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3．1 等比数列
一、等比数列的概念
1．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于①________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的②________，公比通常用字母q表示(q≠0)．
友情提示：关于等比数列概念的理解应注意以下几点事项：
(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项③________，因此q也不能是0；
(2)“从第2项起”是因为首项没有④________；
(3)⑤________均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒；
(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列⑥________，这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列；
(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列⑦________；
(6)常数列都是等差数列，但却不一定是⑧________.若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，是等比数列；
(7)证明一个数列为等比数列，其依据是⑨________，利用这种形式来判定，就便于操作了．
(8)在现实生活及国民经济建设中，常出现增长率(降低率)、复利率等问题，多与等比数列有联系，应用广泛．
2．与等差中项的概念类似，如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，我们称G为a，b的⑩________且G＝± (ab>0)，即 ________.在等比数列中，首末两项除外，每一项都是它的前一项与后一项的等比中项．
友情提示：关于等比数列中项的理解应注意体会以下几点：
(1)在a、b同号时，a、b的等比中项有两个； ________时，没有等比中项；
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的 ________；
(3)“a、G、b成等比数列”等价于 ________，可以用它来判断或证明三数成等比数列．
同时还要注意到“a、G、b成等比数列”与“G＝ ”是不等价的．
二、等比数列的通项公式
1．通项公式：首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是 ________.
2．通项公式及其变式的应用
(1)由通项公式an＝a1qn－1可知，已知 ________就可求出等比数列中的任意一项；
(2)等比数列通项公式an＝a1qn－1中有a1，n，q，an共四个元素，知三可求一；
(3)若an，am是等比数列{an}的任意两项，则an＝ ________.
等比数列的单调性如下表：
a1 a1>0 a1<0
q的范围 01 01
{an}的单调性 ____ 非增非减 增 增 ____ 减
三、等比数列的简单性质
设{an}是公比为q的等比数列，那么
(1)an＝am·qn－m；
(2)如果m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(反之不一定成立，例如常数列)．特别地，当m＋n＝2p时，有am·an＝________；
在有穷等比数列中，与首末两项等距离的二项的积等于首末两项的积；
(3)等比数列中每隔一定项取出一项按原来顺序排列构成的数列仍为等比数列．例如am，a2m，a3m也成等比数列；
1.对等比数列概念与通项公式分别应如何理解？
(1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．我们要强调一点：“公比q≠0”．等比数列的首项不为0，等比数列的每一项都不为0，即an≠0；另外，我们还强调“从第2项起”，这是为了保证每一项的前一项存在．公比，它的基本特征是“同一常数”，如果漏掉了“同一”两字，就会破坏等比数列中各项的共同性质．
(2)对于通项公式应从以下几个方面入手：
①在公式an＝a1qn－1(n∈N＋)中有四个基本量an、a1、q、n，若知道其中任意的三个量，就可以求出另一个量．
②此公式成立的条件是，n∈N＋，q≠0，且对n取1,2,3，…的一切正整数都成立．
③由于an＝a1qn－1＝ ·qn，当q>0且q≠1时，qn对应于指数函数qx，所以有时可以把等比数列的通项公式看作是函数y＝kqx(x∈N＋)(或自然数从1起始的某个子集)这样的一个函数．
④在等比数列{an}中的任意两项可以互相表示为an＝amqn－m.这也是通项公式的另一种形式．
证明：∵an＝a1qn－1，amqn－m＝a1qm－1qn－m＝a1qn－1，∴an＝amqn－m.
