3.1空间向量及其运算 同步练习（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-1
3.1空间向量及其运算
一、单选题
1.已知空间向量
,
,若
,则实数
（???
）
A.?-2??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?2
2.已知
，
，若
，则（???
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
3.已知向量
，则下列向量中与
成
的是（
?????）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
4.已知点
与点
，则
之间的距离为（??
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
5.已知向量
，
，则
等于（????
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?9
6.已知平面向量
，
满足
，
，则
在
方向上的投影为（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
7.已知三棱柱
的侧棱与底面边长都相等，
在底面ABC内的射影为
的中心O，则
与底面ABC所成角的余弦值等于（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
8.若向量
，且
与
的夹角余弦为
，则
等于（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.?或
??????????????????????????????????D.?2
9.如图，在三棱锥
中，
，
，
两两垂直，且
，
为
中点，则
等于（????
）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????????D.?0
10.设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=（
?）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?﹣4?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?﹣2
11.已知
为直线l的方向向量，
，
分别为平面，
的法向量
不重合
那么下列说法中：
；
；
；
正确的有
???
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
12.如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(
??)
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
13.已知直线l与平面
垂直，直线
的一个方向向量为
，向量
与平面
平行，则
________.
已知
，
，且
，则
________.
圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若
，且
，则向量
在向量
方向上的投影为________.
16.四棱锥
中，
平面
，底面
是正方形，且
，则直线
与平面
所成角为________．
三、解答题
17.已知向量
=(1,-3,2),
=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
（1）求|2
+
|;
（2）在直线AB上,是否存在一点E,使得
⊥
?(O为原点)
18.已知空间三点
，设
.
（1）求
和
的夹角
的余弦值；
（2）若向量
与
互相垂直，求
的值.
19.在三棱柱
中，已知
，
，
为
的中点，
平面
（1）证明四边形
为矩形；
（2）求直线
与平面
所成角的余弦值.
20.如图，在直三棱柱
侧棱和底面垂直的棱柱
中，平面
侧面
，
，线段AC、
上分别有一点E、F且满足
，
．
（1）求证：
；
（2）求点E到直线
的距离；
（3）求二面角
的平面角的余弦值．
21.如图，已知正四棱柱
中，底面边长
，侧棱
，过点B作
的垂线交侧棱
于点E，交
于点F.
（1）求
的长；
（2）求
与平面
所成的线面角.
22.如图，四棱锥
中，底面ABCD为平行四边形，
，
，
底面ABCD．
（1）证明：
；
（2）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
C
解：向量
，
，
若
，则
，
解得
．
故答案为：
．
【分析】根据
时，
，列方程求出
的值．
2.答案：
D
解：因为
，所以
，
因此由
，所以有
.
故答案为：D
【分析】根据空间向量共线的性质进行求解即可.
3.答案：
B
解：对于A选项中的向量
，
，
则
；
对于B选项中的向量
，则
；
对于C选项中的向量
，
，则
；
对于D选项中的向量
，此时
，两向量的夹角为
.
故答案为：B.
【分析】用两向量的数量积求夹角公式求出与
成
的向量的坐标.
4.答案：
C
解：解：因为点
与点
，由空间两点距离公式可得：
，
故答案为：C.
【分析】设
，
，则利用两点之间的距离公式列式，再将点与点
代入运算即可.
5.答案：
B
解：由题
,故
.
故答案为：B
【分析】根据模长公式求解即可.
6.答案：
C
解：设
与
的夹角为
,
则
在
方向上的投影为
,
故答案为：C
【分析】
在
方向上的投影为
,进而求解即可.
7.答案：
B
解：如图所示，
设三棱柱
的侧棱与底面边长都等于a.
连接
，则
.
在
中，
，得
.
在
中，
，即
，
则
为等边三角形，所以
，
在菱形
中，得
，
又因为点
到底面
的距离等于点
到底面
的距离
，
所以
与底面ABC所成角的正弦值为
，
即
与底面ABC所成角的余弦值为
.
故答案为：B
【分析】连接
，设侧棱与底面边长都等于a，计算
，
，
，
，再根据点
到底面ABC的距离等于点
到底面ABC的距离，求解
与底面ABC所成角的正弦值即可.
8.答案：
A
解：由题意可知，
，
即
解得
.
故答案为：A
【分析】根据空间向量夹角余弦公式
，求解即可.
9.答案：
D
解：由题
,
,
两两垂直,故以
为原点建立如图空间直角坐标系，
设
,
，
则
.
故答案为：D
【分析】建立空间直角坐标系求
即可.
10.答案：
C
解：∵α∥β，
∴两平面的法向量平行，
则（﹣2，﹣4，k）=λ（1，2，﹣2），
∴﹣2=λ，k=﹣2λ，∴k=4．
故答案为：C
【分析】根据两平面平行得到两平面的法向量平行，再根据向量平行坐标的关系建立等量关系，求出k即可．
11.答案：
B
解：∵平面
，
不重合；
平面
，
的法向量平行
垂直
等价于平面
，
平行
垂直
，
正确；
直线l的方向向量平行
垂直
于平面
的法向量等价于直线l垂直
平行
于平面
，
都错误．
故答案为：B．
【分析】直接利用直线的方向向量与平面的法向量的关系，即可判断．
12.答案：
C
解：以
为坐标原点，直线
分别为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设
，则
，
,
，
，
为
的中点，则
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则，即
，可得
，
可取
，
点
到面
的距离为
.
