等差数列
一.选择题：
1、等差数列｛an｝中，a1=60,an+1=an+3则a10为……………………………… （ ）
A、-600 B、-120 C、60 D、-60
2、若等差数列中，a1=4,a3=3,则此数列的第一个负数项是…………………… （ ）
A、a9 B、a10 C、a11 D、a12
3.若数列的通项公式为，则此数列是 （ ）
A.公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列
C.首项为的等差数列 D. 公差为的等差数列
4. 已知｛an｝是等差数列，a7+a13=20，则a9+a10+a11=…………………… （ ）
A、36 B、30 C、24 D、18
5.等差数列的一个通项公式为 （ ）
A. B. C. D.
6.若是等差数列，则，，，，，是 （ ）
A.一定不是等差数列 B. 一定是递增数列
C.一定是等差数列 D. 一定是递减数列
二.填空题：
7.等差数列中，，，则 .
8.等差数列中，，，则 .
9.已知等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则 .
10. 若｛an｝是等差数列，a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8= .
三.解答题
11.判断数，是否是等差数列:中的项，若是，是第几项？
12. 等差数列｛an｝中，a1=23，公差d为整数，若a6>0,a7<0.
（1）求公差d的值;
（2）求通项an.
13、若三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列.
等差数列
1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.C 7.10 8.21 9. 10. 3
11.由题意知,由,得,∴52不是该数列中的项.
又由解得,∴是数列中的第项.
12. （1）d=-4;（2）an=-4n+27
13．a=6，相应的数列为：2，8，14
a=9，相应的数列为：5，8，11
a=12，相应的数列为：2，8，14等差数列前n项和
【学习目标】
1、知识与技能: 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
2、经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思
【课前预习案】
一、【知识储备】
1．等差数列的定义： __________________________________________________________
2．等差数列的通项公式：_______________________________________________________
3．几种计算公差d的方法：___________________________________________________
4．等差中项：________________________________
5．等差数列的性质： ________________________________________________________
二、【自主学习】
1、学习等差数列前项和公式推导过程。
2、等差数列的公差为，首项为，前项和
公式（1） 公式（2） 。
三、【小试身手】
1 等差数列中，
(1)已知 则=__________________
(2)已知， 则=___________________
2等差数列中，已知，， 则=______及n=_____________
3、等差数列中，若，则公差___________.
【课内探究案】
例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a15＝10，a45＝90，求
(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；
(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．
例2 等差数列－10，－6，－2，2，．．．前多少项和是54？
例3 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？
例4 在等差数列{}中，已知a6+ a9+ a12+ a15 = 34，求前20项之和
【课后提高案】
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
2．根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数.
1),, 求
2),求
3. ,,求
4. 在等差数列{}中，a2+a5=19 S5 =40 则a10为
(A)27 (B)28 (C)29 (D)30
5. 在等差数列{}中，d=2, =11, Sn =35 则a1为
(A)5或7 （B）3或5 （C）7或－1 （D）3或－1
6. 已知数列1,2,3,4，,2n, 则其和为_________，奇数项的和为_________。
7. 在等差数列{}中，a1-a4-a8-a12+a15=2，则s15=___________________
8．在等差数列中，，，求
第六课时
【学习目标】
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决求通项公式，求前n项和的最值等问题.
【课前预习案】
一【知识储备】
1、 ＝
2、 前n项和公式与n的关系:式变形:
二【自主学习】
阅读并完成课本例2——例4
探究下列问题：
1.是等差数列，是其前n项和，参考课本46页B组2题，探究的关系（ （）仍成等差数列）
3．等差数列{an}的前n项和与二次函数的关系是 .，如何从中读出公差，求最值.
三【小试身手】
1 数列前项和，且，则正整数 _____________
2 设等差数列前项和，若，则
3. 等差数列前项和为，若，则当n=___________时，最大
【课内探究案】
探究1前n项和公式的应用
例1在等差数列{an}中，,,求
探究2 之间的关系
例2已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 求其前项和的公式.
探究3对等差数列的前项和公式2：可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式，那么它有何作用呢？
例3在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．
【课后提高案】
1、等差数列{an}中，d为公差.若前n项的和为Sn= -n2，则（ ）
A.an=2n-1，d= -2 B. an=2n-1，d= 2
C. an= -2n+1，d= -2 D. an= -2n+1，d= 2
2一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和
3．在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值
4．设等差数列{}的前n项和为，已知＝12，>0，<0，
(1) 求公差d的取值范围；
(2) 指出, , , ……, 中哪一个最大，说明理由
5. 在等差数列{}中，已知a1=25, S9= S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值。
www.课题 §1.2.4等差数列的前n项和
课型 新授课 课时 2 备课时间
教学目 标 知识与技能 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值；
过程与方法 经历公式应用的过程
情感态度与价值观 通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。
重点 熟练掌握等差数列的求和公式
难点 灵活应用求和公式解决问题
教学方法
教学过程●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等差数列的前项和公式1： 2.等差数列的前项和公式2：Ⅱ.讲授新课探究：——课本P51的探究活动结论：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？由，得当时===2p对等差数列的前项和公式2：可化成式子：，当d≠0，是一个常数项为零的二次式[范例讲解]等差数列前项和的最值问题课本P51的例4 解略小结：对等差数列前项和的最值问题有两种方法:利用:当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值利用：由利用二次函数配方法求得最值时n的值Ⅲ.课堂练习1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。2．差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值。Ⅳ.课时小结1．前n项和为，其中p、q、r为常数，且，一定是等差数列，该数列的首项是公差是d=2p通项公式是2．差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值。当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值。（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值Ⅴ.课后作业课本P53习题[A组]的5、6题
教学反思
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2．2 等差数列的前n项和
一、等差数列{an}的前n项和公式
一般地，我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝①________.