2．等比数列的判定方法有哪些？应如何区分等比数列的单调性？
(1)等比数列的判定方法有：
①an＝an－1q(n≥2，n∈N*，q为不等于零的常数) {an}是公比为q的等比数列．
② ＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*，an、an－1、an＋1均不为0) {an}是等比数列．
③an＝cqn(c、q均为不等于0的常数) {an}是等比数列．
由上可知判断一个数列是否成等比数列的方法：定义法、中项法、通项公式法．
(2)等比数列的单调性
在等比数列{an}中，若设首项为a1，公比为q，根据等比数列的定义，有
①若a1>0，q>1或a1<0,0②若a1>0,01，则数列递减；
③若q＝1，则数列为常数列；
④若q<0，则数列为摆动数列．
(3)对于形如an＋1＝an＋f(n)型或形如an＋1＝f(n)an型的数列，其中f(n)又是等差数列或等比数列，可以根据递推公式，写出n从1到n－1时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式．
等比数列的通项公式涉及首项a1，末项an，公比q以及项数n共四个量，已知其中三个量就可求出其他一个量．
[例1] 在等比数列中：
(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；
(2)若a2＝18，a4＝8，求a1与q；
(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
[变式训练1] 在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求a10；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
分析：由题目可获取以下主要信息：已知等比数列中的某些量之间的关系，求其他的量．解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量．
[例2] 数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，若an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证数列{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
分析：证明一个数列是等比数列通常使用定义．
[变式训练2] 已知数列{an}的前n项和Sn＝3an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
[变式训练3] 已知数列{an}为等比数列，且a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
解析：解法1：由已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8
[例4] 三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．
分析：三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中一个数为等比中项，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解好问题的关键．
解析：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则
a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2.
这三个数可表示为2－d,2,2＋d，
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6若d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.
③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，
∴d＝0(舍去)．
综上，可求得此三数为－4,2,8.
[变式训练4] 已知等比数列的前3项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
分析：利用已知条件，列出关于首项a1和公比q的方程组，求出a1和q后，问题便得以解决．
解析：设该等比数列的首项为a1，公比为q，由已知得
常用的等比数列的性质有以下几种：
设{an}是公比为q的等比数列，那么
(1)an＝am·qn－m；
(2)如果m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(反之不一定成立，例如常数列)．特别地，当m＋n＝2p时，有am·an＝a.在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积等于首末两项的积；
(3)等比数列中每隔一定项取出一项按原来顺序排列构成的数列仍为等比数列．例如am，a2m，a3m也成等比数列；
[例5] (1)已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于________．
(2)等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之积为________．
(3)在等比数列中，若a1＝1，a5＝10，则a9＝________.
(4)在等比数列{an}中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值是________．
答案：(1)5 (2)－217 (3)100 (4)192
[变式训练5] 在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝________.
分析：利用等比数列的性质，若m＋n＝k＋l，则aman＝akal来解决．
答案：512
评析：本题若把条件表示为a1、q的形式亦可解决，但运算步骤较麻烦，因此解题时要合理选择方法．
有些数列问题并非标准形式的等差、等比数列问题．但可以通过合理巧妙地变形构造成一个等差或等比的新数列，由此原问题便可以通过所学等差或等比数列的知识得到解决，这种解决问题的方法还是数学中转化与化归思想的具体体现，望同学们慢慢体会并合理的应用．
依据等差、等比数列定义或者等差中项、等比中项公式，判定一个数列为等差或等比数列，这是数列基本问题之一，不仅考查等差数列、等比数列的概念，而且考查分析、推理论证的能力，是高考考查中的重点．
[例7] 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
[变式训练7] 设{an}是公差d≠0的等差数列，且ak1，ak2，…，akn…恰好构成等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求kn.
∴在等差数列中，akn＝a1＋(kn－1)d＝(kn＋1)d；
在等比数列中，akn＝a1qn－1＝a1·3n－1＝2d·3n－1，
∴(kn＋1)d＝2d·3n－1，
∴kn＝2·3n－1－1.
[例8] 数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是常数，n＝1,2,3，…)，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．
(1)求c的值；
(2)求{an}的通项公式．
解析：(1)a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，
∵a1，a2，a3成等比数列，
∴(2＋c)2＝2(2＋3c)，
解得c＝0或c＝2.
当c＝0时，a1＝a2＝a3，不符合题意，舍去，故c＝2.
[变式训练8] 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝ ·Sn(n＝1,2,3，…)．证明：
(1)数列 是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系．建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后再应用数列的通项公式和求和公式求解；(2)通过归纳得到结论，在用数列知识求解．建立数学模型时，应明确是等差数列还是等比数列，是求an，n还是求Sn.
