课题 §3.4.1二元一次不等式（组）与平面区域
课型 新授课 课时 备课时间
教学目 标 知识与技能 了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；
过程与方法 经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；
情感态度与价值观 通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣
重点 用二元一次不等式（组）表示平面区域；
难点 二元一次不等式的几何意义
教学方法
教学过程1.课题导入1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型课本第91页的“银行信贷资金分配问题”教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：2.讲授新课1．建立二元一次不等式模型把实际问题 数学问题：设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。（把文字语言 符号语言）（资金总数为25 000 000元） （1）（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上） 即 （2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值） （3）将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形（1）回忆、思考回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？（2）探究从特殊到一般：先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线x-y=6上的点；第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第93页的表格，横坐标x-3-2-10123点P的纵坐标点A的纵坐标并思考：当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？直线x-y=6右下方点的坐标呢？学生思考、讨论、交流，达成共识：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。直线叫做这两个区域的边界由特殊例子推广到一般情况：（3）结论：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）【应用举例】例1 画出不等式表示的平面区域。解：先画直线（画成虚线）.取原点（0，0），代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,∴原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图：归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当时，常把原点作为此特殊点。变式1、画出不等式所表示的平面区域。变式2、画出不等式所表示的平面区域。例2 用平面区域表示.不等式组的解集。分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。解：不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。变式1、画出不等式表示的平面区域。变式2、由直线，和围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。3.随堂练习1、课本第97页的练习1、2、34.课时小结1．二元一次不等式表示的平面区域．2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．3．二元一次不等式组表示的平面区域．5.评价设计课本第105页习题3.3[A]组的第1题
教学反思
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4．1 二元一次不等式(组)与平面区域
一、二元一次不等式表示的平面区域
1．一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：
(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足①________；
(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足②________；
(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足③________.
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从④________值的正负，即可判断出不等式表示的平面区域．
2．一般地，把直线l：ax＋by＋c＝0画成⑤________，表示平面区域包括这一边界直线；若把直线画成
⑥________，则表示平面区域不包括这一边界直线．
二、二元一次不等式所表示的平面区域的判定方法
由于对在直线ax＋by＋c＝0同一侧所有点(x，y)，实数ax＋by＋c⑦________相同，所以只需在直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由ax0＋by0＋c的⑧________即可判定ax＋by＋c>0表示哪一侧的平面区域．特别地，当c≠0时，常把⑨________作为特殊点；当⑩________时，常选(0,1)或(1,0)作为特殊点．
友情提示：(1)在直角坐标系内，直线l可以利用二元一次方程ax＋by＋c＝0来表示．点P(x0，y0)在直线l上的充要条件是 ________.若点P不在直线l上，则ax0＋by0＋c>0或 ________，二者必有其一．
(2)直线l：ax＋by＋c＝0将平面划分成为两个半平面 ________与 ________，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式．要确定一个二元一次不等式所表示的区域，可用特殊点法，如取原点或坐标轴上的点来检验，另外可证明如下两个结论：(ⅰ)若a>0，则ax＋by＋c>0表示直线l：ax＋by＋c＝0 ________的区域，
________表示直线l：ax＋by＋c＝0左侧的区域；(ⅱ)若b>0，则ax＋by＋c>0表示直线l：ax＋by＋c＝0 ________的区域，ax＋by＋c<0表示直线l ________下方的区域．
三、二元一次不等式组表示的平面区域的作法
