3.3.2
基本不等式与最大（小）值
本节教材分析
教材已开始给出了一个具体的把铁丝弯成矩形的例子，目的是使学生先有一个感性的认识，为引出后面的命题做好铺垫，对命题并未给出严格的证明，只要学生能够从这个例子抽象概括出结论即可.例2、例3是代数中两个直接应用均值不等式求最值的例子，通过这两个例子，让学生掌握利用均值不等式求最值的步骤；例4和例5是在实际问题中，利用基本不等式求最值的例子，体现了数学知识应用的广泛性..
三维目标
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
教学重点：掌握基本不等式，会用此不等式求某些函数的最值。
教学难点:
利用基本不等式求最大值、最小值。
教学建议：
利用均值不等式求最值的步骤，让学生通过做题归纳总结；例4和例5两道实际应用题，在教学中应让学生注意以下几点：（1）正确理解题意，设变量.设变量时，一般可把欲求最大（小）值的变量视为函数；（2）建立函数关系，把实际问题转化为求函数的最大（小）值问题；（3）在允许的范围内，求出最值；（4）根据问题实际写出答案.
新课导入设计
导入一
[复习导入]让学生会议上节课我们探究的基本不等式，强调不等方向，等号成立条件，字母范围.
本节课我们探讨基本不等式的应用，教师由此引入新课.
导入二
[直接导入]通过上节课的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法.节课我们进一步熟悉利用基本不等式解决函数的最值问题的思路。教师打开多媒体课件，从而展开新课.基本不等式与最大（小）值学案
学习目标：
能利用基本不等式与最大（小）值。
学习重点、难点：能利用基本不等式与最大（小）值过程中的变形。
学习过程：
课前准备
自主学习
复习：，大小关系?
阅读P90-91
二、新课导入
设置情境：
把一段16cm长细铁丝，弯成形状不同的矩形，边长为4cm正方形，长为5cm宽为3cm的矩形，长为6cm宽为2cm的矩形，等…
①试判断那种形状的面积最大；
②如何判断这种情况下面积最大。
1、,若（和s为定值），当且仅当时，积有最大值且为____________即有__________________
2、,若（积p为定值）当且仅当时，和有最大值且为____________即有__________________
自主测评
1、，且，则的最小值是（
）
A、0
B、
C、
D、
2、下列函数中最小值是2的为（
）
A、
B、
C、
D、
3、，，则有（
）
A、最小值64
B、最大值64
C、最小值
D、最大值
三、巩固应用
例1：若，且2x+5y=20,求的最大值，
变式1、已知2x+5y=20，求最小值；
变式2、已知x+3y-2=0,求最小值。
例2：已知
变式1、已知
变式2、已知
变式3、函数的值域是；若（x＜1）呢？
变式4、已知函数时，函数最大值m最小值n,求m-n
例3：已知函数求它的的最小值。
变式、当x为何值时，有最小值
四、总结提升
1、利用上述两个结论时实数x,y,应该满足什么条件；
2、若实数x,y为负，应该如何处理；
3、利用上述两个结论时，若和（积）不为定值时应该如何转化。
五、能力拓展
1、求函数
2、已知满足2x+y=1,求
3、当
自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？
作业：P92
T3
P95
A
T1-3
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基本不等式与最大（小）值
基本不等式
如果都是正数,
那么
,
当且仅当
都是正数时,
等号成立.
问题
把一段16
㎝
长的铁丝弯成形状不
同的矩形，什么时候面积最大？
2.
在面积为16
c㎡
的所有不同形状
的矩形中，什么情况周长最小?
这表明，
都为正数时，下面的命题成立：
(1)若
(和为定值),
则
当
时,
积
取得最大值
;
(2)若
(和为定值),
则当
时,
和
取得最小值
.
例题1
(1)求函数
的最小值;
(2)已知
，求函数
和
的最大值;
利用上述命题求最大值或最小
值时,应注意:
1.
一定要是正数;
2.
求积
最大值时,
应看和
是否为定值;求
最小值时,
看积
是否为定值;
3.等号是否成立.
例2
动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间.
一面可利用原有的墙,
其它各面利用钢筋网围成.
(1)现有可围
36
m
长网的材料，每间虎笼的
长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大
?
（2）若使每间虎笼面积为
24
㎡，则每间虎
笼的长、宽各设计为多少时,
可使围成四间虎笼
的钢筋网总长最小
？
练习1
某种变压器的截面是正十字形,
为了保证
有一定的磁通量,
需要确定面积,
如果十
字形芯片的截面积为
,
应如何设计十
字形的长
及宽
,
才能使十字形外接圆
的周长最短.
练习2
要挖一个面积为
432㎡
的矩形鱼池,
周围分
别是宽为
3m
和
4m
的堤堰,
要想占地总面
积最小,
鱼池的长和宽应为多少?基本不等式的最大最小值问题随堂练习
1、在下列函数中，最小值是的是
且）
2、已知正数满足，则的最小值为
3、若，则的最大值
。
4、设时，则函数的最小值
。
三、解答题
5、为迎接北京奥运会，北京市决定在首都国际机场粘贴一幅“福娃”宣传画，要求画面面积为，左、右各留米，上、下各留米，问怎样设计画面的长和宽才能使宣传画
所用纸张面积最小？
6、函数的值域
7、若是正数，且，则有最
值=
8、已知，则的最小值是
。
9、已知，求的最值及相应的的值。
10、正数、满足则的最小值是
11、
已知函数f(x)满足2f(x)－f(
)
=
，则f(x)的最小值是
12、函数若恒成立，则b的最小值为＿
13、函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为
14、已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是
15、若的最大值是
.
16、已知、，且，则的最小值是
17、若直线始终平分圆的周长，则的最小值是
18、求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值
19、若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为
20、已知两正数x,y
满足x+y=1,则z=的最小值为
21、已知a>b>0,求的最小值
22、已知a，b，c为正实数，a+b+c=1求证
(1)a2+b2+c2≥
(2)≤6
参考答案
1、
2、
3、
4、
5、解：设宣传画的长、宽分别为、米，则，设纸张面积为，则：
由，即代入上式得，
当且仅当，即时，。
所以宣传画的长为米，宽为米，所用纸张面积最小。
参考答案
1、
2、
3、
4、解：
，，
当且仅当，即时取等号，故当时，有最小值。
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