数学导学案设计
第三章第 节 课题名称 一元二次不等式的解法（2）
学习目标 掌握一元二次不等式含参数的解法
重点难点 参数的讨论
学习过程与方法 自主学习：不等式的解集是 探究问题：解关于的不等式此方程是否有解？若有，分别为 ，其大小关系为 能否根据其图像写出其解集
2.精讲互动：例1.设关于的不等式的解集是，求例2. 若，求的取值范围 例3若关于的不等式的解集是空集，求的取值范围①若解集是非空②若解集是一切实数的取值范围又是什麽？
3达标训练：①若方程的两根为2，3，那么 的解集为 ②不等式的解集为，则= ③关于的不等式的解集是空集，那么的取值范围是 ④的解集为则与的值分别为
课堂小结 对含字母的一元二次不等式讨论分为四类①二次项系数是否为零进行分类②若不为零，按其符号进行分类③按判别式符号进行分类④按两根大小进行分类
作业布置 ①是什么实数时关于的方程无实根②解关于的不等式
课后反思
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www.课题 §3.2.2一元二次不等式及其解法第2课时
课型 新授课 课时 备课时间
教学目 标 知识与技能 巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；
过程与方法 培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
情感态度与价值观 激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想
重点 熟练掌握一元二次不等式的解法
难点 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
教学方法
教学过程1.课题导入1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格2.讲授新课[范例讲解]例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h，根据题意，我们得到移项整理得：显然 ，方程有两个实数根，即。所以不等式的解集为在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到移项整理，得因为，所以方程有两个实数根由二次函数的图象，得不等式的解为：50
教学反思(共47张PPT)
2．1 一元二次不等式的解法
一、一元二次不等式
形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫做①________.
友情提示：上面的不等式中，当②________时，就转化为一元一次不等式bx＋c>0(≥0)或bx＋c<0(≤0)(其中b≠0), 其解的情况如下：
一般地，设y＝ax＋b与x轴交点是(x0,0)，即ax＋b＝0的解为③________.当a>0时，ax＋b>0的解集为④________，ax＋b<0的解集为{x|x0的解集为⑤________，ax＋b<0的解集为⑥________.
二、一元二次不等式的解和解集
一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个⑦________.一元二次不等式所有的解组成的集合，叫做这个⑧________.
三、一元二次不等式一般解题步骤
一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
(1)确定对应方程⑨________的解；
(2)画出对应函数⑩________的图像简图；
(3)由 ________得出不等式的解集．
对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似 ________时的解题步骤求解；也可以先把它化成 ________的一元二次不等式，再求解．
友情提示：(1)课本中给出一元二次不等式解的形式是在a>0，Δ>0的情况下，若 ________，应将不等式两边同乘－1化为二次项系数大于零再求解．
(2)ax2＋bx＋c＝0(a>0)，若其判别式Δ＝0，则方程有两相等实根，此时不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 ________；不等式ax2＋bx＋c<0的解集为 ________.
若其判别式Δ<0，则方程无实数根，此时不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 ________；不等式ax2＋bx＋c<0的解集为 ________.
四、一元二次不等式与相应函数方程的关系
(3)对于ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)求解时，若相应方程有两个不相等实数根，可记住口诀________.