1．二元一次不等式组所表示的区域是将不等式组中的每个不等式所表示的 ________作出，然后取每个不等式表示的平面区域的 ________集，即每个不等式表示的平面区域的________，即为不等式组所表示的平面区域．
2．画二元一次不等式组所表示的平面区域的步骤是：
答案：①ax＋by＋c＝0 ②ax＋by＋c>0 ③ax＋by＋c<0 ④ax0＋by0＋c ⑤实线 ⑥虚线 ⑦符号 ⑧正负 ⑨原点 ⑩c＝0 ax0＋by0＋c＝0 ax0＋by0＋c<0 ax＋by＋c>0 ax＋by＋c<0 右侧 ax＋by＋c<0 上方 ax＋by＋c＝0 区域 交
一、画二元一次不等式Ax＋By＋C>0(<0)所表示的平面区域时应注意什么？
1．二元一次不等式Ax＋By＋C>0(<0)表示平面区域时，边界(直线)应画成虚线；二元一次不等式Ax＋By＋C≥0(≤0)在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域(包括边界)，边界(直线)应画成实线．二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
2．在判断不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的平面区域时，“代点法”无疑是快捷且准确的方法．即基本方法是“直线定界，特值定域”．其步骤：(1)画直线Ax＋By＋C＝0；(2)在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，可取较特殊的点，易计算；(3)将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值；(4)若Ax0＋By0＋C>0，则此点所在的半平面为不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域；反之此点所在的半平面不是不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域．
二、怎样画出含有绝对值符号的不等式表示的平面区域？
利用转化的思想，通过分类讨论去掉绝对值符号，转化为画二元一次不等式组表示的平面区域．
例如：画出不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域．
对x，y的符号分类讨论，去掉绝对值符号，转化为画二元一次不等式组表示的平面区域．
三、二元一次不等式所表示的平面区域与系数之间的关系
问题：在前面，我们要表示一个二元一次不等式在直角坐标平面上所表示的平面区域的基本方法是：画线―→取点―→代值―→定号―→定侧．这种思维回路过长，是否还有更简捷的方法呢？譬如能否直接利用二元一次不等式的系数来判定它所表示的平面区域呢？
探究：在直线Ax＋By＋C＝0上任取一点P(x0，y0)，过此点作y轴的垂线，则对于直线右侧的点x>x0且y＝y0，有Ax＋By＋C－(Ax0＋By0＋C)＝A(x－x0)，故当x>x0时，Ax＋By＋C的值与A同号，当x
在直线Ax＋By＋C＝0上任取一点(x0，y0)，过此点作x轴的垂线，则对于直线上侧的点y>y0且x＝x0，有Ax＋By＋C－(Ax0＋By0＋C)＝B(y－y0)．故当y>y0时，Ax＋By＋C的值与B同号；当y结论：对于直线Ax＋By＋C＝0上侧的点，Ax＋By＋C的值与B同号；对于下侧的点，Ax＋By＋C的值与B异号，即“同号上，异号下”．对于直线Ax＋By＋C＝0右侧的点，Ax＋By＋C的值与A同号；对于直线Ax＋By＋C＝0左侧的点，Ax＋By＋C的值与A异号．即“同号右，异号左”.
二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，其平面区域不包括边界，用虚线表示边界；Ax＋By＋C≥0(或≤0)，其平面区域包括边界，用实线表示边界．
[例1] 画出下列二元一次不等式表示的区域：
(1)2x－y－3≤0；
(2)3x＋2y－6>0.
解析：(1)所求区域包含直线l：2x－y－3＝0，用实线画出直线l：2x－y－3＝0，将原点坐标(0,0)代入2x－y－3，得2×0－0－3＝－3，这样就可判定不等式2x－y－3≤0表示的区域与原点同侧，即包含原点的那一侧，如下图(1)阴影部分．
(2)所求区域不包含直线l：3x＋2y－6＝0，用虚线画出直线l：3x＋2y－6＝0，将原点的坐标(0,0)代入3x＋2y－6，得3×0＋2×0－6＝－6，则得不等式3x＋2y－6>0所表示的区域与原点异侧，即不包含原点的那一侧(不包括直线l)，就是这个不等式表示的区域，如下图(2)阴影部分．
[变式训练1] 画出不等式2x＋y－6<0表示的平面区域．
分析：先画出直线2x＋y－6＝0确定边界，再代入(0,0)确定区域．
解析：先画直线2x＋y－6＝0(画成虚线)．
取原点(0,0)，代入2x＋y－6，
∵2×0＋0－6＝－6<0，
∴原点在2x＋y－6<0表示的平面
区域内，不等式2x＋y－6<0
表示的区域如图阴影部分．
解析：不等式x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及右下方的点的集合，不等式x＋2y<6表示直线x＋2y－6＝0左下方的点的集合，不等式x≥0表示y轴及y轴右方的点的集合，y≥0表示x轴及x轴上方的点的集合．所以不等式组所表示的平面区域为如下图所示的阴影部分．
分析：画出不等式组所表示的平面区域，易求出它的面积．
答案：B
解关于实际问题中的平面区域的问题，首先由题目中的已知条件列出不等式(组)，然后画出其表示的平面区域．
[例3] 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：
该厂有工人200人，每天只能保证160 kW·h的用电额度，每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围．
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
甲 2 3 5
乙 8 5 2
分析：设生产甲、乙两种产品x t和y t，根据条件写出线性约束条件，画出线性平面区域是解决此类问题的关键．
解析：设每天分别生产甲、乙两种产品x t和y t，生产x t甲产品和y t乙产品的用电量是(2x＋8y)kW·h，根据条件，有2x＋8y≤160；用煤量为(3x＋5y)(t)，根据条件有3x＋5y≤150；用工人数为(5x＋2y)(人)，根据条件有5x＋2y≤200；另外，还有x≥0，y≥0.
