3.2立体几何中的向量方法 同步练习（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-1
3.2立体几何中的向量方法
一、单选题
1.如图，在长方体
中，M，N分别是棱BB1
，
B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1和DM所成角为（???
）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?90°
2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=
,则AA1与平面AB1C1所成的角为(??
)
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
3.已知两平面的法向量分别为
，
，则两平面所成的二面角为（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.?或
??????????????????????????????D.?
4.在四面体
中，已知棱
的长为
，其余各棱长都为1，则二面角
的平面角的余弦值为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
5.正方体ABCD—A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（??
）
A.?0°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?60
°???????????????????????????????????????D.?90°
6.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（???
）
A.?30°??????????????????????????????????????B.?60°??????????????????????????????????????C.?90°??????????????????????????????????????D.?120°
7.如图，直三棱柱
的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱
上靠近
点的三分点，M是棱
上的动点，则二面角
的正切值不可能是（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
8.如图，三棱柱
满足棱长都相等且
平面
，D是棱
的中点，E是棱
上的动点．设
，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是(??
)
A.?先增大再减小???????????????????????????B.?减小???????????????????????????C.?增大???????????????????????????D.?先减小再增大
9.如图,正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是（
??）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?90°
10.已知正四面体
中，
为
的中点，则过点
与侧面
和底面
所在平面都成
的平面共有（??
）（注：若二面角
的大小为
，则平面
与平面
所成的角也为
）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
11.如图，设矩形
ABCD
所在的平面与梯形
ACEF
所在平面交于
AC
，若
，则下面二面角的平面角大小为定值的是（??
）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
12.在三棱锥
中，
，
，
P在平面
的射影O为
的中点，D是
上的动点，M，N是
的两个三等分点，
（
），记二面角
，
的平面角分别为
，
.若
，则
的最大值为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
13.棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是__．
14.将边长为1的正方形
沿对角线
折叠，使得点B和D的距离为1，则二面角
的大小为________.
15.如图，在正方体
中，直线
与平面
所成的角等于________．
16.四棱锥
中，
平面ABCD，
，
，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角
的平面角大小为
，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为
的两部分，则
=________．
三、解答题
17.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=
,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF=
BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
18.如图，在直三棱柱
中，已知
，
，
，
.D是线段
的中点.
（1）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（2）求二面角
的大小的余弦值.
19.如图，在三棱柱
中，
平面
，
，且
.
（1）求棱
与
所成的角的大小；
（2）在棱
上确定一点
，使二面角
的平面角的余弦值为
.
20.如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
.
（1）设
，异面直线
与
所成角的余弦值为
，求
的值；
（2）若点D是
的中点，求二面角
的余弦值.
21.如图,
在三棱锥
中，
平面
，
，且
，
，E为
的中点．
（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；
（2）求二面角
的余弦值．
22.如图所示，等边三角形
的边长为3，点
，
分别是边
，
上的点，满足
，
．将
沿
折起到
的位置，使二面
为二面角，连接
，
．
（1）求二面角
的余弦值；
（2）线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成的角为60°？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：以
为坐标原点,
所在直线分别为
轴,建立空间直角坐标系,如图,
设
,
则
,
,
,
，
因为
,所以
,即有
.
因为
,
所以
,即异面直线
和
所成角为
.
故答案为：D.
【分析】建立空间直角坐标系，结合
，求出
的坐标，利用向量夹角公式可求.
2.答案：
A
解：以A为坐标原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1
为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系：
则A1（0，0，
），A（0，0，0），B1（0，2，
），C1（2，0，
），
则
，
设平面AB1C1的法向量为
，
则
，令
可解得
，
所以
，
设AA1与平面AB1C1所成的角为
，
则AA1与平面AB1C1所成的角的正弦值为：
?
因为
，所以
.
故答案为：A
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据向量的数量积即可求得直线与平面的夹角．
3.答案：
C
解：∵两平面的法向量分别为
则两平面所成的二面角与
相等或互补，
故
.
故两平面所成的二面角为45°或135°
故答案为：C．
【分析】根据已知中两个平面法向量的夹角，代入向量夹角公式，可以求出两个向量的夹角，进而根据两平面所成的二面角与
相等或互补，得到答案．
4.答案：
C
解：由已知可得AD⊥DC，
又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD，
在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，
则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角，
∵EF=
（三角形ACD的中位线），BE=
（正三角形BCD的高），
BF=
（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点），
∴cos∠BEF=
，
故答案为：C．
【分析】由已知可得AD⊥DC，又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，
则BE⊥CD，在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角，再利用中位线的性质、正三角形的结构特征和等腰直角三角形的性质，结合余弦定理，从而求出二面角??的平面角的余弦值。
5.答案：
D
解：以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系如图所示，
设正方体
的棱长为
，
由图可知
，
，
，
，
所以
,
，所以
，
所以异面直线
与
所成的角为
.
故答案为：D.