一、解二次不等式时应注意哪些问题？
1．解一元二次不等式时，首先考虑对应二次方程，根据二次项系数的符号确定不等式解集的形式，当然还要考虑二次方程根的大小．
2．对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，常用口诀是：大于取两边，小于取中间．即：你只要记住一个前提：a>0和四句话：根上等于零，根间小于零，根外大于零，无根大于零．
3．解一元二次不等式具体过程是：(1)把二次项的系数变为正的(如果是负，那么在不等式两边都乘以－1，把系数变为正)；(2)解对应的一元二次方程(先看能否因式分解，若不能，再看Δ，然后求根)；(3)求解一元二次不等式(根据一元二次方程的根及不等式的方向)．
4．一元二次不等式的解集与二次函数的图像、一元二次方程的根密切联系，解一元二次不等式要从函数、方程、不等式的统一角度来认识，利用数形结合的方法，画出二次函数的图像，写出不等式的解集．含有参数的不等式要注意分类讨论．分式不等式、高次不等式要注意同解变形，向一次、二次不等式转化．
二、含参数的不等式恒成立问题与一元二次不等式和一元二次函数有着紧密的联系，那么解决恒成立问题的方法有哪些？
含参数的不等式恒成立求参数的取值范围的实质是已知不等式的解集求参数的取值范围．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍解决这类问题的策略和方法：
(1)分离变量法
对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题．
一般地分离变量后有下列几种情形：
①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)
②f(x)>g(k) [f(x)]min>g(k)
③f(x)≤g(k) [f(x)]max≤g(k)
④f(x)(2)数形结合
对于含参数的不等式恒成立问题，当不等式两边的函数图像形状明显，我们可以作出它们的图像，利用图像直观和运动变化的观点进行转化，化归为某一极端情形如端点、相切等，从而得到关于参数k的不等式．
(3)分类讨论法
当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件．
(4)利用判别式
可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解．
总之，利用不等式求解含参数不等式恒成立问题的方法是：先设法确定参数的取值范围，再说明端点是否能够实现，从而准确地得到参数的取值范围．
以上介绍了不等式恒成立求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种或两种以上的方法，应灵活处理．
三、有些问题不是直接解不等式而是已知含有参数的二次不等式或者方程的解，求另一与此有关的方程或者不等式问题，那么在解决这类问题中主要考虑哪些方法和技巧？
在解决变量系数相关的二次不等式(或方程)问题时可以从以下几个方面考虑：
(1)利用二次方程根与系数的关系：二次方程根与系数的关系也叫韦达定理，它在解决二次方程相关系数问题中可以起到桥梁的作用，可以沟通已知和待求问题之间的联系．所以，在利用代数方法求解此类问题时首先可以考虑此法；
(2)利用二次函数的图像数形结合：有些问题用纯代数式的运算比较麻烦或者计算量较大，可以考虑与二次函数的关系，根据条件设出对应的二次函数，画出二次函数的图形，由图形(主要是二次函数与x轴的交点)情况判断待求问题的解，也可以根据图形直接解不等式(尤其是含有参数或者绝对值的不等式)．
(3)分解因式法：有些虽然不是二次方程或者不等式，虽然变量的系数含有字母，但是却能进行因式分解，这样可以先考虑因式分解，把已知或者待求式子先进行因式分解找出作为方程的解，再对解的情况进行讨论即可.
会求解一元二次不等式是基本数学技能，在求解过程中结合对应的一元二次方程与函数图像求解，是求解一元二次不等式的基本方法．
[例1] 解不等式3x2＋5x－2>0.
[变式训练1] 解不等式：x2>2x－1.
解析：原不等式化为x2－2x＋1>0.
∵Δ＝0，∴方程x2－2x＋1＝0有两相等实根x1＝x2＝1.
函数y＝x2－2x＋1的图像是开口向上的抛物线，如下图
观察图像可得，原不等式的解集为{x|x≠1}．
[例2] 已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
[变式训练2] 若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
分析：本题已知一元二次不等式的解集，求参数的取值范围，是对一元二次不等式解法的逆向考查，可结合相应的二次函数的图像解题．
解析：由x2－ax－a>0恒成立，得y＝x2－ax－a的图像都在x轴上方，与x轴无交点，所以Δ＝(－a)2－4(－a)×1<0，解得－4x2－ax－a≤－3，即x2－ax－a＋3≤0.它的解集不是空集，则y＝x2－ax－a＋3的图像与x轴有交点，所以Δ＝(－a)2－4×1×(－a＋3)≥0，解得a≤－6或a≥2.
答案：(－4,0)；(－∞，－6]∪[2，＋∞)
应对系数中的参数进行讨论：
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向．
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的个数．
(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．
简记为“一a，二Δ，三两根大小”．
最后对系数中的参数进行完全分类，即将(－∞，＋∞)分成若干个区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集．
[例3] 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
解析：原不等式可变形为(x－a)(x－a2)>0，
则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2.
当a<0时，有aa2，
此时原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a2，即xa，
此时原不等式的解集为{x|xa}；
当a>1时，有a2>a，即xa2，
此时原不等式的解集为{x|xa2}；
当a＝0时，有x≠0；
∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＝1时，有x≠1，
此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．
综上可知：当a<0或a>1时，
原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
[变式训练3] 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.