综上所述，x、y应满足以下不等式组
甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如上图所示的阴影部分(含边界)．
[变式训练3] 某厂用两种不同的原料生产同一种产品，若采用甲种原料，1 t成本1000元，运费500元；若采用乙种原料，1 t成本1500元，运费400元．若每日预算原料成本不得超过6000元，运费不得超过2000元．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解析：设工厂每日需要甲种原料x t，乙种原料y t，它们所满足的关系式为
分别画出不等式组中各不等式表示的区域，然后取交集，如图阴影所表示的平面区域即为不等式组所表示的平面区域．
利用二元一次不等式(组)的平面区域解决问题，充分体现了数形结合的思想，利用它可以证明如下问题：
1．写出平面区域表示的二元一次不等式组
[例4] 已知区域D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界和内部)，写出表示区域D的不等式(组)．
解析：直线AB，AC，BC的方程分别是7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0，因为原点在区域内，
所以表示区域D的不等式组为
[变式训练4] 由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为________．
解析：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如下图所示．
取原点(0,0)，将x＝0，y＝0代入x＋y＋2得2>0；代入x＋2y＋1得1>0；代入2x＋y＋1得1>0.
结合图形可知：三角形区域用不等式组可表示为
2．由二元一次不等式(组)表示的平面区域求未知参数的范围
[例5] 设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
解析：将B、C的坐标代入4x－3y－a得(14－a)(－18－a)<0，解得－18解析：如下图所示，可行域为图中的阴影部分．
由已知直线可知A(3,8)，B(1,9)，显然当y＝ax过点A、B时，a分别取得最小和最大值，由8＝a3和9＝a1可得a＝2和a＝9，所以a∈[2,9]．
答案：C
此不等式组表示的平面区域即为点N所在的平面区域．如图所示，画出此平面区域为一等腰直角三角形，面积为4.
答案：C
答案：C
[变式训练7] 满足|x|＋|y|≤4的整点(横纵坐标均为整数的点)(x，y)的个数为
( )
A．16 B．17
C．40 D．41
解析：第一象限内(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(3,1)；同理其他象限也各有6个，x，y轴上各有9个，但原点重复，所以共41个．
答案：D第03讲：二元一次不等式组与简单线性规划问题
高考《考试大纲》的要求：
① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组
② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组
③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决
（一）基础知识回顾：
1.二元一次不等式表示的平面区域：直线l: ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分：
（1）直线l上的点（x,y）的坐标满足 ax+by+c=0
（2）直线l一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标都满足 ax+by+c>0
（3）直线l另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足 ax+by+c<0
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0 , y0）,从a0x+b0y+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域。
2.线性规划：如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作二元线性规划问题。其中，满足约束条件的解(x,y)称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域，使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解。
3.线性规划问题应用题的求解步骤：（1）先写出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；
（2）作出相应的可行域； （3）确定最优解
（二）例题分析：
例1．（2008安徽文）若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为 ( )
A． B．1 C． D．5
例2. (2007安徽文)如果点P在平面区域上，点O在曲线上，
那么最小值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
例3、（2006上海文）已知实数满足，则的最大值是_________.
