等比数列的前n项和
【学习目标】
1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；
2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题．
【预习案】
【知识储备】
1．等比数列的定义
2．等比数列的通项公式
3．等比数列的性质
【小试身手】
在等比数列{an}中，已知a1=5,a9a 10=100,求a 18
【探究案】
探究1.等比数列前n项和公式的推导
1．等比数列前n项和公式是怎么推导的？
2．还有没有其他的推导方法？
探究2.等比数列前n项和公式的应用
例1．求下列等比数列的各项的和：
（1）； （2）
例2．已知公比为的等比数列的前5项和为，求这个数列的及
例3．求等比数列1，2，4，…第5项到第10项的和
例4．某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？
练习：
（1）求等比数列，，，…的前8项的和；
（2）求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和。
【课后提高案】
一、选择题：
1. 在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=( )
A 33 B 72 C 84 D 189
2． 等比数列中, 则的前项和为（ ）
A. B. C. D.
3．在公比为整数的等比数列中，如果那么该数列的前项之和为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
1. 已知：a1=2，S3=26．则q=_________________
2．已知三数成等比数列，若三数的积为125，三数的和为31，则三数为___________________
三、解答题：
1．设数列，求这个数列的前项和。
2．已知等比数列，求使得大于100的最小的n的值.
3． 在3和2187之间插入若干个正数，使它们组成等比数列，且插入的这些正数的和为1089。求：插入的这些正数各是什么？
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3．2 等比数列的前n项和
一、等比数列的前n项和公式
一般地，对于等比数列
a1，a2，a3，…，an，…，
它的前n项和是
Sn＝①________
根据等比数列的通项公式，上式可写成
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.
由错位相减法知：当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn＝②________.
因为an＝a1qn－1，所以上面的公式还可以写成
Sn＝③________.
显然，当q＝1时，数列{an}变为a1，a1，…，a1，…，易得它的前n项和Sn＝④________.
(2)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有⑦________五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量；
(4)在含字母参数的等比数列求和时，应分 ________与 ________两种情况进行讨论．
(2)对于形如{xn·yn}的数列的和，其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列，也可以这样求和：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题．
(3)利用这种方法时，要注意到公式及其他应用问题中对公比的分类讨论．若已知q≠1，求等比数列前n项和的方法一般是利用Sn的表达式的特点，当q＝1时，求和就简单得多了，这时数列的每一项都相等，直接把n个相等的数相加即可得．
若公比q＝1，则数列为非零常数数列，因此在进行等比数列的前n项和的计算中对公比q是否为1进行讨论是分类讨论思想在数列这一章中的一个重要体现，也是高考的重要知识点．
此类题型主要应用等比数列的前n项和公式及其性质，得到有关的方程(组)来进行求解．
[例1] 在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3a5＝64.求{an}前8项的和S8.
解析：解法1：设数列{an}的公比为q，根据通项公式为an＝a1qn－1，由已知条件得
a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24，(*)
a3a5＝(a1q3)2＝64.
∴a1q3＝±8.
将a1q3＝－8代入(*)式，得q2＝－2，
没有实数q满足此式，故舍去．
将a1q3＝8代入(*)式，得q2＝4，∴q＝±2.
[变式训练1] 在等比数列{an}中， a1＋an＝66，a2·an－1＝128，且前n项和Sn＝126，求n及公比q.
解析：∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，
∴a1、an是方程x2－66x＋128＝0的两根，
解方程得x1＝2，x2＝64，
∴a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1.
[例2] 已知等比数列{an}中前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30.求S30.
[变式训练2] 等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4可为
( )
A．28 B．32
C．35 D．49
解析：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4成等比数列．
∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或－21.
∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2
＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，
∴S4＝28，故选A.
答案：A
[例3] 一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求出数列的公比和项数．
解法2：设项数为n.
∵等比数列的项数为偶数，Sn＝S奇＋S偶，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋an－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋an＝a1q＋a3q＋a5q＋…＋an－1q＝q(a1＋a3＋a5＋…＋an－1)＝q·S奇，
∴85q＝170，∴q＝2.
又∵Sn＝85＋170＝255，
∴n＝8，故公比q＝2，项数n＝8.
在推导等差数列的前n项和公式时引入了倒序相加法，在推导等比数列的前n项和公式时，介绍了错位相减法，而对于既不是等比数列也不是等差数列的数列，应先分析它的通项公式，抓住特点，将数列求和问题转化成已知的等差、等比数列或是常数数列的求和问题，因此同学们必须掌握一些简单数列求和的方法：
(1)公式法求和：对于等差数列或是等比数列的求和．
(2)错位相减法求和：对于一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}的对应项的积构成的数列{anbn}采用错位相减法，解题步骤为：①写出Sn＝c1＋c2＋…＋cn；②等式两边同乘等比数列的公比：qSn＝qc1＋qc2＋…＋qcn；③两式错位相减转化成等比数列的和；④两边同除以1－q，求出Sn，在此须对q是否为1进行讨论．
(3)倒序相加法：这是推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．
(4)分组求和法：有一类数列，既不是等差数列也不是等比数列，观察通项公式，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．
(5)裂项法：分析通项公式，通项可分解为两项之差，然后相加相消，最后只剩下有限项的和．常见的拆项公式有：
[变式训练4] 已知数列{an}，a1，a2，a3，…，an，…，构造一个新数列：a1，(a2－a1)，(a3－a2)，…，(an－an－1)，…，此数列是首项为1，公比为 的等比数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
分析：通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为 的等比数列的前n项和．数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了．
[例5] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝2,3Sn＝5an－an－1＋3Sn－1(n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.
