b－d.
证法2：∵c－d.
又∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d.
[例6]　求下面题目中 的取值范围．
(1)m>－3；(2)m>2；(3)－3答案：①②④
[例7]　设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
分析：本题是关于x的一元二次函数，可以利用换元法来求解．在求解时一定要注意已知条件中a、b的关系，准确把握a、b的取值范围，否则容易出错．下面我们再用一种新的方法——待定系数法来求解．
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
[例8]　甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则 (　　)
A．甲先到教室　　　　　 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
分析：用路程＝速度×时间，求甲、乙两人所用的时间，再用比较法求解．
答案：B
[变式训练8]　甲、乙两水果商先后分别两次从某地购进水果，甲商每次购20000斤，乙商每次购2万元，若两次购进的价格不同，试判断甲、乙两人谁的购买方式合算(即平均单价低)．
分析：先求出两人两次的平均单价，再用比较法解．§1.2 比较大小教案说明
江西省吉安一中
教 材 分 析 教 材 地 位 与 作 用 不等式主要研究数的不等关系，它与数、式、方程、函数、三角等内容都有密切联系，讨论方程或方程组的解的情况，研究函数的定义域、值域、单调性、最大值、最小值，讨论线性规划问题等，都要经常用到不等式的知识，不等式在解决各类实际问题时也有广泛应用，可见，不等式在中学数学里占有重要地位，是进一步学习数学的基础知识，是掌握现代科学技术的必备知识。本节课的内容是比较大小。比较大小是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式的两边的差是正数或负数来证明不等式，其应用非常广泛，属必须掌握并要求能够灵活运用的内容。从教材看来，不等式是承上启下的一章，运用遍及整个高中教学，在教学中我们应着重把握一个“度”字，以本为本、以纲为纲，从学生的实际情况出发，确实以学生为主体，因人而异，因材施教，才能实现教材改革的真正目标——素质教育。
教 学 目 标 1、【知识与技能目标】通过回忆初中内容，结合数轴得了实数的基本性质，能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；掌握实数的运算性质与大小顺序间的关系。2、【过程方法目标】通过本节学习，强化转化思想、数形结合思想的运用。3、【情感、态度与价值观目标】通过本节学习，激发学生探究数学问题的欲望，体会数学的奥妙与数学式子的结构美、对称美，从而激发学生的学习兴趣。
教学重点 比较大小的基本步骤及其应用。
教学难点 准确理解实数运算的符号法则及一些代数式的恒等变形。灵活应用比较大小解决实际问题。
教 法 分 析 数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感。为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。我设计了六个环环相扣、层层深入的教学环节：①创设情景——引入新课，②探究发现——发现规律，③例题讲解——形成结论，④知识应用——提高能力，⑤课堂小结——深化巩固，⑥作业布置——消化知识。在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。
学法分析 建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
教学过程 活 动 内 容 设 计 意 图
创设情景 通过课本中这一章的章头引言安排的例子，应用图片与动画直观形象地引入到本节课学习的知识。 激发兴趣，进入主题
探究发现 【探究1】已知某人下半身长为x(cm)，全身长为y(cm)，请问这个人穿上a(cm)的高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会增加吗？（复习不等式的性质时，重点讲解不等式的传递性，学生对它的作用不太了解。）课外小知识：古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗塑像都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美之神话。 【归纳小结】1、比较大小的基本步骤：作差→变形→判断符号→下结论。（比较大小的基本步骤学生比较容易掌握）2、一般地，设为正实数，且，则有（这个结论中特别要注意条件“”，当时情况恰好相反，这也是这节课的一个易错点）【探究2】请同学们在实际生活中举几个满足上述结论的例子？ 1、通过【探究1】，引导学生发现比较大小的基本步骤：作差→变形→判断符号→下结论。2、通过实际生活中的例子，让学生更深层次地理解“为正实数，且，则有”这个结论。3、通过课外小知识让学生扩展知识面。
例题讲解 【例1】试比较与的大小。【练习1】已知，试比较与的大小。【练习2】设，，则a与b的大小关系为A、 B、 C、 D、与x有关【归纳小结】 “变形”是作差比较大小的关键，“变形”的目的在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少。 “变形”的常用方法有通分、因式分解、配方等。（变形的常用方法学生比较容易掌握，但是判断符号是学生容易出错的地方） 通过例题与练习，巩固比较大小的知识，学会在比较大小的过程中对差式变形的常用方法——因式分解法、通分法、配方法。
知识应用 【例】甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为t1、t2，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，且m≠n。试判断甲、乙谁先到达B地。【练习】两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同。其中，甲每次购买1000kg，乙每次购粮用去1000元钱，谁的购粮方式更合算？（如何从题意中发现需要比较的量，这对学生来说是个难点） 通过知识应用，让学生学会应用比较大小的知识来解答实际生活问题。从而加深对比较大小知识的掌握。
课堂小结 1、比较大小（1）步 骤：作差→变形→判断符号→下结论。（2）关键点：变形是比较大小的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少。常用方法有通分、因式分解、配方等。2、一般地，设为正实数，且，则有3、应 用：灵活地应用比较大小的知识来解决实际生活中的问题。 培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识。
