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2．1 等差数列
一、等差数列的定义
1．一个数列{an}，如果从①________起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an＋1－an＝d(常数)，则称这个数列为②________，常数d叫做这个数列的③________.
2．等差中项：如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的④________.
友情提示：对等差数列的理解还需注意以下五点：
(1)如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列；
(2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉；
(3)求公差d时，可以用d＝an－an－1，也可以用d＝an＋1－an来求；
(4)公差d∈R，当d＝0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
(5)d＝an－an－1(n≥2)或d＝an＋1－an是证明或判断一个数列是等差数列的依据．
二、等差数列的通项公式
1．若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是⑤________.
2．若am，an是等差数列{an}的任意两项，则⑥________.
3．等差数列通项公式是n的一次函数或常数，其图像是一条射线上的一群孤立的点，其解析式可以写为⑦________的形式，常记为an＝pn＋q，式中p为公差d，q为a1－d.
4．等差中项公式：a，A，b成等差数列 A＝⑧________.
友情提示：对等差数列通项公式的理解应注意以下四点：
(1)由数列的首项a1与公差，可写出通项公式；
(2)由数列的任意两项，可确定其首项与公差；
(3)由数列的通项公式可求数列的任一项，也可判定某数是否为数列的项；
(4)数列的通项公式可记为an＝pn＋q，可看成是关于n的函数．
三、等差数列的性质
设{an}是公差为d的等差数列，则数列{an}有如下性质：
(1)若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则⑨________.特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m、n、p∈N*)；
(2)当d>0时，{an}是递增数列；当⑩________时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}为 ________；
(3) ________＝ (m，n∈N*)；
(4){kan＋b}是等差数列，公差为 ________；
(5){a2n}是等差数列，公差为 ________；
(6)当{kn}是等差数列时(kn是正整数)，{akn}是 ________；
(7)若{bn}是公差为d′的等差数列，那么{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)也是等差数列，公差为 ________；
(8) ________＝an－k＋an＋k(n≥k＋1)．
四、等差数列的判定和证明
(1)证明方法：定义法，即若一个数列{an}满足 ________，则数列{an}为等差数列．
(2)常见判定方法(充要条件)：若一个数列{an}满足： ________或 ________，则这个数列为等差数列．
答案：
①第2项 ②等差数列 ③公差 ④等差中项 ⑤an＝a1＋(n－1)d ⑥an＝am＋(n－m)d ⑦an＝d·n＋(a1－d)
⑧ ⑨am＋an＝ap＋aq ⑩d<0 常数列 d kd 2d 等差数列 λ1d＋λ2d′ 2an an＋1－an＝d(d是一个与n无关的常数) an＝an＋b(a，b为常数) 2an＋1＝an＋an＋2
1.对于等差数列的定义，我们需要从哪几点去掌握？为什么要强调这几点？
(1)在等差数列的定义中，要注意两点，“从第2项起”及“同一常数”，因为数列的第1项没有前一项，因此强调从第2项起，如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项起或从第4项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项起或第3项起是一个等差数列．
(2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这个常数可以不同，要注意“差是常数”和“差是同一常数”的含义的不同，如数列2,4,5,9，从第2项起，每一项与前一项的差都是常数，但常数是不相同的，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉．
(3)在数列{an}中，如果an
an＋1对n∈N＋都成立，那么称{an}是单调递减数列．数列的单调性可以用函数的单调性来刻画．例如，公差不为零的等差数列的单调性与一次函数的单调性相同，当公差大于零，那么这个等差数列是递增数列，当公差小于零，那么这个等差数列是递减数列．
3．等差数列的判定和证明有哪些方法？
判断一个数列是否是等差数列，一般有以下四种方法：
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋) {an}是等差数列．
(2)递推法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋) {an}是等差数列．
(3)性质法：利用性质来判断．
(4)通项法：an＝pn＋q(p，q为常数) {an}是等差数列．
其中(4)主要应用于选择、填空题中，在解答题中判断一个数列是否是等差数列，一般用(1)、(2)、(3)这三种方法，而方法(3)还经常与(1)、(2)混合运用.
判断数列为等差数列的常用方法有两种：
(1)定义法：利用an＋1－an＝常数(n∈N*)，an－an－1＝常数(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项法．
[例1] 如果数列{an}是等差数列，数列{bn}中，bn＝3an＋2.求证：{bn}是等差数列．
分析：要证{bn}是等差数列，即要证bn＋1－bn为常数(n∈N＋)．
证明：∵{an}为等差数列，设公差为d，则an＋1－an＝d(n∈N＋)，
由bn＝3an＋2，得bn＋1＝3an＋1＋2，
∴bn＋1－bn＝3(an＋1－an)＝3d(n∈N＋)是常数．
∴数列{bn}是等差数列．
写出等差数列的通项公式，只需确定它的首项a1与公差d，代入an＝a1＋(n－1)d即得．
[例2] 已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．
(1)a3＝5，a7＝13；
(2)前三项分别为a,2a－1,3－a.