故答案为：
【分析】根据题意，以
为坐标原点，直线
分别为
轴，建立空间直角坐标系，平面外一点到平面的距离可以用平面上任意一点与该点的连线在平面法向量上的投影表示，而法向量垂直于平面上所有向量，由
，
即可求得平面
的法向量
，而
在
上的投影即为点
到面
的距离，即可求得结果.
二、填空题
13.答案：
3
解：因为直线l与平面
垂直，
为直线
的一个方向向量，
向量
与平面
平行，
所以
，
即
，解得
.
故答案为：3
【分析】根据向量的垂直关系计算即可.
14.答案：
解：由题,因为
,所以
,即
,
所以
,则
,
所以
,
故答案为：
【分析】由
可得
,即可求得
,则
,进而求模即可.
15.答案：
3
解：因为圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若
，
故可得
是以角A为直角的直角三角形，
又因为
，且外接圆半径是
，
故可得
，
则
，
，
故向量
在向量
方向上的投影为
.
故答案为：3.
【分析】根据向量关系，即可确定
的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.
16.答案：
解：因为
平面
，底面
是正方形，
所以
，
由线面垂直的判定定理可得
平面
，则
平面
，
则
是直线
与平面
所成角，
，
，
，
直线与平面的夹角的范围为
，
.
故答案为：
【分析】由线面垂直的判定定理以及性质得出
平面
，从而得出
是直线
与平面
所成角，结合勾股定理以及直角三角形的边角关系，即可得直线
与平面
所成角.
三、解答题
17.答案：
（1）解：2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),
故|2a+b|=
=5
；
（2）解：
+t
=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),
若
⊥b,则
·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,
解得t=
,因此存在点E,使得
⊥b,
此时点E的坐标为E
【分析】（1）根据空间向量的坐标运算相应公式计算即可；（2）假设存在点E，则
+t
，再根据
⊥b,建立方程可求出t=
．
18.答案：
（1）解：
，
．
则
，
所以
与
的夹角
的余弦值为
；
（2）解：
，
，
所以
,
即
，
所以
或
.
【分析】（1）利用向量夹角公式即可得出；（2）利用两个向量互相垂直，其数量积为0，可得关于
的方程.
19.答案：
（1）解：连接
，因为
为
的中点，可得
，
∵
平面
，
平面
，∴
，
又∵
，∴
平面
，∴
，
∵
，
∴
，
又∵四边形
为平行四边形，
∴四边形
为矩形；
（2）解：如图，分别以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，
则
中，
，
中，
，
，∴
，
，
，
设平面
的法向量是
，
由
得
即
，
可取
，
设直线
与平面
所成角为
，则
，
，
∵
，∴
，
即直线
与平面
所成角的余弦值为
．
【分析】（1）连接
，可得
，易证
，则
平面
，从而可证
，由此即可得出结论；（2）以
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，利用法向量解决问题．
20.答案：
（1）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，
则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1
，
且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，
∴AD⊥平面A1BC，
又∵BC?平面A1BC，∴AD⊥BC．
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC．
又∵AA1∩AD=A，∴BC⊥侧面A1ABB1
，
又∵AB?侧面A1ABB1
，
∴AB⊥BC；
（2）解：由（1）知，以点B为坐标原点，
以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
B（0，0，0），A（0，3，0），C（3，0，0），A1（0，3，3）
∵线段AC、A1B上分别有一点E、F，满足2AE=EC，2BF=FA1
，
∴E（1，2，0），F（0，1，1），
∴
，
，
∵
=0，∴EF⊥BA1
，
∴点E到直线A1B的距离
；
（3）解：
，
设平面BEF的法向量
，
则
，取x=2，得
=（2，﹣1，1），
由题意知平面BEC的法向量
，
设二面角F﹣BE﹣C的平面角为θ，
∵θ是钝角，∴cosθ=﹣|cos＜
＞|=﹣
=﹣
，
∴二面角F﹣BE﹣C的平面角的余弦值为﹣
．
【分析】（1）首先过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D
，由已知条件得出推导出AD⊥平面A1BC
，进而能证明
AB⊥BC
；（2）根据（1）得，
以点B为坐标原点以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到直线
的距离；（3）分别求出平面BEF的法向量以及平面BEC的法向量，利用向量法能求出二面角
的平面角的余弦值.
21.答案：
（1）解：因为
，所以
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
∽
，所以
，
又因为
，
所以
，解得
；
（2）解：如图，以D为坐标原点，分别以射线
为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系
，则
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则，所以
，
令
，则
，所以
，
设
与平面
所成的角为
，
则，
所以
，
所以
与平面
所成的线面角为
.
【分析】（1）由
，可得
∽
，从而得
，再将已知的数据代入可得
的长；（2）如图建立空间直角坐标系，先求出平面
的法向量，然后利用向量的夹角公式求出
与平面
所成的线面角.
22.答案：
（1）证明：因为
，
，
由余弦定理得
，从而
，BD
，
又
底面ABCD，可得
，所以
平面
故
；
（2）解：如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，
建立空间直角坐标系
，如图：
则
，
，
0，
，
，
，
0，
，
平面PAD的一个法向量为
1，
，
设平面PBC的法向量为
y，
，
则
，取
，得
1，
，
则，
故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为
【分析】（1）由余弦定理得
?，从而BD⊥AD，由PD⊥底面ABCD，得BD⊥PD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明PA⊥BD．（2）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能法出平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．
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