数学导学案设计
第三章第节 课题名称 简单线性规划的应用
授课时间 第 周星期 第 节 课型 新授课
学习目标 从实际情境中抽象出简单线性规划问题并解决
重点难点 列出约束条件及写出目标函数
学习过程与方法 自主学习：若实数满足求的最大值及最小值
2.精讲互动：例1：某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t),能使利润总额达到最大 例2 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ： 在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是：1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解
3达标训练：①咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g．已知每天原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖3000g,如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？ ②某家具厂有方木材90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元（1）怎样安排生产可以获利最大？（2）若只生产书桌可以获利多少？（3）若只生产书橱可以获利多少？
课堂小结 解线性规划应用问题的一般步骤：1）理清题意，列出表格：2）设好变元并列出不等式组和目标函数3）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；4）在可行域内求目标函数的最优解5)还原成实际问题（准确作图，准确计算)
作业布置
课后反思
审核 备课组（教研组）： 教务处：
www.
规格类型
钢板类型
第一种钢板
A规格
B规格
C规格
2
1
2
1
3
1
第二种钢板课题 §3.4.4简单的线性规划第4课时
课型 新授课 课时 备课时间
教学目 标 知识与技能 掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
过程与方法 经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
情感态度与价值观 引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德
重点 利用图解法求得线性规划问题的最优解；
难点 把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解
教学方法
教学过程1.课题导入[复习引入]： 1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:2.讲授新课线性规划在实际中的应用： 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：[范例讲解]营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最高多？指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解3.随堂练习课本第103页练习24.课时小结线性规划的两类重要实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。 5.评价设计课本第105页习题3.3[A]组的第3题
教学反思
www.(共49张PPT)
4．2 简单线性规划
一、线性规划问题及可行解、可行域、最优解的概念
1．如果两个变量x、y满足一元一次不等式组，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，那么我们就称这个线性函数为①________，称一次不等式组为②________，像这样的问题叫做③________.
2．在线性规划问题中，满足约束条件的解(x，y)称为④________，由所有可行解组成的集合称为⑤________.分别使目标函数取得最小值或最大值的可行解称为⑥________，最优解一般在⑦________上，而且通常在可行域的顶点处取得．
友情提示：(1)求最优解前，令⑧________的目的是确定目标函数在可行域内的什么位置有可行解；
(2)一般来说，最优解为多边形区域的⑨________，但不是绝对的，有时也可能是多边形区域⑩________；
(3)对于目标函数所在直线与可行域内的某一条边的斜率较为接近时，如果直接在图形上判断不太方便，可以考虑比较它们 ________，从而确定最优解；
(4)在求目标函数的最优解的步骤中有一个关键的地方，就是要判断在某个点处，目标函数取得 ________，这个判断可以将点的坐标代入完成，也可以利用目标函数中z的几何意义完成．如函数z＝3x＋y，z是其对应直线在y轴上的 ________，则只要看过某点时直线的截距是 ________进行判断．
二、线性规划问题的求解程序
在约束条件下，当b>0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解程序为：
(1)作出 ________；
(2)作出直线l0： ________；
(3)确定l0的 ________，依可行域判断取得最优解的点；
(4)解相关方程组，求出 ________，从而得出目标函数的最小值或最大值．
答案：
①目标函数 ②约束条件 ③二元线性规划问题 ④可行解 ⑤可行域 ⑥最优解 ⑦可行域的边界 ⑧z＝0 ⑨顶点 ⑩一条边上的点 斜率的大小 最大值还是最小值 截距 最大还是最小 可行域 ax＋by＝0 平移方向 最优解
1.简单线性规划应用问题的求解步骤
(1)设：设出变量x，y，写出约束条件及目标函数．(2)作：作出可行域．(3)移：作一组平行直线l，平移l，找最优解．(4)解：联立方程组求最优解，并代入目标函数，求出最值．(5)答：写出答案．总之：求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组，求最值．
线性规划方法又称为图解法．解决线性规划问题时，首先画出不等式组的平面区域，然后作出直线，求出可行域中的最优解．
解析：作出可行域如下图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．
(1)易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－4>0，将C(7,9)代入z得最大值为21.
(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2＝.
(2)设u＝x2＋y2，则 为点(x，y)到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B到原点距离最大；而当(x，y)在原点时，距离为0，
∴umax＝(－1)2＋(－6)2＝37，umin＝0，
故4x－3y的最大值为14，最小值为－18；x2＋y2的最大值为37，最小值为0.