作业布置 1、已知，试比较P，Q的大小。2、已知，试比较与的大小。3、对于同样的距离，船在静水中来回行驶一次所花的时间与在流水中来回行驶一次所花的时间是否相等？请说明理由。（船在静水中的速度与在流水中的速度一致） 通过作业，使学生很好的消化所学到的知识。不等关系 不等式关系的表示与不等式的性质 同步练习
1、已知，那么在中，它们的大小关系是（ ）
A、 B、
C、 D、
2．已知，则的值是（　）
　A．正数　　　　　　　　B．负数
　C．非正数　　　　　　　D．非负数
3．设，求的取值范围。
4．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元则发行量将减少4000本，为使销售总收入不小于9万元，需确定提价的范围，用不等式表示该不等式关系．
5．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24牙，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，用不等式表示上述不等关系．
6、若，则下列不等式成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
7．已知，且，则下列不等式恒成立的是（　）
　A．　　　　　　　B．
　C．　　　　　　　D．
8、给出四个条件：①；②；③；④，能推得成立的是 。
9、比较与的大小。
10．某种杂志以每本2.5元价格销售，可以售出8万本,据市场调查，若单价每本提高0.1 元．销售量就相应减少2000本，若把提价后的价格定为元，应怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
11、如果a，b，c满足且，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
12．证明函数在R上是单调函数．
13．某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按生产要求600mm 钢管的数盘不能超过500mm钢管的3倍，间怎样写出满足，上述所有不等关系的不等式呢？
14．火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t，现计划用A、B两种型号 的车厢共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢；25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢．据此安排A、B两种货厢的节数，共有几种方案．
www.第01讲 不等关系
高考《考试大纲》的要求：
了解现实世界和日常生活中的不等式关系，了解不等式（组）的实际背景
（一）基础知识回顾：
1.实数大小比较的基本事实：
(1) a>b _______; (2) a=b_______ ; (3) a要确定任意两个实数a,b的大小关系，只需确定它们的________与_____的大小关系即可。
2.不等式的基本性质：
(1）对称性a>b b___a; （2）传递性：a>b,b>ca____c;
（3）a>b, a+c____b+c; （4）a>b,c>0ac___bc;
（5）a>b,c<0ac___bc; （6）a>b>0();
（7）a>b>0() （8）a>b,c>da+c____b+d;
(9) a>b>0,c>d>0ac____bd; (10)a>b,ab>0___.
（二）例题分析：
例1.（2004北京春招文）已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
<1>若，则； <2>若，则
<3>若，则 其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
例2.（2006江西理）若a0，b0，则不等式－ba等价于（ ）
A．x0或0x B.－x
C.x-或x D.x或x
例3. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
（三）基础训练：
1．(2008广东文)设，若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B. C. D.
2.（2007上海理）设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3.（2006上海春招）若，则下列不等式成立的是( )
（A） . （B）. （C）. （D）.
4.（2004湖北理）若则下列不等式①；②；③；
④中，正确的不等式有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
5．（2003北京春招文）设，且下列结论中正确的是( )
A． B． C． D．
6. 角x,y满足－＜x＜y＜,则x－y的取值范围是（ ）
A.(－π,0) B.(－π,π) C.(－,0) D.(－,)
7. (2002年广东、江苏、河南，全国文)已知0＜x＜y＜a＜1，则有( )
A.loga(xy)＜0 B.0＜loga(xy)＜1
C.1＜loga(xy)＜2 D.loga(xy)＞2
8. b g糖水中有a g糖(b>a>0),若再添上m g糖(m>0),则糖水就变甜了.试根据这个事实,提炼一个
不等式:___________________________.
（四）拓展训练：
1. 已知实数a、b、c、d满足下列三个条件: ①d>c；②a+b=c+d；③a+dA. b>d>c>a B. b>d>a>c C. d>b>a>c D. d>b>c>a
2. 两次购买同一种物品,可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同,则两种策略中那种比较经济？
参考答案
第01讲 不等关系
（二）例题分析： 例1. D； 例2. D；
例3. 解：设甲、乙两人所走路程都是s，所用时间分别为t1和t2 ，依题意得
，解得， 又
因为，所以t1答：甲先到达指定地点。
（三）基础训练：
1．C； 2.Ｃ； 3. C； 4. B； 5．A； 6.A； 7.D； 8.
（四）拓展训练： 1.A;
2．解：设两次购买同一种物品的单价分别为m和n（m≠n）,
设按第一种策略每次购物数量为a，.按第二种策略每次购物所花的钱数为b，
则第一种购物策略的平均价格为
第二种购物策略的平均价格为
因为，所以所以x1>x2 .
答：.第二种策略比较经济。
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