[例9] 从盛满a L(a>1)纯酒精的容器里倒出1 L，然后灌满水，再倒出1 L混合液后又用水灌满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的质量分数是多少？若a＝2时至少应倒几次后才能使酒精的质量分数低于10%
[变式训练9] 如图是一个计算装置示意图，J1、J2是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由J1，J2分别输入自然数m和n，经过计算后得自然数K由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：
①若J1，J2分别输入1，则输出结果为1；
②若J1输入任何固定自然数不变，
J2输入自然数增大1，则输出的结果比原来增大2；
③若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍．
试问：(1)若J1输入1，J2输入自然数n，输出结果为多少？
(2)若J2输入1，J1输入自然数m，输出结果为多少？
(3)若J1输入自然数m，J2输入自然数n，输出结果为多少？
解析：(1)由条件①有f(1,1)＝1，
由条件②知f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，
即当m固定时，f(m，n)成等差数列．
∴f(m，n)＝f(m,1)＋(n－1)·2，
故f(1，n)＝f(1,1)＋2n－2＝2n－1.
(2)由条件③知f(m＋1,1)＝2f(m,1)，即f(m,1)是一等比数列．
∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1.
(3)综合(1)、(2)知f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)＝2m－1＋2n－2.
评析：本题信息量大，粗看不知如何入手，但若把条件写成二元函数式，并把它看做某一变量的函数，抽象出等差或等比数列模型，问题便迎刃而解.课题 §1.3.1等比数列
课型 新授课 课时 备课时间
教学目 标 知识与技能 掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法 通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系
情感态度与价值观 充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣
重点 等比数列的定义及通项公式
难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
教学方法
教学过程Ⅰ.课题导入复习：等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。课本P41页的4个例子：①1，2，4，8，16，…②1，，，，，…③1，20，，，，…④，，，，，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。Ⅱ.讲授新课1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛｝成等比数列=q（,q≠0）2 隐含：任一项“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．3 q= 1时，{an}为常数。2.等比数列的通项公式1: 由等比数列的定义，有：；；；… … … … … … … 3.等比数列的通项公式2: 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系[范例讲解]课本P57例1、例2、P58例3 解略。Ⅲ.课堂练习课本P59练习1、2[补充练习]2.（1） 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项（答案：=2916）（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：==5, =q=40）Ⅳ.课时小结本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．Ⅴ.课后作业课本P60习题A组1、2题
教学反思
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一．选择题。（每题5分，分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
设是由正数组成的等比数列，且公比不为1，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．与公比的值有关
2．已知是等比数列，且，，那么（ ）
A． 10 B． 15 C． 5 D．6
3．设是正数组成的等比数列，公比，且，那么（ ）
A． B． C． D．
4．三个数成等比数列，其和为44，各数平方和为84，则这三个数为（ ）
A．2，4，8 B．8，4，2 C．2，4，8，或8，4，2 D．
5．等比数列的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，由的前n项的和是（ ）
A． B． C． D．
6．若等比数列的前项之和为，则等于（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
7．一个直角三角形三边的长成等比数列，则（ ）
A．三边边长之比为， B．三边边长之比为，
C．较小锐角的正弦为， D．较大锐角的正弦为，
8．等比数列的和为定值m(m>0)，且其公比为q<0，令，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知是数列的前n项和,那么（ ）
A．是等比数列 B．当时是等比数列
C．当,时是等比数列 D．不是等比数列
10．认定：若等比数列的公比q满足，则它的所有项的和，设。则（ ）
A． B． C． D．
11.若数列是等比数列，下列命题正确的个数是（ ）
①，是等比数列 ②成等差数列 ③，成等比数列 ④，成等比数列。
A． 5 B．4 C．3 D．2
12．等比数列中，公比，用表示它的前n项之积，则中最大的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题。（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。）
13.有三个正数成等比数列，其和为21，若第三个数减去9，则它们成等差数列，这三个数分别为_____________。
14．若不等于1的三个正数a，b，c成等比数列，则_______。
15．在等比数列中，，，使的最小自然数n=________。
16．若首项为，公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项公比q的一组取值可以是
_________。
三．解答题。（本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题10分） 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。
18．（本小题10分）设是由正数组成的等比数列，是其前n项和，
证明。
19． （本小题12分）为等差数列，中的部分项组成的数列恰为等比数列，且，求。
20．（本小题12分）设有数列，，若以为系数的二次方程都有根，且满足。
（1）求证：数列是等比数列。
（2）求数列的通项以及前n项和。
答案：
一．1．A 2．C 3．B 4．C 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．C 11．D 12．C
二．13． 1，4，16或16，4，1， 14。2 15。 6 16。
三．17解：设这三个数分别为，则 -------------4分
由得，代入得 -----------------------7分
当时，这三个数分别为1，3，9；
当时，这三个数分别为；
当时，这三个数分别为9，3，1；
当时，这三个数分别为。 ----------------------------------10分
18．证明：设的公比为，由题设知，
当时，，
从而
-----------------------------------4分
当时，，
从而
--------------------------------------8分
即 ------------------------------------10分
19．解：设等差数列的公差为d，等到比数列的公比为q，则
则题意得，
即
又 --------------------------------4分
由是等差数列，有
---------------------------------8分
由（1）（2）得
---------------------------------12分
20．解：（1）， 代入得
数列是等比数列。 ----------------------------------5分
（2）因为数列是公比为的等比数列，且其首项为
所以
即。 ------------------------------------8分
--------------------------------------12分
www.课 题 3.1等比数列 课 型 新课
课程分析 等比数列是又一特殊数列，它与前面我们刚刚所探讨过的等差数列仅有一字之差，所以我们可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握等比数列的相关知识。
学情分析 学生已经学习了等差数列，对于等比数列学生对比等差数列学习较容易接受。
设计理念 采用比较式数学法，从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用.
