1.1.2 数列的函数特性
本节教材分析
本节课的设立，以利于学生重视用函数的思想方法来学习和研究数列，把数列融于函数之中.本节内容对全章的学习有着指导作用，因为本章对数列内容的处理，始终将函数作为主线贯穿其中，突出了函数思想、数学模型以及离散与连续的关系. 由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展 递推是数学里的一个非常重要的概念和方法 在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式 但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担 考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了
三维目标
1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3．理解数列的前n项和与 的关系；
4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.
教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项
教学难点：理解递推公式与通项公式的关系
教学建议：
教学时先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，运用数形结合思想向学生渗透讲解，教法设计上力图展示：教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念，让学生在探究活动中体会到数学的实用价值和文化价值.
新课导入设计
导入一: (复习导入）上节课我们研究了数列的通项公式，让学生写出数列0，2，4，6，8，…的通项公式.学生写出通项公式后，教师进一步启发，与函数有什么关系？你能用图像直观表示这个数列吗？由此展开课题.
导入二：（情景导入）让学生每个人根据自己的出生年月，写出2000---2007年各人的年龄（按周岁计算），这样学生每人得到一个数列.然后教师进一步提问，你能用图在坐标系中直观地表示你的年龄组成的数列吗？在学生兴趣盎然的探究中引入课题.
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数列的函数特性
四川省大竹中学 徐天顺
数列可以看作是一个定义域为N*（正整数集）或它的有限子集{1，2，3，…，k}的函数（“离散型”函数），当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。数列的通项公式an=f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列的离散的点。
数列作为一种特殊的函数，具有函数的本质属性，我们称之为数列的函数特性，即用函数的观点来理解数列，解决数列中的某些问题。事实上，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征。作为特殊的函数，数列是函数概念的继续和延伸。另外，数列与函数的整合也是当今高考命题的重点与热点，因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们间的内在联系，从而有效地学好数列问题。因此，学完《数列》后，一方面要用函数的观点加深了解数列，拓展我们的知识,提升我们的能力；另一方面也为今后学习高等数学中有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。
一、以函数观点为切入点 深刻认识数列问题
1、关于等差数列{an}
（1）通项公式an=a1+(n-1)d,可以写成an=dn+(a1-d)。它是n的一次函数，以（n,an）为坐标的一群离散点均匀地分布在直线上。当d>0时， {an}数列递增；当d<0时， {an}数列递减；当d=0时，{an}为常数数列。
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
－2
1
4
7
10
13
16
19
22
(2)求和公式Sn=na1+d,可以写成Sn= n2+(a1-)n,它是n的二次函数（缺常数项），它的图象是过原点的抛物线上的一群孤立点。
2、关于等比数列{an}
很明显，若>0,当q>1时， {an}数列递增；当0通项公式an=a1qn-1,可以写成an= ·qn(n∈N*)。
当q>0且q≠1时，y= qx(x∈R)是指数函数，而y=· qx(x∈
R)是一个不为0的常数与指数函数的积，因此an= ·qn(n∈N*)
的图象是函数y= ·qx(x R)的图象上的一群孤立点。
二、以函数概念为载体，合理消化数列问题
例1
想一想
三、以函数图象为工具，直观简化数列问题
设计意图：函数图象是函数特征的直观体现，利用图象解决数学问题（以形助数）是我们在解决问题中经常采用的手段。在数列中，我们可以利用等差数列通项公式、前n项和公式及等比数列的通项公式中展示的图象关系来解决问题，常常会起到意想不到的效果。
9
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●
发现
发现
四、以函数性质为手段，有效分化数列问题
函数性质是函数特征的显性反映，深入挖掘并利用函数的性质可以大大简化解题过程，收到较好的解题效果。如函数的单调性等性质在数列中应用很广泛，通过下面这些问题的分析，不但可以使我们进一步巩固函数的性质，而且可以拓宽解决数列问题的视野。
例4 已知数列的通项公式为an=n2－10n＋10．这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正值？数列中是否还存在数值与首项相同的项？ (教材第一册(上)第151页B组第2题)
解 表示数列{an}的各点都在函数y=x2－10x＋10的图象上．
由图5可得，这个数列从第5项起各项的数值逐渐增大，从第9项起各项的数值均为正值，第9项是与首项相同的项．
设计意图:此题意在寻找递增数列的条件，通过转化归结为恒成立类型的问题，再利用函数的单调性求出最小值，从而得到结果。
五、以构造函数为途径，巧妙转化数列问题
构造函数解决数学问题是函数思想中的中心所在，其实质是把所求问题转化为以函数背景的问题，再利用函数的有关概念、图象、性质来帮助解决，这样有利于培养学生的数学思想方法与解题能力。
分析：本题主要是考查对数、不等式、数列等基础知识，推理能力以及分析问题和解决问题的能力。
(1)证明：设 的公比为 ,由题设条件设
①当时 ，从而
②当时 ，从而
由①，②知，
根据对数函数的性质知
（2）解：要使 成立，则有
①
②
①当时 ，从而
由此可知：不满足条件①，即不存在常数c>0，使结论成立
②当时 ，若条件①成立，因
且 ，故只能有
即
此时，
但 时，
不满足条件②，即不存在常数c>0,使结论成立.