【分析】以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系,利用向量
,
的数量积为0，即可求解.
6.答案：
C
解：因为AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高，
所以
，
因此
是二面角的平面角，
∠B′AC＝60°．所以
是等边三角形，
因此
，在
中.
故答案为：C
【分析】根据折的过程中不变的角的大小、结合二面角的定义进行判断即可.
7.答案：
B
解：取
的中点O，连接
，根据等边三角形的性质可知
，
根据直三棱柱的性质，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，设
.
则
.
设平面
的一个法向量为
，
则，
令
，得
，
平面
的一个法向量是
，
所以
，
所以
，
所以二面角
的正切值为：
，
因为
，所以
，
，
结合二次函数的性质可知：
当
时，
有最小值为
；
当
时，
有最大值为
，
所以
，
所以二面角
的正切值不可能是
.
故答案为：B
【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角
的余弦值，进而求得二面角
的正切值，得到正切值的最小值，由此判断出正确选项.
8.答案：
D
解：以
中点
为坐标原点,
分别为
轴,并垂直向上作
轴建立空间直角坐标系，
设所有棱长均为2,则
,
,
,
设平面BDE法向量
，
则
,令
，有
,
故
，又平面ABC的法向量
,
故平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角
的余弦值：,
又
,故
在
上单增,
上单减,
即随着x增大先变大后变小,所一以
随着x增大先变小后变大.
故答案为：D.
【分析】可直接建立空间直角坐标系求解平面BDE与底面ABC所成锐二面角的余弦值
关于
的函数,再分析函数的单调性即可.
9.答案：
A
解：如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，
建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图：
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A（a，0，0），B（0，a，0），C（﹣a，0，0），P（0，
，
），
则
（2a，0，0），
（﹣a，
，
），
（a，a，0），
设平面PAC的一个法向量为
，则
，
，
∴
，可取
（0，1，1），
∴
，
∴
，
＞＝60°，
∴直线BC与平面PAC的夹角为90°﹣60°＝30°．
故答案为：A．
【分析】利用空间向量的方法结合正四棱锥的结构特征，再利用数量积求两向量夹角的方法结合直角三角形互余的性质，用已知条件求出直线BC与平面PAC的夹角.
10.答案：
D
解：如图所示：
在正四面体A?BCD中，取BC的中点E，连结AE，DE，
则∠AED就是二面角A?BC?D的平面角,
在等腰三角形AED中,可求得cos∠AED=，
∴二面角A?BC?D的余弦为,二面角A?BC?D∈，
设过点P垂直于平面ABC的直线为m,过点P垂直于平面BCD的直线为n,
则m与n所成角∈，
∴过点P可作4条直线同时与直线m,n成，
即符合题意的平面有4个.
故答案为：D
【分析】结合题意运用中位线定理的性质，即可找到二面角的平面角，再由线面垂直的的性质定理结合角的取值范围，即可得出结论。
11.答案：
B
解：在等腰梯形ACEF中，过F作FG⊥
AC于G
,作EH⊥AC于H
,连接BG
,
DH，如图：
在梯形ACEF中,由AF=CE=EF
,可得AG=，
由三角形ABC为直角三角形,且AB=1
,
BC=,可得∠BAC=60°，
则BG=，
∴∠AGB=90°,即BG⊥AC
,则AC⊥平面GFB
,
∴∠BFG为二面角B-
EF-A的平面角,
同理可得∠DEH为二面角D-EF-C的平面角,
∵:AC⊥平面BGF
,
AC⊥平面DHE
,
则二面角B-
EF-D的平面角为∠BFG+∠DEH
.
∵△BGF与△DHE均为等腰三角形,
∴∠BFG=，
∠DEH=，
∵FG∥EH，GB∥HD，
∴∠BGF+∠DHE=180°，
∴∠BFG+∠DEH=，
∴二面角B-EF-D必为定值.
【分析】由所给数据,点B,D,E,F在以AC为轴的圆柱的侧面上,EF为母线,则不论EF在什么位置时,二面角B-EF-D必为定值.
12.答案：
B
解：由题得平面
平面
，
过点
分别作
,垂足分别为
,
则
平面
，
平面
，
过点
作
垂足分别为
，连接
,
因为
，所以
平面
，
所以
为二面角
的平面角，即
，
同理
为二面角
的平面角，即
设
,
.
所以
,
.
因为
，所以
因为
.
在
中，
.
当
时，取
中点
，连接
，
所以
，
所以
，所以
的最大值为
.
故答案为：B
【分析】如图所示，过点
分别作
,垂足分别为
,过点
作
垂足分别为
，连接
,设
,
，先证明
，再证明
即得解.