解析：原不等式变形为(x－2a)(x＋a)<0.
①若a>0，则－a②若a<0，则2a③若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为 .
[变式训练4] 若关于x的一元二次不等式mx2＋8mx＋21<0的解集是(－7，－1)，求实数m的值．
解析：由解集为(－7，－1)得m>0，
方程mx2＋8mx＋21＝0的两根为－7，－1.
解法1：将x＝－1代入mx2＋8mx＋21＝0，得m＝3.
解法2：利用韦达定理得(－7)×(－1)＝ 所以m＝3.
[例5] 已知关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋(3＋a－2a2)<0的解集中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示该不等式的解集．
解析：把x＝0代入不等式得，3＋a－2a2<0，
即2a2－a－3>0，∴a<－1或a>，
由2x2＋(3a－7)x＋(3＋a－2a2)<0，
得2x2＋(3a－7)x－(a＋1)(2a－3)<0，
即[2x－(a＋1)][x＋(2a－3)]<0.
[变式训练5] 如果ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，那么对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c应有 ( )
A．f(5)B．f(2)C．f(－1)D．f(2)解析：由ax2＋bx＋c>0的解集形式知a>0，故f(x)＝ax2＋bx＋c图像开口向上，另外由其解集为{x|x<－2或x>4}知ax2＋bx＋c＝0有两根－2和4，由韦达定理知其对称轴为x＝1，结合以上知识便可求解，得f(2)答案：D
[例6] 不等式(a＋1)x2＋ax＋a>0对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
[变式训练6] 不等式ax2＋ax＋a－1<0，对任意实数x都成立，求实数a的取值范围．
一元二次不等式问题涉及知识较多．如函数图像知识，函数的奇偶性、单调性等知识均与其解法密切相关．因此，熟练掌握数学知识中的各个环节，提高掌握数学知识的综合实力，是掌握好本节知识的有力保障．
[例7] 已知奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则不等式(x－1)·f(x－1)>0的解集为 ( )
A．{x|－3B．{x|－1C．{x|－33}
D．{x|－32}
答案：B
[变式训练7] 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为{x|－3( )
解析：由题意可知，函数f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，其图像为开口向下的抛物线，与x轴的交点是(－3,0)，(1,0)，又y＝f(－x)图像与f(x)的图像关于y轴对称，故只有B符合．
答案：B同步检测训练
一、选择题
1．不等式x2<3x的解集为( )
A．{x|x>3} B．{x|x<0或x<3}
C．R D．{x|0解析：x2<3x x2－3x<0 x(x－3)<0 0答案：D
2．不等式(x＋2)(1－x)>0的解集是( )
A．{x|x<－2或x>－1} B．{x|x<－1或x>2}
C．{x|－2解析：不等式(x＋2)(1－x)>0，
同解于(x－1)(x＋2)<0.
∵相应方程(x－1)(x＋2)＝0的两根为x1＝1，x2＝－2，
∴(x－1)(x＋2)<0的解为－2即原不等式(x＋2)(1－x)>0的解集为{x|－2答案：C
3．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－2,2]
C．(－2,2) D．(－∞，2)
解析：当a＝2时，－4<0，对一切x∈R恒成立；
当a<2时，Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)<0 4(a－2)(a＋2)<0 －2∴－2答案：B
4．集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}，B＝{x|x2－5x＋6>0}，则A∩B＝( )
A．{x|1≤x<2或3B．{x|1≤x<2且3C．{1,2,3,4}
D．{x|－4≤x≤－1或2≤x≤3}
解析：A＝{x|x2－5x＋4≤0}＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x<2或x>3}，∴A∩B＝{x|1≤x<2或3答案：A
5．已知二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－2、3，a>0，那么ax2－bx＋c>0的解集是( )
A．{x|x<－2或x>3} B．{x|x<－3或x>2}
C．{x|－2解析：由题意知
∴b＝－a，c＝－6a，∴不等式ax2－bx＋c>0化为ax2＋ax－6a>0，即x2＋x－6>0.方程x2＋x－6＝0的两根是－3和2，不等式的解集是{x|x<－3或x>2}，故选B.
