第二章 解三角形
1.2余弦定理
教学目标
1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角
教学设想
[创设情景] C
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c b a
A c B
[探索研究] (图1．1-4)
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A
如图1．1-5，设，，，那么，则
C B
(图1．1-5)
从而
同理可证
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
例题:例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
== 8 ∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos ∴
解法二：∵sin又∵＞
＜∴＜， 即＜＜ ∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
解：由余弦定理的推论得：
cos ；
cos ；
[随堂练习]第51页练习第1、2、3题。
[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）
[课堂小结]（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，
勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；
②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
（五）：作业：第52页[习题2.1]A组第5题。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.2.1.3余弦定理
知识梳理
余弦定理：
(1)形式一：，，
形式二：，，，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
题型一 根据三角形的三边关系求角
例1．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角.
解：∵＝＝＝k
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(+1)∶(－1)∶
设a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k (k＞0)
则最大角为C.cosC＝
＝ eq \f((＋1)2＋(－1)2－2,2×(＋1) (－1)) ＝－
∴C＝120°.
评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C最大。
题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形
例2.在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。
求角C的度数；
求的长；
（3）求△ABC的面积。
解：(1)
（2）因为，是方程的两根，所以
（3）
评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。
备选题 正、余弦定理的综合应用
例3.在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得: .又,。
所以…………………………………①
又，
，即
由正弦定理得，故………………………②
由①，②解得。
评析:从近年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
例3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，，，证明：
。
证明：由余弦定理知：
，
则
，
整理得:
，
又由正弦定理得:
， ，
评析：三角形中的证明，应充分利用正、余弦定理，三角函数的公式，在边、角关系中，明确证明思路，都化为边的关系或都化为角的关系。
. 点击双基
1．在△ABC中，若a=2, b=2, c=+,则∠A的度数是 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
解：=，A=30°
答案：A
2．在△ABC中，若则 ( )
A． B． C． D．
解：
答案：B
3. 在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
解：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.
答案：C
4．在△ABC中，若∶∶∶∶，则_____________。
解：∶∶∶∶∶∶，
令
答案：
5. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知 则A＝ .
解：由余弦定理可得，
∴
答案：
课后作业
1．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
解： 设中间角为，则为所求
答案：B
2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形
解：长为6的边所对角最大，设它为， 则
答案：A
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
解：设顶角为C，因为，
由余弦定理得：
答案：D
4.在中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则角B的值为（ ）
A. B. C.或 D. 或
解：由得即
,又B为△ABC的内角，所以B为或
答案：D
5．在△ABC中，若，则最大角的余弦是（ ）
A． B． C． D．
解： ，为最大角，
答案：C
6. 在中，，则三角形为（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解：由余弦定理可将原等式化为
答案：C
7.的内角的对边分别为，若，则等于（ ）
A． B．2 C． D．
解：由余弦定理得，，6=a+2+aa=或-2（舍去）
答案：D
8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（ ）
A. 52 B. C. 16 D. 4
解：由题意得或2（舍去）
答案：B
二．填空题
9.△ABC中，若，则A=
解：= A=
答案：
10．在△ABC中，若则△ABC的形状是_________。
解： 为最大角，为锐角
答案：锐角三角形
11．在锐角△ABC中，若，则边长的取值范围是_________。
解：
答案：
三．解答题
12.在△ABC中：
(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a；
(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；
(3)已知a＝3，c＝2，B＝150°，求b；
(4)已知a＝2，b＝，c＝＋1，求A.
解：(1)由a2＝b2＋c2－2bccosA得
a2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a＝7.
(2)由cosB＝得
cosB＝＝0，∴B＝90°.
(3)由b2＝a2＋c2－2accosB得
b2＝(3)2＋22－2×3×2cos150°＝49，∴b＝7.
(4)由cosA＝得
cosA＝ eq \f(（）2＋（＋1）2－22,2（＋1）) ＝ eq \f(,2) ，∴A＝45°.
