第04讲： 基本不等式
高考《考试大纲》的要求：
① 了解基本不等式的证明过程
② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题
（一）基础知识回顾：
1.定理1. 如果a,b,那么，（当且仅当_______时，等号成立）.
2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么______________（当且仅当_______时，等号成立）.
称_______为a,b的算术平均数，_____为a,b的几何平均数。基本不等式又称为________.
3. 基本不等式的几何意义是：_________不小于_________. 如图
4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）
即: （1）和、积中的每一个数都必须是正数；
（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；
简记为：和定积最_____，积定和最______.
（3）只有等号能够成立时，才有最值。
（二）例题分析：
例1．（2006陕西文）设x、y为正数，则有(x+y)()的最小值为（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
例2．函数的值域是_________________________.
例3（2001江西、陕西、天津文,全国文、理） 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为，画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？
（三）基础训练：
1.设且则必有( )
(A) (B)
(C) (D)
2.（2004湖南理）设a＞0, b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）
（A）≥4 （B）≥
（C）≥ （D）≥
3.（2001春招北京、内蒙、安徽文、理）若为实数，且，则的最小值是（ ）
（A）18 （B）6 （C） （D）
4. 已知a,b,下列不等式中不正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5．（2005福建文）下列结论正确的是（ ）
A．当 B．
C．的最小值为2 D．当无最大值
6. 已知两个正实数满足关系式, 则的最大值是_____________.
7.若且则中最小的一个是__________.
8.（2005北京春招文、理）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：。
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？
（四）拓展训练：
1.(2000全国、江西、天津、广东）若,P=,Q=,R=,则（ ）
（A）R
2．若正数a、b满足ab=a+b+3，分别求ab与a+b的取值范围。
参考答案
第04讲： 基本不等式
（二）例题分析： 例1． C； 例2．；
例3解：设画面高为x cm，宽为λx cm，则λ x2 = 4840．
设纸张面积为S，有S = (x＋16) (λ x＋10)= λ x2＋(16λ＋10) x＋160，
将代入上式，得．
当时，即时，S取得最小值．
此时，高：，宽：．
答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．
（三）基础训练： 1. B； 2. B； 3. B； 4. B 5．B； 6. 2 ; 7.
8. 解：（Ⅰ）依题意，
（Ⅱ）由条件得
整理得v2－89v+1600<0, 即（v－25）（v－64）<0, 解得25答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．
（四）拓展训练：1. B;
2．解：因为a、b是正数，所以，即，
法一：令，则，由ab=a+b+3≥2+3，得，（t>0）
解得t≥3, 即 ，所以ab≥9,a+b=ab-3≥6.
法二：令，则由ab=a+b+3可知a+b+3 =，得，（x>0）
整理得，又x>0，解得x≥6,即a+b≥6，所以ab=a+b+3≥9.
答： ab与a+b的取值范围分别是与。
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一、填空题：（每小题5分，计50分）
1.若x>0,y>0且，则xy的最小值是 ；
2.若x、y且x+3y=1，则的最大值 ；
3.若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 ；
4.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy最大值为 ；
5.点（x，y）在直线x+3y-2=0上，则最小值为 ；
6.若数列{}的通项公式是则数列{}中最大项 ；
7.设a，b，a+2b=3 ，则最小值是 ；
8.当x>1时，则y=x+的最小值是 ；
9.已知不等式（x+y）对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ；
10.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.
二、解答题：（12分×3+14分，计50分）
11.在△ABC中，已知A=600，a=4，求△ABC的面积的最大值.
12.已知x＞y＞0，求的最小值及取最小值时的x、y的值.
13.已知a、b、c都为正数，且不全相等，求证：
14.已知定点与定直线，过 点的直线与交于第一象限点，与x轴正半轴交于点，求使面积最小的直线方程.
参考答案
1.64
2.
3.6
4.4
5.9
6.