答案：B
6．函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，) B．[0，)
C．(，＋∞) D．(－，)
解析：由题知mx2＋4mx＋3＝0无解，
(1)当m＝0时，3≠0，∴符合题意；
(2)当m≠0时，Δ＝16m2－4m×3＝16m2－12m<0，
即0答案：B
7．设集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|x2－a2>0}，若A∩B＝ ，则a的取值范围为( )
A．{a|a≥6} B．{a|a>6}
C．{a|a≤－6或a≥6} D．{a|a≤－6}
解析：A＝{x|－1当a>0时，B＝{x|x>a或x<－a}，若A∩B＝ ，a≥6；
当a<0时，B＝{x|x>－a或x答案：C
8．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－A．14 B．－10
C．10 D．－14
解析：由
∴a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14，故选D.
答案：D
9．二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数的条件是( )
A. B.
C. D.
解析：即与x轴无交点，当时成立，故选B.
答案：B
A．－1C．－解析：应用新运算，可得(x－a)?(x＋a)＝(x－a)·[1－(x＋a)]＝－x2＋x－a＋a2<1恒成立．即x2－x＋a－a2＋1>0恒成立，则Δ＝1－4(a－a2＋1)＝4a2－4a－3＝(2a－3)·(2a＋1)<0.
解得 －答案：C
二、填空题
11．a<0时，不等式x2－2ax－3a2<0的解集是________．
解析：∵x2－2ax－3a2＝0，∴x1＝3a，x2＝－a.
又a<0，故3a<－a.
∴不等式的解集为{x|3a答案：{x|3a12．关于x的不等式ax2－2ax＋2a＋3>0的解集为R，则实数a的取值范围为________．
解析：当a≠0时，由题意得
即
解得a>0.
当a＝0时，恒有3>0，不等式也成立，故a的取值范围是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
13．不等式x2＋x＋<0的解集是________．
解析：∵Δ＝1－4×＝－2<0，且二次项系数1>0，∴x2＋x＋<0的解集为 .
答案：
14．设a>0，a≠1.函数f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集为________．
解析：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2有最小值2，
∴lg(x2－2x＋3)有最小值lg2.根据题意有0∴loga(x2－5x＋7)>0，即0答案：(2,3)
三、解答题
15．已知A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|2x＋a<0}，A∩B＝B，求实数a的取值范围．
解析：A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|x<－}，
若A∩B＝B，则有－≤－1，所以a≥2.
所以a的取值范围为[2，＋∞)．
16．方程x2－(k＋1)x＋2k－1＝0的两根一个大于1，另一个小于1，求k的取值范围．
解析：解法1：利用判别式、韦达定理．
令方程x2－(k＋1)x＋2k－1＝0的两根为x1，x2，且x1<1，x2>1，
则
k<1.
解法2：图像法
令f(x)＝x2－(k＋1)x＋2k－1，它与x轴的两交点为x1，x2，x1<1，x2>1，如右图所示．
由图可得
k<1.
所以k的取值范围为(－∞，1)．
17．已知A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x2＋2x－3>0}，C＝{x|x2－3ax＋2a2<0}．试确定a的取值范围，使C (A∩B)．
解析：A＝{x|－21}，∴A∩B＝{x|10时，C＝{x|a∴解得1≤a≤2.当a＝0时，C＝ ，满足条件；当a<0时，C＝{x|2a18．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像过点(1,0)，是否存在常数a、b、c，使不等式－x≤f(x)≤(1＋x2)对一切实数x都成立？若存在，求出a、b、c.若不存在，则说明理由．
解析：假设存在常数a、b、c满足题意，由于－x≤f(x)≤(1＋x2)对一切x∈R成立．∴当x＝－1时，则有1≤f(－1)≤1，又f(－1)＝a－b＋c，∴a－b＋c＝1.又f(1)＝a＋b＋c＝0，∴a＋c＝，b＝－.又∵f(x)≥－x时x∈R都成立，即ax2－x＋－a≥－x ax2＋x＋－a≥0的解集为R，∴a>0且Δ≤0 a>0且(2a－)2≤0，∴a＝，c＝.又x2－x＋≤(1＋x2)恒成立，故存在这样的常数a、b、c，其中a＝c＝，b＝－满足题意．
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