3.4.3简单的线性规划的应用
本节教材分析
教材设计了两个实际问题，代表了线性规划研究的两大类问题：一类是一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力、物力安排任务；另一类是在一定量的人力、物力条件下，如何安排和使用，以获得最大效益.这两类问题的两个方面，即寻求整个问题的某种指标的最优解.
三维目标
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
教学重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；
教学难点: 把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
教学建议：
教学中应注意：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键.可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数.另外若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解，则应作适当调整，其方法应以与线性目标函数的直线的的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也是很有效的办法.教学上课适当采用多媒体和投影仪等辅助教学，以增加课堂容量，增强直观性，进而提高课堂效率.
新课导入设计
导入一
[直接导入]上节课我们探究了用线性规划解决求函数最值问题，这节课我们进一步探究有关线性规划的有关问题，看看用线性规划能解决哪些实际问题.教师出示多媒体课件，提出问题，由此引入新课.
导入二
[复习导入]生产实际中有许多问题都可归结为线性规划问题，其中有两类重要实际问题：一是一类是一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力、物力安排任务；另一类是在一定量的人力、物力条件下，如何安排和使用，以获得最大效益.
www.(共54张PPT)
4．3 简单线性规划的应用
一、线性规划问题
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的①________或②________问题即为线性规划问题．
二、线性规划解决的常见问题
(1)③________问题．
(2)④________问题．
(3)⑤________问题．
(4)⑥________问题．
三、线性规划问题的求解步骤
1．根据线性约束条件画出⑦________，即不等式或不等式组所确定的平面区域；
2．设z＝0，画出直线l0，平行移动l0，以确定⑧________的位置；
3．解有关方程组，求出最优解对应点的⑨________，再代入目标函数求出目标函数的⑩________.
四、简单线性规划问题应用题的求解步骤
1． ________——设未知数，写出约束条件与目标函数，将实际应用问题转化为数学上的线性规划问题；
2． ________——解这个线性规划问题；
3． ________——根据应用题提出的问题作答．
答案：
①最大值 ②最小值 ③资源配置 ④环境优化 ⑤产品配方 ⑥合理下料 ⑦可行域 ⑧最优解所对应的点 ⑨坐标 ⑩最值 转化 求解 作答
1.线性规划的理论和方法主要在哪几类问题中得到应用？线性规划问题的常见类型有哪些？
(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．
(2)线性规划问题的常见类型有：
①物资调运问题
例如已知A1、A2两煤矿每年的产量，煤需经B1、B2两个车站运往外地，B1、B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1、A2两煤矿运往B1、B2两车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
②产品安排问题
例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A、B、C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限制、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？
③下料问题
例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？
2．在利用线性规划求解有关应用问题时，有时候需要根据实际情况，最优解要求是整数．那么，怎样才能正确地得出整数解？
在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，通常处理的方法有两种：
(1)利用约束条件画出图形，如果得出的是非整数解，进行适当地调整，可以找与所求出的最优解(非整数解)接近的整数解进行验证；
(2)在直线的附近找出与此直线距离最近的整点，根据求出的结果给出最优解的整数解；
(3)我们也可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应具体情况具体分析.
合理的配餐、配料能做到物有所值、物有超值，经济而又实惠．
[例1] 某校食堂以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米食每百克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元．学校要给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，应如何配制盒饭，才既科学又使费用最少？
解析：设每份盒饭中面食为x百克，米食为y百克，费用z元，则z＝0.5x＋0.4y，
作出不等式组所表示的平面区域如下图所示．
[变式训练1] 某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A，C，D，E和最新发现的Z，甲种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是1 mg,1 mg,4 mg,4 mg,5 mg；乙种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是3 mg, 2 mg,1 mg,3 mg,2 mg.若此人每天摄入维生素A至多19 mg，维生素C至多13 mg，维生素D至多24 mg，维生素E至少12 mg，那么他每天应服两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量，并能获得最大量的维生素Z
作出不等式组表示的平面区域如图所示，
作出5x＋2y＝0.