13在△ABC中，，求。
解：
，而
所以
14半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(a-b)sinB．求角C；
解：(1)∵
∵ 2R(sin2A-sin2C)＝(a－b)sinB
∴ 2R［()2-()2］＝(a-b)·∴ a2-c2＝ab-b2
∴ ∴ cosC＝，∴ C＝30°
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1．2 余弦定理
一、余弦定理
1．三角形任何一边的平方等于①________，即a2＝②________，b2＝③________，c2＝④________.
2．余弦定理的推论：
cosA＝⑤________，cosB＝⑥________，cosC＝⑦________.
3．余弦定理与勾股定理
(1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达式中令A＝90°，则a2＝b2＋c2；令B＝90°，则b2＝a2＋c2；令C＝90°，则c2＝a2＋b2.
(2)在△ABC中，若a2b2＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立．
二、余弦定理的应用
利用余弦定理可以解决两类斜三角形问题：
1．已知三边，求 ________.
2．已知两边和它们的夹角，求 ________和 ________.
友情提示：理解应用余弦定理应注意以下四点：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具；
(2)余弦定理是 ________的推广，勾股定理是 ________的特例；
(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以 ________；
(4)运用余弦定理时，因为已知三边求 ________，或已知两边及夹角求 ________，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．
在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理的标准是什么？
在没有学习余弦定理之前，还会解三角形，但是学习了余弦定理后，就不会解三角形了，不知是用正弦定理还是用余弦定理．这时要依据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择，还要依靠经验的积累．根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．
特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此范围内同一个正弦值一般对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意．但是在(0，π)内一个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论.
：
先用余弦定理求出第三边长，进而用余弦定理或正弦定理求出其他两个角．
[例2] 在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，C＝15°，求角A、B和边c的值．
[变式训练2] 如图，已知AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，求AD的长．
分析：由余弦定理可解三角形ABC，求出BC长度；由三角形内角平分线定理可求出BD长，再解△ABD即可求出AD长．
解析：在△ABC中，由余弦定理：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝32＋52－2×3×5·cos120°＝49，
∴BC＝7，
设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线定理：
在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理：
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.
[例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确定此三角形的形状．
当a＝b时，△ABC为等腰三角形；
当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定理得
2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A＝sin2B.
又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)，
故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
[变式训练3] (2010·辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
[例4] (数学与日常生活)如图，某市三个新兴工业小区A、B、C决定平均投资共同建一个中心医院O，使得医院到三个小区的距离相等，已知这三个小区之间的距离分别为AB＝4.3 km，BC＝3.7 km，AC＝4.7 km，问该医院应建在何处？(精确到0.1 km或1°)
分析：实际问题的解决，应首先根据题意转化为三角形模型，从而运用正、余弦定理解决，要注意题中给出的已知条件．本题实际上是在△ABC中，求△ABC的外接圆的半径OB及OB与边BC的夹角．
分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2)分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.余弦定理 同步练习(一)
1、在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若有，则的形状（ ）
A、一定是锐角三角形 B、一定是直角三角形
C、一定是钝角三角形 D、不能确定
2．a、b、c是△ABC的三边，B＝60°，那么的值是（ ）
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不确定
3．三角形三边长之比为3：5：7，则其最大角是（ ）
A． B．
C． D．
4、在中，，则C为（ ）
A、 B、 C、 D、
5．根据条件，解下列三角形．
（1）在△ABC中，若，求A；
（2）在△ABC中，若，求c；
（3）在△ABC中，若，求b；
（4）△ABC三边的长，求最大角；
6、在中，，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
7．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的外接圆半径为__________．
8．在△ABC中，BC＝3，AB＝2，，∠A＝_____________．
9、中，，则AC= 。
10．在△ABC中，，判断△ABC的形状．
11．在△ABC中，AB＝1，AC＝2，求∠C的最大值．
12、如图2-1-4在中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若，BC边上的中线AD的长为，求边长a。
13．已知△ABC的边长满足等式时，求∠A．
14．（1）△ABC中，若已知三边为连续整数，最大角是钝角，求最大角的余弦．
（2）求以（1）中的最大角为内角，此夹角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．
15、在中，，且最长边为1，求（1）C的大小，（2）最短边的边长。
www.