综合①②,即不存在常数c>0,使结论成立.
天才在于勤奋，聪明在于积累.让我们日积月累，搭几级通往成功的阶梯.
六、把握数列的函数特性 辨析函数与数列联系与区别
通过上述几例的分析与说明，我们发现，利用函数的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系， 通过数列与函数知识的相互交汇，把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，渗透了函数思想；从而有效地分解数列问题。同时也使我们的思维能力得以不断发展与提高。另外，对上述问题还有许多其它的解法，课后去发现、探究。
数列的通项并不能用我们熟悉的函数把它们联系起来，这时可以通过研究数列的单调性帮助我们求得数列的最值。一般地，函数单调性的判断过程为：在给定区间D内任取x1（2）已知｛an｝是递增数列，且对任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
A． （ ，+∞） B．（0，+∞）?
C．（－2，+∞） D．（－3，+∞）
例７：
（1）已知函数 在区间[1， +∞）是增函数，则实数λ的取值范围是（ ）
A． （ ，+∞） B．（0，+∞）
? C．（－2，+∞） D．（－3，+∞）
练习：若数列{an}的通项公式为an=－n2＋7n(n∈N*)，求an的最大值，并与函数y=－x2＋7x(x∈R)的最大值作比较
解： 作出函数y=－x2＋7x(x∈R)的 图象．
从图象上看，表示数列{an}的各点都在抛物线y=－x2＋7x(x∈R)上，由图象得
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说明 经比较发现数列{an}与函数y=－x2＋7x(x∈R)在不同的地方取到不同的最大值，这是由于两者的定义域不同所造成的．
课堂小结
本节课通过六个方面学习了数列的函数特性，我们利用函数的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了数列和函数它们间的内在联系，通过数列与函数知识的相互交汇，把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，渗透了函数与方程、数形结合的数学思想；从而有效地解决数列问题。同时也看到函数与数列由于定义域的不同解题方法有本质的不同，使我们的视野拓宽了，解题能力和思维能力得到了不断发展与提高。
知识·方法·思想
作业：
探索是数学的生命线，创新是一个民族的灵魂！
２、书面作业
１、认真阅读教材
３、课后探究题
作业巩固
图片欣赏数列的概念及函数特征测试题
A组
一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.数列，的通项公式的是 。
1. 或。提示：写成两种形式都对，an不能省掉。
2. 的一个通项公式是 。
2. 提示：若把换成，同时首项1换成，规律就明显了。其一个通项应该为：
3.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内.
年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65
收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145
舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）88
3.140,85。提示：观察上表规律，收缩压每次增加5，舒张压相应增加3或2，且是间隔出现的，故应填140,85。
4．已知数列，，那么是这个数列的第 项.
4.10.提示：令=，即n2+2n-120=0,解得n=10.
5.已知数列{an}的图像是函数图像上，当x取正整数时的点列，则其通项公式为 。
5. an=.提示：数列{an}对应的点列为(n,an),即有an=。
6.已知数列，，它的最小项是 。
6.2或3项。提示：=2（n-）2-.故当n=2或3时，an最小。
7. 已知数列满足，，则 .