解析：(1)中可设出首项a1与公差d，列方程组求出；
设首项为a1，公差为d.
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴通项公式an＝2n－1.
[变式训练2] 已知数列{an}为等差数列，分别根据下列条件求出它的通项公式．
(1)a3＝5，a7＝13；
(2)前三项为a,2a－1,3－a.
[例3] 设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( )
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：设第二项为a，公差为d，
则前三项为a－d，a，a＋d.
∵{an}为递增数列，∴d>0，故d＝2.
故{an}首项为2.
答案：B
[变式训练3] 数列{an}(n∈N＋)中，若an＋1是an和an＋2的等差中项，则数列{an}是否为等差数列？并证明你的结论．
解析：∵an＋1是an和an＋2的等差中项，
∴an＋1＝ ，即an＋1－an＝an＋2－an＋1，
∴a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝…＝an－an－1＝…
故数列{an}为等差数列．
若{an}是等差数列，且不是常数数列(即公差d≠0)，则对任意正整数m，n，p，q，k，有m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq.
特别地，有2k＝p＋q 2ak＝ap＋aq.
这是等差数列的一个重要性质，有广泛的应用，活用这一性质，往往会给解题带来很大方便．
[例4] 在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列的通项公式．
解析：a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，
又∵a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，
∴a3＋a7＝2a5＝6，①
a3·a7＝－7，②
由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1，
∴a3＝－1，d＝2或a3＝7，d＝－2.
由an＝a3＋(n－3)d，得an＝2n－7或an＝－2n＋13.
[变式训练4] 在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.
解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，
∴a3＋a7＋a4＋a6＋a5＝5a5＝450，
∴a5＝90.又∵a2＋a8＝2a5，
∴a2＋a8＝180.
[例5] 若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
分析：求通项公式，关键在于求出首项和公差．
解得d＝2或d＝－2.
当d＝2时，a1＝1－d＝－1，
an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；
当d＝－2时，a1＝1－d＝3，
an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.
[例6] (1)求证：“{an}是等差数列”的充要条件是“存在常数k和b，使an＝kn＋b对一切n∈N*都成立”；
(2)试问：是否存在等差数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1(n∈N*)？若存在，请求出通项公式，若不存在，请说明理由．
解析：(1)充分性：∵an＝kn＋b，
∴an＋1＝k(n＋1)＋b，
于是an＋1－an＝k(n＋1)＋b－(kn＋b)＝k(常数)，
∴{an}是公差为k的等差数列．
必要性：∵{an}是等差数列，设其公差为k，
∴an＝a1＋(n－1)k＝kn＋a1－k.
取b＝a1－k，于是an＝kn＋b.
(2)假设存在等差数列{an}满足性质an＋1＝a－nan＋1(n∈N*)，
根据(1)可设an＝kn＋b，于是k(n＋1)＋b＝(kn＋b)2－n(kn＋b)＋1，
即(k2－k)n2＋(2bk－b－k)n＋b2＋1－k－b＝0对一切n∈N*恒成立．
由①得k＝0或k＝1，
当k＝0时，代入②得b＝0，不满足③；
当k＝1时，代入②得b＝1，满足③，
所以an＝n＋1，
故等差数列{n＋1}满足性质an＋1＝ －nan＋1(n∈N*)．
[变式训练6] 已知成等差数列的四个数之和为26，第二个与第三个数之积为40，求这个等差数列．
解析：设成等差数列的四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
由题设知
∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.等差数列
教学目标
1．明确等差中的概念．
2．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式
3．培养学生的应用意识．
教学重点
等差数列的性质的理解及应用
教学难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
教学方法
讲练相结合
教具准备
投影片2张(内容见下面)
教学过程
(I)复习回顾
师：首先回忆一下上节课所学主要内容：
等差数列定义：（n≥2）
等差数列通项公式：（n≥2）
推导公式：
（Ⅱ）讲授新课
师：先来看这样两个例题（放投影片1）
例1：在等差数列中，已知，，求首项与公差例2：梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。
解：由题意可知
解之得即这个数列的首项是-2，公差是3。
或由题意可得：即：31=10+7d
可求得d=3，再由求得1=-2
解设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：
a1=33, a12=110，n=12
∴,即时10=33+11
解之得：
因此，答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.