7.1+
8.8
9.4
10.20
11.4
12.当且仅当时所求的最小值是8
13.略
14.设
①时，
令，得
故
，（当且仅当时取“＝”号）
所以当时，
②当时，
由①②得，当时，，此时，
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（1）教学目标
(a)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释
(b)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。基本不等式的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质
(c)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力
（2）教学重点、难点
教学重点：基本不等式的证明和几何解释
教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵
（3）学法与教学用具
先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案
投影仪（多媒体教室）
（4）教学设想
1、设置情境
(投影出图3.4-1)同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗
提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为x、y，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
生答：，
提问2：那4个直角三角形的面积和呢？
生答：2xy
提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，2xy。什么时候这两部分面积相等呢？
生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即x=y时，正方形EFGH变成一个点，这时有=2xy
2、新课讲授
（1）一般地，对于任意实数 x、y，我们有，当且仅当x=y时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？
(学生尝试证明后口答,老师板书)
证明: -=, 当时>0 ,当x=y时，等号成立。
所以
即 ，当且仅当x=y时，等号成立。
设x=,y=,则由这个不等式可以得出下列结论：
如果a,b都是非负数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。
我们称上述不等式为基本不等式，
其中称为a,b的算术平均数，为a,b的几何平均数。因此，基本不等式
又被称为均值不等式。
基本不等式的一种几何解释。
如图1所示,AB是圆O的直径，AC=a, CB=b,过点C作交圆O上半圆于D，
连接AD，BD，由射影定理可知： D
CD=，而OD=，
因为ODCD
所以
A O C B
当且仅当C于O重合，即a=b时，等号成立。
应用
例1 设a,b均为正数，证明不等式.
证明 因为a,b 均为正数，由基本不等式，可知
也即，当且仅当a=b时，等号成立。
下面给出这个不等式的几何解释。
D
D
A O C B
如上图，AB是圆O的直径，AC=a, CB=b,过点C作交圆O上半圆于D，
过点C 作于E，
在ＲｔＯＣＤ中，由射影定理可知：
ＤＣ２＝ＤＥＯＤ
即 DE===
由DCDE ，可得
当且仅当a=b时，等号成立。
学生思考交流
基本不等式的的几种叙述。 （学生交流完成）
课堂练习
课本90页练习题
课时小结
1.两个重要的不等式
2.基本不等式的联系和理解
3.对基本不等式和例1及练习题的总结
当且仅当a=b时，等号成立。
课后作业
1.课本94页A 组3和B组1题
2.预习3.2节
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www.(共63张PPT)
3．1 基本不等式
3．2 基本不等式与最大(小)值
一、重要不等式
如果a，b∈R，那么①________(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
2．函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，才能利用“定理”求出函数的最大值或最小值．若含变数的各项之和或之积不是常数(定值)时，必须进行适当的配凑，使和或积变为常数(定值)，方可使用“定理”求出函数的最大值或最小值．
总之，由均值不等式(平均值定理)求最值可分为三步．第一步，全正(即求平均值的各个量都是正数)；第二步，凑定值．这步技巧性强，充分体现解题人利用均值不等式求最值的水平，应侧重训练，当凑出和为定值时，对应各个量的积有最大值；当凑出的积为定值时，其对应各量的和有最小值；第三步，“取等号”，即对应各个量能取得等号时，有最值存在，否则，没有最值存在，以上三步可简化为：一正，二定，三相等，三步缺一不可．
4．在利用均值不等式求最值时，凑定值是很重要的一步，但是很多时候都是因为取不到最值而苦恼，那么，在求最值时有哪些技巧可以使用呢？
利用均值不等式求最值常常需要对函数进行适当的变形．在变形过程中常要用到某些特定的技巧，主要有下面几点：
(1)将所得出的正函数平方，然后再使用均值不等式求解．有时候直接带有根号的定值不容易看出来，可以先平方再找最值，得出结果开方即可，但是要注意平方前后的正负问题；
(2)有些和(积)不为常数的函数求最值时，可通过引入参数后，再使用均值不等式求解．主要是一些比较复杂的式子，使用一个参数作一个整体代换可以使整个式子更加简洁，也更容易得出定值；
(3)有些函数在求最值时，需要几次使用均值不等式进行放缩才能达到目的，放缩时要保证几个等号能同时成立；
(4)有时候使用均值不等式的变形，要根据题目的特点，选用合适的公式．例如
分析：要求x＋y的最小值，根据均值定理，应构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会．
[例5] 函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.
(1)求f(0)；
(2)求f(x)；
(3)不等式f(x)>ax－5当0解析：(1)令x＝1，y＝0，得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2，∴f(0)＝f(1)－2＝－2.
(2)令y＝0，f(x＋0)－f(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x2＋x，
∴f(x)＝x2＋x－2.
答案：A
[例6] (数学与日常生活)某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理．
因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．
[变式训练6] 如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有长36 m的钢筋网材料，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？