对于等差数列{an}来说，设其首项为a1，末项为an，项数为n，由倒序相加法可知其前n项和Sn＝②________.这个公式表明：等差数列前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半．如果代入等差数列通项公式an＝a1＋(n－1)d，Sn也可以用首项a1与公差d来表示，即Sn＝③________.
二、等差数列前n项和的常见性质
(1)若在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在⑥________，若在等差数列{an}中，a1<0，d>0，则Sn存在⑦________.
友情提示：若等差数列{an}中a1>0，d<0，且ak>0，ak＋1<0，则Sk为数列{Sn}中的最大值；若ak>0，ak＋1＝0，则Sk＝Sk＋1且均为最大值．若{Sn}存在最小值，则情况与此相似．
(2)等差数列中依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，且公差为⑧________(d是原数列公差)．
(3)项数为偶数2n的等差数列{an}，有
S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)(an与an＋1为中间的两项)；
S偶－S奇＝⑨________； ＝⑩________.
(4)项数为奇数2n－1的等差数列{an}，有
S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)；S奇－S偶＝ ________； ＝ ________.
S奇、S偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和．
(5)等差数列{an}中，若an＝m，am＝n(m≠n)，则am＋n＝ ________.
(6)等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝ ________.
(7)等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝ ________.
(8)若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与S′n，则 ＝ ________.
1.为何课本上在推导前n项和公式时，没有首尾相加而是采用倒序相加法？
对于1＋2＋3＋…＋100＝？可用以下方法计算：
101＝1＋100＝2＋99＝3＋98＝…这样的数共有50对，则50×101＝5050，运用的是等差数列的一个性质．
而对于1＋2＋3＋…＋101＝？将首尾相加：102＝1＋101＝2＋100＝3＋99＝…，这样的数除有50对外，还多了一个中间数51.
2．如何理解等差数列中奇数项和、偶数项和的问题？
(1)当等差数列{an}有偶数项时，设为2n项，
设S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，①
S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，②
①－②得：S偶－S奇＝nd，
①＋②得：S偶＋S奇＝S2n，
(2)当等差数列{an}有奇数项时，设项数为2n＋1，
设S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，③
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，④
③－④得：S奇－S偶＝a1＋nd＝an＋1，
③＋④得：S偶＋S奇＝S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，
此时，当a1＝0，等差数列的各项均是0，则Sn的最大值和最小值都是0；当a1>0，Sn＝f(n)＝a1n是一次函数，并且是增函数，由于函数的定义域是n∈N*，则Sn存在最小值S1，不存在最大值；当a1<0，Sn＝f(n)＝a1n是一次函数，并且是减函数，由于函数的定义域是n∈N*，则Sn存在最大值S1，不存在最小值．
当 ≠0，即d≠0时，则Sn是n的二次函数，要结合二次函数的图像和性质，求得最值．
(2)我们知道有如下的实数运算规律：实数加上负数，越加越小；实数加上正数，越加越大；实数加上0，不变化．
设数列{an}是等差数列，首项是a1，公差是d，则其前n项和是Sn.
当d>0，a1>0时，等差数列{an}中所有项都是正数，则Sn存在最小值S1，不存在最大值；
当d<0，a1<0时，等差数列{an}中所有项都是负数，则Sn存在最大值S1，不存在最小值；
当d>0，a1<0时，由于d>0，该等差数列是递增数列，那么必存在m∈N*，使得
即等差数列中，前m项都是非正数，从第m＋1项开始，以后各项都是正数，则Sn不存在最大值，存在最小值，Sn的最小值是Sm.
当d<0，a1>0时，由于d<0，该等差数列是递减数列，那么必存在m∈N*，使得
即等差数列中，前m项都是非负数，从第m＋1项开始，以后各项都是负数，则Sn不存在最小值，存在最大值，Sn的最大值是Sm.
[例1] 在等差数列{an}中，
(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；
(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
(3)已知a16＝3，求S31.