师：[提问]如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
生：由定义得A-=-A
即：
反之，若，则A-=-A
师：由此可可得：成等差数列，若，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是否和风细雨的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。
看来，
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则，
生：结合例子，熟练掌握此性质
师：再来看例3。（放投影片2）
生：思考例题
例3：已知数列的通项公式为：
分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。
解：取数列中的任意相邻两项与（n≥2），
则：
它是一个与n无关的常数，所以是等差数列。在中令n=1，得：
，所以这个等差数列的首项是p=q，公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为：
，其中、是常数。
（Ⅲ）课堂练习
生：（口答）
（书面练习）
师：给出答案
生：自评练习
（Ⅳ）课时小结
师：本节主要概念：等差中项
另外，注意灵活应用等差数列定义及通项公式解决相关问题。
（Ⅴ）课后作业
一、课本
二、1．预习内容
2．预习提纲：①等差数列的前n项和公式；
②等差数列前n项和的简单应用。
教学后记
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.等差数列
一.选择题：
1、等差数列｛an｝中，a1=60,an+1=an+3则a10为……………………………… （ ）
A、-600 B、-120 C、60 D、-60
2、若等差数列中，a1=4,a3=3,则此数列的第一个负数项是…………………… （ ）
A、a9 B、a10 C、a11 D、a12
3.若数列的通项公式为，则此数列是 （ ）
A.公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列
C.首项为的等差数列 D. 公差为的等差数列
4. 已知｛an｝是等差数列，a7+a13=20，则a9+a10+a11=…………………… （ ）
A、36 B、30 C、24 D、18
5.等差数列的一个通项公式为 （ ）
A. B. C. D.
6.若是等差数列，则，，，，，是 （ ）
A.一定不是等差数列 B. 一定是递增数列
C.一定是等差数列 D. 一定是递减数列
二.填空题：
7.等差数列中，，，则 .
8.等差数列中，，，则 .
9.已知等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则 .
10. 若｛an｝是等差数列，a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8= .
三.解答题
11.判断数，是否是等差数列:中的项，若是，是第几项？
12. 等差数列｛an｝中，a1=23，公差d为整数，若a6>0,a7<0.
（1）求公差d的值;
（2）求通项an.
13、若三个数a-4, a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列.
等差数列
1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.C 7.10 8.21 9. 10. 3
11.由题意知,由,得,∴52不是该数列中的项.
又由解得,∴是数列中的第项.
12. （1）d=-4;（2）an=-4n+27
13．a=6，相应的数列为：2，8，14
a=9，相应的数列为：5，8，11
a=12，相应的数列为：2，8，14
www.等差数列 复习学案
一、课标要求：
1．通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。
2．探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关的知识解决相应的问题。
4．体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。
二、课前热身
（一）等差、等比数列中的“知三求二”问题（等差、等比数列中，围绕an，sn分别有两套公式，均含有五个量：a1，n，an，Sn，d（q）。已知其中三个量，可以求其余两个量。
练习1： （06全国文）已知{an}为等比数列，a3=2，a2+a4=，求{an}的通项公式。
练习2：已知等差数列{an}，a1=，d=-，Sn= -5。求：n与an
（二）灵活应用等差、等比数列的通项公式
练习1等比数列{an}中，如果a6=6，a9=9，求a3（两种方法）
（三）灵活应用等比数列前n项和公式
练习1．已知等比数列的前4项和为1，且公比为2，求此数列的前8项的和。
二、典例解析
例1：已知等差数列{an}，若a3+a5+ a13+a21+ a23=20，求S25
解析：等差数列{an}的一条重要性质：若m、n、p、q∈N且m+n=p+q，则am+an= ap+aq；
特别地：m+n=2s则am+an=2as，简记为：“两项和等于两项和”
类比变式1：已知等比数列{an}中，an>0，a2a4+2 a3a5+ a4a6=25，求a3+a5
变式练习：已知等差数列{an}、{bn}，且，求的值。
例2．设{an}为等差数列，其前n项和记为Sn。已知S7=7，S15=75，Tn为 的前n项和，求Tn
解析：数列{an}为等差数列，其前n项和记为Sn，可推导出数列也是等差数列。
例3．已知等比数列{an}前n项和记为48，前2n项和为60，求前3n项的和。
解析：本题可用等比数列前n项和求解，亦可用等比数列的性质：Sn，S2n- Sn，S3n- S2n也是等比数列。
三、等差数列前n项和最值的问题
例4．已知等差数列{an}，a1<0，d≠0，且|a3|=|a9|，n为何值时，Sn最小。
解析：若a1<0，d>0，等差数列{an}的前n项和有最小值。（最大值的情况类似）
方法一：由解出n的范围，从而定此范围内的自然数n。（若an=0，则Sn和Sn-1同时取最小值。
方法二：因为等差数列前n项和公式知，Sn可以看作是n的二次函数，其图象是抛物线，离对称轴最近的自然数n0是Sn取最值的n
例5．等差数列{an}，a1>0，S3=S11，n为何值时，Sn有最大值。
变式练习1：等差数列{an}，a1>0，S12=0，n为何值时，Sn有最大值。
变式练习2：等差数列{an}，a1>0，S13=0，n为何值时，Sn有最大值。
变式练习3：等差数列{an}的前n项和为Sn，已知：a3=12，S12>0，S13<0。（1）求公差d的取值范围；（2）求当家作主n为何值时，Sn取最大值。
思考题：{an}是首项为1010，公比为q（q>0）的等比数列，数列{bn}中 ，bn+1=lgan+bn
（1）若数列从第4项起开始小于10，试求q的变化范围；（2）当q在上述范围内变化时，数列{bn}的最大项是第几项？
www.