把直线向右上方平移，直线经过可行域上的点M时，z＝5x＋2y取得最大值．
日常生产生活中，对所支配资料能做到科学合理的重组与配置，能够提高劳动效率创造最大经济效益．
[例2] 某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1 t产品需要的电力、煤、劳动力及产值．如下表所示：
品种 电力(千度) 煤(吨) 劳动力(人) 产值(千元)
甲 4 3 5 7
乙 6 6 3 9
该厂的劳动力满员150人，根据限额每天用电不超过180千度，用煤每天不得超过150 t，问每天生产这两种产品各多少时，才能创造最大的经济效益？
[变式训练2] (图表信息题)北京华欣公司计划在今年内同时出售“夜莺牌多功能”电子琴和“OK智能型”洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品有关数据如下表：
资金 单位产品所需资金(百元) 月资金供应量(百元)
电子琴 洗衣机
成本 30 20 300
劳动力(工资) 5 10 110
单位利润 6 8
试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
分析：先设出月供应电子琴和洗衣机数量，建立约束条件和目标函数后，再利用图像直观解题．
充分利用线性规划知识能够解决生活中节约用材问题，在目前经济危机的状况下，更应大力提倡节约能源，提倡合理有效地配置，创造最佳效益．
[例3] 某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可做A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m2，每张可做A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个．问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)．
[变式训练3] 某厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 m3，第二种有56 m3，假设生产每种产品都需要两种木料，生产一张圆桌和一个衣柜所需木料如下表所示．每生产一张桌子可获利润6元，生产一个衣柜可获利润10元，该厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少，才能使获得的利润最多？
产品 木料(单位：m3)
第一种 第二种
圆桌 0.18 0.08
衣柜 0.09 0.28
在现有资源，条件不变的情况下，合理地调度，往往也能起到节约运费、节约成本的功效．
[例4] 已知A、B、C三城市分别有某种机器10台、10台和8台，支持D市18台，E市10台．从A市调一台机器到D、E两市运费分别为200元和800元；从B市调一台机器到D、E两市运费分别为300元和700元；从C市调一台机器到D、E两市运费分别为400元和500元．
(1)若从A、B两市各调x台到D市，当三市28台机器全部调完毕后，求总运费P(x)关于x的函数表达式，并求P(x)的最大值和最小值．
(2)若从A市调x台到D市，从B市调y台到D市．当28台机器全部调完毕后，用x、y表示总运费P，并求P的最大值和最小值.
解析：第一步，列表、分析条件：
表1
供方
运费
需方 A B C 需量
D 200 300 400 18
E 800 700 500 10
供量 10 10 8
第二步，确定目标函数．
(1)设从A市、B市中调x台到D市，调运预想方案如表2：
表2
供方
运费
需方 A B C 需量
D 200x 300x 400·(18－2x) 18
E 800·(10－x) 700·(10－x) 500·(2x－10) 10
供量 10 10 8
于是，总运费为P(x)＝200x＋300x＋400(18－2x)＋800(10－x)＋700(10－x)＋500(2x－10)＝17200－800x，其中，0≤x≤10,0≤18－2x≤8 5≤x≤9，
∴P(x)max＝P(5)＝13200(元)，
P(x)min＝P(9)＝10000(元)．
(2)设从A市、B市分别调x台、y台到D市，调运预想方案如表3：
表3
供方
运费
需方 A B C 需量
D 200x 300y 400·(18－x－y) 18
E 800·(10－x) 700·(10－y) 500·(x＋y－10) 10
供量 10 10 8
于是，总运费为：
P＝200x＋300y＋400(18－x－y)＋800(10－x)＋700(10－y)＋500(x＋y－10)＝17200－100(5x＋3y)，
其中0≤x≤10,0≤y≤10,0≤18－x－y≤8.
第三步，求出最优点．
在xOy平面上，作出上述不等式的可行域如下图中阴影部分．
其中l1：x＋y＝18，
l2：x＋y＝10.
可以发现，当x＝10，y＝8时，Pmin＝9800；
当x＝0，y＝10时，Pmax＝14200.