如何求线性规划问题的最优整数解是整个线性规划中最复杂也是最困难的问题．为了解决这类问题，可以采用如下两种方法：
(1)“局部微调法”
所谓“局部微调法”是指：在求线性目标函数z＝ax＋by＋c的最优整数解时，先根据基本方法求出目标函数的最值，但若此时最优解不是整数，即此时直线经过的点A(x0，y0)不是整点，可先根据A(x0，y0)求出此时的z0＝ax0＋by0＋c，然后根据条件把z0的值微调为大于(或小于)z0且与z0最接近的整数z1，再求出直线z1＝ax＋by＋c与可行域各直线的交点坐标，然后在这些交点之间寻找整点．
(2)“小范围搜索法”
“小范围搜索法”的步骤为：
①在边界折线顶点附近的小范围内搜索一个可行域内的整点；
②在该点作一条斜率为 (其中A、B分别为目标函数中变量x、y的系数)的直线，与可行域边界折线相交得到一个小范围的区域；
③在这个小范围区域内继续搜索全部最优整数解．
解析：(1)由x>0，－nx＋3n≥y>0，得0∴x＝1或x＝2，
∴Dn内的整点在直线x＝1或x＝2上．
记直线y＝－nx＋3n为l，l与直线x＝1、x＝2的交点的纵坐标分别为y1、y2，
则y1＝－n＋3n＝2n，y2＝－2n＋3n＝n，
∴an＝3n(n∈N*)．
[例3] 设实数x，y满足不等式组
(1)画出点(x，y)所在平面区域；
(2)设a>－1，在(1)所求的区域内，求函数f(x，y)＝y－ax的最大值和最小值．
其中AB：y＝2x－5；BC：x＋y＝4；
CD：y＝－2x＋1；DA：x＋y＝1.
(2)f(x，y)表示直线l：y－ax＝k在y轴上截距，且直线l与(1)中所求区域有公共点．
∵a>－1，∴当直线l过顶点C时，f(x，y)最大，
∵C点的坐标为(－3,7)．
∴f(x，y)的最大值为7＋3a.
如果－1≤a≤2，那么当直线l过顶点A(2，－1)时，f(x，y)最小，最小值为－1－2a.
如果a>2，那么当直线l过顶点B(3,1)时，f(x，y)最小，最小值为1－3a.
解析：一般情况下，当z取最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，如下图所示，即直线z＝ax＋y(a>0)平行于直线AC，则直线经过线段AC上任意一点时，z均取得最大值，此时满足条件，即有无数多个点使函数取得最大值．
分析知当直线y＝－ax＋z刚好移动到直线AC时，将会有无数多个点使函数取得最大值．
[变式训练4] 如下图，在约束条件下
当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是
( )
A．[6,15]
B．[7,15]
C．[6,8]
D．[7,8]
分析：本题考查简单线性规划问题，解题关键是在可行域条件下找出两个最大值点．
解析：如下图所示，
由图形知A(2,0)，C′(0,4)．
B(4－s,2s－4)，C(0，s)．
(1)当3≤s<4时，可行域是四边形OABC，此时7≤z<8；
(2)当4≤s≤5时，可行域是△OAC′，此时，zmax＝8.故选D.
答案：D
[例5] 设f(x)＝ax2－c，并且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)适合的条件是 ( )
A．－7≤f(3)≤26 B．－4≤f(3)≤5
C．－1≤f(3)≤20 D.≤f(3)≤
解析：由已知条件得
记z＝f(3)，则z＝9a－c.
如上图，由约束条件作出可行域ABCD内部(包括边界)，由目标函数作直线l：9a－c＝0，平移l到l1，l2.l1，l2与可行域分别相交于A，C两点，解方程组
答案：C
[变式训练5] 已知f(a，b)＝ax＋by，若1≤f(1,1)≤2，－1≤f(1，－1)≤1，求f(2,1)的取值范围．
解析：因为f(a，b)＝ax＋by,1≤f(1,1)≤2，
－1≤f(1，－1)≤1，所以
画出不等式组表示的平面区域．
目标函数为f(2,1)＝2x＋y.
作出直线2x＋y＝0.
评析：由已知可得关于x，y的不等式组，画出其表示的平面区域，从而得到f(2,1)的取值范围．
[变式训练6] 已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2，若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．
分析：作出二元一次不等式表示的平面区域，数形结合来解此题．
解析：作出可行域，如下图阴影部分所示．
观察图形，由a>0且z＝ax＋y仅在点(3,1)处取得最大值，故a>1.