7. 。提示：=，，。
8.如图，图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则 ．（答案用的解析式表示）
8.n×22.提示：f(2)-f(1)=4=1×4, f(3)-f(2)=8=2×4, f(4)-f(3)=3×4,……，猜想4n.
二．解答题(本大题共4小题，共54分)
9.已知满足，，试写出该数列的前项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.
9. 解 ∵,,∴,,,,
注意到：3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，∴猜得。
10.已知数列中，，，通项是项数的一次函数，
①求的通项公式，并求；
②若是由组成，试归纳的一个通项公式.
10.解:设,则,解得,
∴,∴.
又∵,,,,即为5,9,13,17,…,∴.
11.如果一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列。已知等和数列的第一项为2，公和为7，求这个数列的通项公式an。
11.解：∵是等和数列，公和为7，a1=2，∴a2=5,a3=2,a4=5,……，
一般地，a2n-1=2，a2n=5，n∈N*.
∴通项公式an=
12. 已知不等式+++……+>a对于一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围。
解 令f（n）=+++……+，
则f（n+1）-f（n）=+-=->0.
f（n+1）>f（n）, f（n）是递增数列， [f（n）]min= f（2）=。
a<.
备选题：1. 若数列的前5项为6，66，666，6666，66666，……，写出它的一
个通项公式是 。
1.×（10n-1）。提示：注意到＝×，故＝×（10n-1）。
2.设数列则是这个数列的第 项。
2.7.提示：由题设知的通项为，=。
3.已知数列，，()，写出这个数列的前4项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式.
3.解：∵，，∴a2=.同理求得a3=，a4=.
从而猜想an=.
B组
一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1. 数列的一个通项公式是 。
1.提示：观察和对应项数的关系，不难发现
，…，
一般地，
2. 数列的一个通项公式是 。
2. 。提示： 这类题应解决两个问题，一是符号,可考虑（-1）n或（-1）n+1调节，二是分式，分子是n，分母n+1。故.
3.将正偶数按下表排成5列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
…… …… 28 26
则2006在第 行，第 列。
3．第251行，第4列.提示：由题意知每列4个数，1003=4×250+3,故2006在第251行。又由奇数行的特点知应该是第4列。
4.已知{an}是递增数列，且对任意nN+，都有an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是 。
4.。提示：常见的错解：an是一个特殊的
二次函数，要保证在n取自然数时单调递增，只须-1，
即-2。本题错误的原因在于机械地套用了函数的性质，
忽略了数列的离散性的特点。
正解 如图，只要-<,即>-3时就适合题意。
5.观察下列不等式：，，，，，，由此猜想第个不等式为 ▲ .
5. 。提示：本题是归纳推理问题，注意到3=22-1，7=23-1，15=24-1，1=，2=，故猜想：。
点评：归纳推理的关键是找到式子变化的共同点和不同点。
6.若数列{an}满足an+1=则a20的值是
6．.提示：。
∴数列是周期为3的数列，∴.
二．解答题(本大题共2小题，共36分)
7.已知数列{an}中，an=，求数列{an}的最大项.
解:考察函数,因为直线为函数图象的渐近线,且函数在上单调递减，在上单调递减，所以当且最接近15.6且时,最大,故最大,即第16项最大.
8.设向量a =（），b =（）（），函数 a·b在[0，1]上的最小值与最大值的和为，又数列{}满足：．
（1）求证：；
（2）求的表达式；
（3），试问数列{}中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立？证明你的结论.
解 （1）证明：a·b =，因为对称轴 ,
所以在[0，1]上为增函数，。
（2）解：由
得
两式相减得，
当时，
当≥2时，
即
（3）解：由（1）与（2）得
设存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立，
当时，
当≥2时，，
所以当时，，
当时，，
当时，
所以存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立．
备选题：
1. 数列的通项公式是 。
1.an=.提示
……因此，an=.
2.数列{an}满足a1=2，an+1=-，求a2008。
2.解 由an+1=-，得an+2=-=-=-.
an+3= -=-=an，故a2008=a669×3+1=a1=2。
www.