（三）基础训练：
1、(2008海南、宁夏文)点P（x，y）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到
坐标原点距离的取值范围是（ ）
A. [0，5] B. [0，10] C. [5，10] D. [5，15]
2.(2008全国Ⅰ卷文、理)若满足约束条件
则的最大值为 ．
3．（2007辽宁文、理）已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（ ）
（A）a<-7或a＞24 （B）-7（C）a=7或a=24 （D）-245.（2007山东理）设D是不等式组表示的平面区域，
则D中的点P（x,y）到直线x+y=10距离的最大值是 .
6.（2006湖南文、理）已知则的最小值是 .
7.（2004江苏）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.
某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
8.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：
类 型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 1 2 1
第二种钢板 1 1 3
每张钢板的面积,第一种为,第二种为,今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？
参考答案
第03讲：二元一次不等式组与简单线性规划问题
（二）例题分析： 例1．C; 例2. A; 例3、___0_____.
（三）基础训练： 1、B; 2. 9 ; 3.A; 4. B; 5.; 6. 5 ;
7.解：设分别对甲、乙两个项目投资x万元、y万元，则x≥0,y≥0,且
，设 当时，取最大值7万元
8.解：设用第一种钢板x张, 第二种钢板y张，依题意得
,求目标函数为的最小值， 列表得
从表中可知，当x=6,y=7;或x=4,y=8时，有最小值，最小值是20。
答：当两种钢板分别截6，7快，或者4，8快时,可得所需三种规格成品,且使所用面积最小。
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跟踪练习题
一．选择题：（5×8=40）
1. 不在表示的平面区域内的点是（ ）
A.（0，0） B.（1，2） B.（2，1） D.（ 3，1）
2. 不等式表示的区域在直线的（ ）
A.右上方 B.左上方 C.右下方 D.左下方
3. 下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（ ）
A． B． C． D．
4. 在平面直角坐标系中，可表示满足不等式的点的集合（用阴影部分来表示）的是（ ）
5. 若点到直线的距离为4，且点在不等式表示的平面区域内，则实数的值为（ ）
A.7 B.－7
C.3 D.－3
二．填空题：（3×10=30）
6. 若点（2，1）和（4，3）在直线0的两侧，则a的取值范围是 .
7. 由直线，和围成的三角形区域(包括边界)用不等式(组)可表示为
8. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为
三．解答题：（2×15=30）
9. 画出不等式组表示的平面区域。
10. 若以连续掷两次骰子（各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6）分别得到点数m.n作为P的坐标，求点P落在不等式组表示的平面区域内的概率.
练习题参考答案：
一．选择题：
1.D 2.D 3.C 4. D 5. D
答案提示：
1 . 因为，所以点D（3，1）不在表示的平面区域内.
2. 取原点（0，0），因为，且原点在直线的左下方，所以不等式表示的区域在直线的左下方.
3. 将四个点的坐标分别代入不等式组，满足条件的是.
4. 将（0，1）与（0，-1）两点代入验证知选D项.
5. 因为，所以或，又因为，
，所以适合题意.
二．填空题：
6. 7. 8. 1
答案提示：
6. 由题意知，即，所以
7. 画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图3所示．取原点（0，0），将x=0，y=0代入得，代入得，代入
得，所以三角形区域用不等式（组）可表示为
8. 直线x+y=0和直线x-y+4=0的交点为（-2，2）它到直线x=a的距离为a+2，所以所以.
三．解答题：
9. 解：不等式表示直线下方的区域；不等式表示直线上方的区域。取两区域重叠的部分就是不等式组所表示的区域。图中的阴影部分就是（不包括直线）。
10. 解：不等式组表示的平面区域如图6所示
阴影部分，
以连续掷两次骰子得到的点数为坐标的点P落在图中
阴影部分的是（1，1），（1，2），（1，3），
（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2），（4，1）共10个，
而连续掷两次骰子得到的点数为坐标的点P共36个，
所以点P落在不等式组表示的平面区域内的概率为.
www.