答案：a>1一、选择题(每小题6分，共36分)
1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域的是( )
A．(0,0) B．(－1,1)
C．(－1,3) D．(2，－3)
【解析】 ∵将x＝－1，y＝3代入x＋y－1
得－1＋3－1＝1>0，
故(－1,3)不在x＋y－1≤0表示的平面区域内．
【答案】 C
2．不等式组表示的平面区域为( )
A．四边形及其内部
B．等腰三角形及其内部
C．在第一象限内的一个无界区域
D．不包含第一象限内的点的一个有界区域
【解析】 画出不等式组表示的平面区域如图，易知2x-y+1=0与x-2y-1=0关于y=x对称，与x+y=1所成角相等，故不等式组表示的平面区域为等腰三角形及其内部．
【答案】 B
3．已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于( )
A．7 B．5
C．4 D．3
【解析】 将直线y＝x＋1与y＝2x－1联立解得A(2,3)，据题意即为最优解，又点A必在直线x＋y＝m上，代入求得m＝5.
【答案】 B
4．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．a＜5 B．a≥8
C．5≤a＜8 D．a＜5或a≥8
【解析】 如图作出可行域，要构成三角形，直线y＝a只能介于y＝5和y＝8两直线间，故5≤a＜8.
【答案】 C
5．(2008年山东卷)设二元一次不等式组，所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( )
A．[1,3] B．[2，]
C．[2,9] D．[，9]
【解析】 作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A(1,9)，C(3,8)．
当y=ax过A(1,9)时，a取最大值，此时a=9；
当y=ax过C(3,8)时，a取最小值，此时a=2，∴2≤a≤9.
【答案】 C
6．(2009年山东卷)某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
【解析】 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，
则
目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元．
【答案】 2300
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.
能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是 .
8．若实数x，y满足，z＝3x＋2y，则z的取值范围是______．
【解析】
作出图象可知，此平面区域是以O(0,0)，A(0,1)，B为顶点的三角形内部(包括边界)，当x=0，y=0时，x+2y取得最小值0；当x=0，y=1时，x+2y取得最大值2.又因为指数函数y=3x在[0,2]上为增函数，故z=3x+2y的取值范围为[1,9]．
【答案】 [1,9]
9．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费________元．
【解析】 设购买第一种包装x袋，第二种包装y袋，由已知条件35x+24y≥106，x≥0，y≥0，则当x=1，y=3时，z=140x+120y，取到最小值500元．
【答案】 500
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知非负实数x、y满足
(1)画出不等式组所表示的平面区域；
(2)求z＝x＋3y的最大值．
【解析】 (1)所给不等式组所表示的平面区域为图中阴影所示．
(2)如图作出直线l：x+3y=0，把直线向上平移至l1的位置，使l1经过可行域上点M，此时点M与原点为的距离最大，此时z=x+3y的最大值是0+3×3=9.
11．(15分)设S为平面上以A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)为顶点的三角形区域(含三角形内部及边界)．若点(x，y)在区域S上变动．
(1)求z＝3x－2y的最值；
(2)求z＝y－x的最大值，并指出其最优解；
(3)若x，y为整数，求z＝y－x的最大值，并指出其最优解．
【解析】 (1)z＝3x－2y可化为y＝x－＝x＋b，
故求z的最大值、最小值，相当于求直线y＝x＋b在y轴上的截距b的最小值、最大值．即b取最大值时，z取最小值；反之亦然．
如图(1)所示，直线y＝x左、右平行移动，
(1)
当y＝x＋b过B点时，bmax＝，此时zmin＝－2b＝－5；
(2)
当y＝x＋b过A点时，
bmin＝－，此时zmax＝－2b＝11.
(2)z＝y－x可化为y＝x＋z，故求z的最大值，相当于求直线y＝x＋z在y轴上的截距z的最大值．如图(2)所示，直线y＝x平行移动，
当直线y＝x＋z与直线BC重合时，zmax＝2，此时线段BC上任一点的坐标都是最优解．
(3)由(2)可知zmax＝2，最优解都在线段BC上，且x，y为整数，所以最优解有(－1,1)，(0,2)，(1,3)．
12．(16分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
【解析】 设搭载产品Ax件，产品By件，
预计收益z＝80x＋60y.
则，作出可行域，如图
作出直线l0：4x+3y=0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值，，
解得即M(9,4)．
所以zmax=80×9+60×4=960(万元)．
答：搭载产品A9件，产品B4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
www.