学 习 目 标 知识目标 要求学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式并会根据它进行有关计算
能力目标 会求等比数列的通项公式,等比数列的判定方法。
德育目标 1.培养学生的发现意识、提高学生创新意识、提高学生的逻辑推理能力、增强学生的应用意识。
板 书 设 计 一、复习：等差数列前项和的公式二、等比数列定义、通项公式三、例四、关于等比中项：五、小结：等比数列定义、通项公式、中项定理六、作业
课 后 反 馈
组织教学 导入新课 讲授新课 归纳小结 布置作业 备注
一、复习回顾1.等差数列定义：an－an－1=d(n≥2)(d为常数)2.等差数列性质：（1）若a,A,b成等差数列，则A=,(2)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.(3)Sk,S2k－Sk,S3k－S2k…成等差数列.3.等差数列的前n项和公式：Sn==na1+d二、新课讲解1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例：得一个数列： (1)2.数列： (2) (3)观察、归纳其共同特点：1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)2 隐含：任一项3 q= 1时，{an}为常数1.定义：等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q (q≠0) 表示，即an∶an－1=q(q≠0) 若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.2.等比数列的通项公式解法一：由定义式可得：a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=(a1q2)q=a1q3,…,an=an－1q=a1qn－1(a1,q≠0),n=1时，等式也成立，即对一切n∈N*成立.解法二：由定义式得：(n－1)个等式(n≥2) 注意：（1）公差“d”可为0；（2）公比“q”不可为0.
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三、例2（p23）一个等比数列的首项是2，第二项与第三项的和是12.求它的第8项的值。解：设等比数列的首项为a1,公比为q，则由已知，得解得q=-3或q=2.当q=-3时，a8=a1q7=2×（-3）7=-4374，当q=2时，a8=a1q7=2×27=256 故数列的第8项是-4374或256［例2］一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式
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解：设这个等比数列的首项是a1,公比是q,则：②÷①得:q= ③③代入①得：a1=,∴an=a1·qn－1=，8.答：这个数列的第1项与第2项分别是和8.评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.课堂练习1.求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），……；（4）…….2.(1) 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项.解：由题意得a9=,q=－∵a9=a1q8,∴,∴a1=2916答：它的第1项为2916.
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解：设这个等比数列的首项是a1,公比是q,则：②÷①得:q= ③③代入①得：a1=,∴an=a1·qn－1=，8.答：这个数列的第1项与第2项分别是和8.评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.课堂练习1.求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），……；（4）…….2.(1) 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项.解：由题意得a9=,q=－∵a9=a1q8,∴,∴a1=2916答：它的第1项为2916.
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解：设这个等比数列的首项是a1,公比是q,则：②÷①得:q= ③③代入①得：a1=,∴an=a1·qn－1=，8.答：这个数列的第1项与第2项分别是和8.评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.课堂练习1.求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），……；（4）…….2.(1) 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项.解：由题意得a9=,q=－∵a9=a1q8,∴,∴a1=2916答：它的第1项为2916.
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