二、填空题
13.答案：
解：如图，三棱锥
的棱长都相等，取
中点E，连结
、
，
三棱锥
各棱长均相等，即
、
均为等边三角形，
，
，
是二面角
的平面角，
设棱长
，则
，
．
即棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是
．
故答案为：
．
【分析】取
中点E，连结
、
，可得
是二面角的平面角，再由余弦定理求解．
14.答案：
解：设翻折前
与
相交于点O，则
，
，
而翻折之后的图形如图所示，
为二面角
的平面角，
，
，
为等腰直角三角形，且
，
二面角
的大小为
．
故答案为：
．
【分析】设翻折前
与
相交于点O，则
，
，作出翻折后的图形，由二面角的定义可知
即为所求，易证
为等腰直角三角形，故
，从而得解．
15.答案：
解：正方体
中，连接
交
于点M，连接
，
由题可得：
，
,
所以直线
平面
,
所以直线
与平面
所成的角等于
,
设正方体
的边长为
，
所以
，
，
所以
,所以
.
【分析】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可。
16.答案：
解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：
设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b＞0）．
由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），
∴
=（﹣2，0，1），
=（﹣2，b，0）.
=（2，0，0）．
设平面APD的法向量为
=（x1
，
y1
，
z1），
平面PDQ的法向量为
=（x2
，
y2
，
z2），
则
即
，
令y1=0得
=（0，1，0），令z2=2得
=（1，
，2），
∴
．
∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为
，
∴cos＜
＞=
即
解得b=
．
∴S△ADQ=
．
S梯形ABCD﹣S△ADQ=
．
∵S1＜S2
，
∴S1=
，S2=
．∴S1：S2=（3
﹣4）：4．
故答案为（3
﹣4）：4．
【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用坐标运算可得所求.
三、解答题
17.答案：
（1）解：连
，
以
为
轴建立空间直角坐标系，则
从而直线
与
所成角的余弦值为
；
（2）解：设平面
一个法向量为
，
令
，
设平面
一个法向量为
，
令
，
，
因此
.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
答案：
（1）解：因为
，
设平面
的法向量
，
则
，即
，取
，
所以平面
的法向量
，而
，
所以
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
；
（2）解：
，
，
设平面
的法向量
，
则
，即
，取
，
平面
的法向量
，
所以
，
二面角
的大小的余弦值
．
【分析】（1）利用空间向量研究线面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求面
的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值的绝对值，也是线面角的正弦值；（2）利用空间向量研究二面角，建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求两个平面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值，根据图形确定二面角
的大小的余弦值与夹角余弦值之间关系，即可得结果.
19.答案：
（1）解：如图，以
为原点建立空间直角坐标系，
则
，，
，
故
与棱
所成的角是
；
（2）解：
为棱
中点，
设
，则
，
设平面
的法向量为
，
，
则
，故
，
而平面
的法向量是
，
则
，
解得
，即
为棱
中点，其坐标为
.
【分析】（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，先建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值为
，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．
20.答案：
（1）解：由
，
，
，得
.
以
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
设
，则由
，得
，
而
，根据
，
解得，
或
；
（2）解：
，
，
设平面
的法向量
，
则
，
取
，得面
的一个法向量为
，
而平面
的一个法向量为
，
并且
与二面角
相等，
所以二面角
的余弦值为
.
【分析】（1）以
、
、
所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出
的值.（2）求出平面
的法向量和面
的一个法向量，利用向量法能求出二面角
的余弦值.
答案：
（1）解：因为
平面
，
，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，
因为
，
，
所以
，
，
，
，
因为点
为线段
的中点，所以
，
，
，
所以
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
（2）解：设平面
的法向量为
，
因为
，
，
所以
，
，即
且
，
取
，得
，
，
所以
是平面
的一个法向量．
设平面
的法向量为
，
因为
，
，
所以
，
，
即
且
，取
，得
，
，
所以
是平面
的一个法向量．
所以
．
由图可知二面角为钝角，所以二面角
的余弦值为
.
【分析】（1）以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
.
，
，利用向量夹角公式即可得到结果；（2）求出平面
与平面
的法向量，代入公式即可得到结果.
22.答案：
（1）解：因为
，所以
，
，
所以
是二面角
的平面角，
因为二面角
为直二面角，
所以
，即
，
如图，以
为正交基底，建立空间直角坐标系
，
因为
是边长为3的等边三角形，且
，
，
所以
，
，
，所以
，
则各点的坐标为
，
，
，
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
，
即
，
，令
，则
，
，
所以
是平面
的一个法向量，
因为平面
的法向量
，
所以
，
由图形可知，二面角
的余弦值为
；
（2）解：设
，则点
坐标为
，
所以
，
因为直线
与平面
所成的角为60°，
所以
，
解得
或
，
因为
，所以
无解，
所以线段
上不存在
，使直线
与平面
所成的角为60°．
【分析】（1）由二面角的定义得
，建立如图所示的空间直角坐标系，根据法向量的性质求出平面
的法向量
，推出平面
的法向量为
，然后根据空间向量数量积的坐标运算可得解；（2）设
，则点
坐标为
，从而得
，由
，建立关于
的方程，结合
可得结果.
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