[例2] 数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N*)．
(1){an}是什么数列？
(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和．
解析：(1)an＝Sn－Sn－1
＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]
＝101－2n(n≥2)．
∵a1＝S1＝100×1－12＝99＝101－2×1，
∴数列{an}的通项公式为an＝101－2n(n∈N*)．
又an＋1－an＝－2为常数，
∴数列{an}是首项为a1＝99，公差d＝－2的等差数列．
(2)令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，
∵n∈N*，∴n≤50(n∈N*)．
①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an，
∴{bn}的前n项和Sn′＝100n－n2.
②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an，
由b51＋b52＋…＋bn
＝－(a51＋a52＋…＋an)
＝－(Sn－S50)
＝S50－Sn，
得数列{bn}的前n项和为
Sn′＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn
＝2×2500－(100n－n2)
＝5000－100n＋n2.
由①②得数列{bn}的前n项和为
Sn′＝
[变式训练2] 数列{an}的前n项和为Sn＝10n－n2，求数列{|an|}的前n项和．
解析：a1＝S1＝9.
∵Sn＝10n－n2，∴an＝Sn－Sn－1＝－2n＋11(n≥2)，当n＝1时，an也成立，故an＝－2n＋11(n∈N＋)．
令an<0，得－2n＋11<0，解得n>
∴当1≤n≤5时，an>0；当n≥6时，an<0.
设Sn′是数列{|an|}的前n项和，则Sn′＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋|a6|＋|a7|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－(a6＋a7＋…＋an)．
∴当1≤n≤5时，Sn′＝Sn＝10n－n2；
当n≥6时，Sn′＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(10×5－52)－(10n－n2)＝n2－10n＋50.
[例3] 在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.
解法3：设等差数列的首项为a1，公差为d，
[变式训练3] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
分析：求d的取值范围，从S12>0，S13<0入手．
(2)由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13.
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an＋1<0，
则Sn是S1，S2，…，S12中的最大值．
由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，
即a6＋a7>0，a7<0.
由此得a6>－a7>0，因为a6>0，a7<0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
[例4] 在等差数列{an}中，a1＝30，公差d＝－2，求它的前n项和Sn的最大值，并求出相应的n值．
[变式训练4] 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．
解法3：由S17＝S9，
得a10＋a11＋…＋a17＝0.
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.
∵d＝－2<0，a1>0，∴a13>0，a14<0，
故n＝13时，Sn有最大值169.
解法4：由d＝－2得Sn的图像如图所示(抛物线上一些孤立点)，由S17＝S9知图像对称轴为n＝
＝13，
∴当n＝13时，Sn取得最大值为169.
已知等差数列的奇数项和与偶数项和，解题思路可以转化为求基本特征量a1与d.但充分利用奇数项和、偶数项和与数列和之间的关系，可使问题简化．
解法2：设S偶＝a2＋a4＋…＋a10，S奇＝a1＋a3＋…＋a9，则S偶＝140－125＝15＝5a6(因为a2＋a10＝a4＋a8＝2a6)，所以a6＝3.
[变式训练5] (1)在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
(2)有2n＋1项的等差数列，其奇数项与偶数项的和之比为 ( )
答案：(1)B (2)B
分析：要根据条件寻找通项与前n项和的关系．
此类问题仍可转化为利用基本特征量进行解决，这是最基本的方法，是必须要掌握的．但在此基础上，深刻理解等差数列的和与等差数列之间的关系，可以使自己的学习得到提升．
[例7] 等差数列的前n项和为Sn，若S4＝1，S8＝4，求a17＋a18＋a19＋a20.
解法2：S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16构成等差数列，令b1＝S4，b2＝S8－S4，则b5＝1＋4×2＝9.
[变式训练7] (一题多解)等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为 ( )
A．130 B．170
C．210 D．260
解析：解法1：将Sm＝30，S2m＝100代入前n项和公式有
答案：C
[变式训练8] 在数列{an}中，Sn＝an2＋bn＋c(a≠0)，求证：{an}是等差数列的等价条件是c＝0.
证明：(1)n＝1时，a1＝S1＝a＋b＋c；
(2)n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝an2＋bn＋c－a(n－1)2－b(n－1)－c
＝2an＋(b－a)，
∴an＋1－an＝2a，
而a2－a1＝2a×2＋(b－a)－(a＋b＋c)
＝3a＋b－a－b－c＝2a－c，
所以c＝0时，{an}是等差数列．
[例9] 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前一分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
分析：本题实质上是数列求和问题，因此应将实际问题转化成数学问题．
[变式训练9] (数学与经济科技)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如下图所示：
甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．
乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息回答：
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第一年是扩大了还是缩小了？请说明理由；
(3)哪一年的规模最大？请说明理由．
分析：由信息图数据可直接做出(1)、(2)，建立数学模型，可解决第(3)问．
解析：(1)由图可知，第2年养鸡场的个数是26个，
那么全县出产鸡的总数是S2＝26×1.2＝31.2(万只)．
(2)第一年总共出产鸡的只数：S1＝30×1＝30(万只)，
第六年总共出产鸡的只数：S6＝2×10＝20(万只)．
由此得S1－S6＝30－20＝10(万只)．这说明规模缩小了．