整理得an＋2n＝4(an－1＋2n－1)，n＝2,3，….
因而数列{an＋2n}是首项为a1＋2＝4，公比为4的等比数列，即an＋2n＝4×4n－1＝4n，n＝1,2,3，….
因而an＝4n－2n，n＝1,2,3，….
在对等比数列的前n项和的实际应用中，应学会审明题意，抓住关键，把实际问题“转化”为等比数列问题，利用相关知识解决问题．
[例7] 据报道，我国森林覆盖率在逐年提高，现已达到国土面积的14%，某林场去年年底森林木材储存量为a万m3.若树木以每年25%的增长率增长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为x万m3，为了实现经过20年使木材储存量翻两番的目标，问：每年砍伐的木材量x的最大值是多少？(lg2取0.3)
[变式训练7] 某制糖厂第1年制糖5万t，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年内可使总产量达到30万t(精确到个位)
分析：根据题意得出从第一年起，每年的产量组成一个等比数列{an}，运用等比数列前n项和公式求总产量．
分析：证明一个数列是等差或等比数列，最先考虑的应是等差和等比数列的定义，对于存在性的问题，应先假设其存在然后来推导，证明．无穷等比数列各项的和
教学目的：掌握无穷等比数列各项的和公式；
教学重点：无穷等比数列各项的和公式的应用
教学过程：
一、复习引入
1、等比数列的前n项和公式是_________________________________________________
2、设AB是长为1的一条线段，等分AB得到分点A1，再等分线段A1B得到分点A2，如此无限继续下去，线段AA1，A1A2，…，An－1An，…的长度构成数列
①
可以看到，随着分点的增多，点An越来越接近点B，由此可以猜想，当n无穷大时，AA1+A1A2+…+ An－1An 的极限是________.下面来验证猜想的正确性，并加以推广
二、新课讲授
1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列的公比的绝对值小于1，则其各项的和S为
例1、求无穷等比数列
0.3， 0.03， 0.003，…
各项的和.
例2、将无限循环小数化为分数.
三、课堂小结：
1、无穷等比数列各项的和公式；2、化循环小数为分数的方法
四、练习与作业
1、求下列无穷等比数列各项的和：
（1） （2）
（3） （4）
2、化循环小数为分数：
（1） （2）
（3） （4）
3、如图，等边三角形ABC的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.
4、如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h
（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和
（2）把高n等分，同样作出n－1个矩形，求这些矩形面积的和；
（3）求证：当n无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah/2
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.等比数列的前ｎ项和 同步练习
例题分析：
例1．若数列的通项为，则该数列的前n项和是多少？
例2． 已知等比数列的各项均为整数，它的前n项和为80，其中最大的一项为54，又前2n项和为6560，求此数列的通项公式。
练习
1．在等差数列中，已知,则前9项之和等于 ( )
A．56 B．64 C．72 D．80
2．在递增的等比数列中，，，则（ ）
A．-364 B．364 C．108 D．243
3．数列的前项和，则（ ）
A．1385 B．-99 C．69200 D．1399
4．已知等差数列{}的公差＝，，则等于（ ）
A．120 B．145 C．150 D．170
5．等差数列中，，，则此数列前n项和的最大值是 （ ）
A．112 B．116 C．117 D．115
6．等差数列中，已知则 的值等于 （ ）
A．11 B．14 C．17 D．22
7．在等比数列中，，，则（ ）
A．90 B．70 C．40 D．30
8．数列的前n项和是（ ）
A． B． C． D．
9．数列前n项和为,则其通项____________。
10．等差数列中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且前n项和为187, 则__。
11．等差数列中，，它的前11项的平均值为5，若从中抽取1项，余下10项的平均值为4，则抽取的是第 项。
12．设数列的通项为，前项和为，则下列说法中：①若，则为等差数列；②若，则为等比数列；③若，则为等差数列；④若，则为等比数列；正确的有 。
13．求； 14．；
15．在等差数列中，为其前n项和，首项，且，问此数列前多少项的和最大？
16．假设A型汽车的关税税率在2001年是100%，到2006年是25%，2001年A型进口车每辆的价格为64万元（其中含32万元关税税款）
（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2001年每辆46万元，若A型车的价格只受关税影响，为了保证在2006年B型车的价格不高于A型车的90%，B型车的价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少元？
（2）某人在2001年将33万元存如银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%，按复利计算，那么5年到期时这笔钱连本带息够不够买一辆B型车？
www.