[变式训练4] 甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别为300 t, 950 t，A、B、C三地需要该产品的数量分别为200 t、450 t,400 t．甲地运往A、B、C三地的费用分别为6元/t、3元/t、5元/t，乙地运往A、B、C三地的费用分别为5元/t、9元/t、6元/t.怎样调运才能使总运费最省？
解析：设甲地生产的某种产品运往A、B、C三地的数量分别为x t、y t、(300－x－y) t，则乙地生产的产品运往A、B、C三地的数量分别为(200－x) t、(450－y) t、[400－(300－x－y)] t，
总运费z＝6x＋3y＋5(300－x－y)＋5(200－x)＋9(450－y)＋6(100＋x＋y)＝2x－5y＋7150，
作出可行域，如下图所示．
由图可知当7150－z取最大值时，z值最小，即过点(0,300)时，zmin＝5650元，即甲地产品全部运往B地，乙地产品运往A、B、C三地分别为200 t、150 t、400 t时总运费最省为5650元．
最优整数解问题，就是在有些线性规划问题中，变量x，y要求取整数，因此其最优解也必须为整点，解答这类问题可以先解决一般的线性规划问题(不考虑整数)，再在可行域内适当调整，从而确定最优整数解即可．
[例5] 某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员．在建筑某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运360吨土的任务．已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车为8次，B型卡车为6次；每辆卡车每天往返的成本费用情况；A型卡车160元，B型卡车252元．试问，A型卡车与B型卡车每天各出动多少辆时公司的成本费用最低？
解析：设每天出动的A型卡车数为x，则0≤x≤7；每天出动的B型卡车数为y，则0≤y≤4.因为每天出车的驾驶员最多9名，则x＋y≤9，每天要完成的搬运任务为48x＋60y≥360，每天公司所花成本费用为z＝160x＋252y.
本题即求满足不等式组
结合图形可知，在四边形区域上，横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有P1(3,4)，P2(4,4)，P3(4,3)，P4(5,2)，P5(5,3)，D(5,4)，P6(6,2)，P7(6,3)，P8(7,1)，C(7,2)10个点．
作直线l：160x＋252y＝0.
把l向上方作平行移动，可发现它与上述的10个点中最先接触到的点是P4(5,2)，所以在点P4(5,2)上，得到的z的值最小，zmin＝160×5＋252×2＝1304.
答：当公司每天出动A型卡车5辆，B型卡车2辆时，公司的成本费用最低．
[变式训练5] 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
规格类型
钢板类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
解法2：特值验证法：
由解法1知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点A0(0,15)，A1(1,13)，A2(2,11)，A3(3,9)，A4(4,8)，A5(5,8)，A6(6,7)，A7(7,7)，A8(8,7)，A9(9,6)，A10(10,6)，…，A27(27,0)．
将这些点的坐标分别代入z＝x＋y，求出各个对应值，经验证可知，在整点A3(3,9)和A4(4,8)处z取得最小值．
其解法的思路：找整点、验证后选最优解．
故本例有两种截法：
第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法最少要截两种钢板共12张.同步检测训练
一、选择题
1．一批长4000 mm的条形钢材，需要将其截成518 mm与698 mm的两种毛坯，则钢材的最大利用率为( )
A．99.75% B．99.65%
C．94.85% D．95.70%
解析：设长为518 mm的x段，698 mm的y段，由题意可得x，y满足的约束条件是
目标函数z＝518x＋698y.由可行域得最优解为(5,2)，所以最大利用率为＝99.65%，故选B.
答案：B
2．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是( )
A．80 B．85
C．90 D．95
解析：画出不等式组表示的平面区域，如下图所示．
由解得A(，)．
而由题意知x和y必须是正整数，
直线y＝－x＋向下平移经过的第一个整点为(5,4)．
z＝10x＋10y取得最大值90，故选C.
答案：C
3．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的软件和磁盘，其中软件至少买3片，磁盘至少买2盘，则不同的选购方式有( )
A．5种 B．6种
C．7种 D．8种
解析：由得(其中x为软件数，y为磁盘数)
当x＝3时7y≤32，y可取2,3,4共三种．
当x＝4时7y≤26，y可取2,3共两种．
当x＝5时7y≤20，y可取2共一种．
当x＝6时7y≤14，y可取2共一种．
当x≥7时不合题意．
故共7种选购方式．
答案：C
4．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
解析：本题主要考查线性规划知识以及对题意的理解、归纳等能力，设投资甲为x万元，投资乙为y万元，获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y，且
作出不等式组表示的区域，如下图所示，作直线l0：0.4x＋0.6y＝0并将l0向上平移到过A点时z取得最大值，即∴zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)，故选B.
答案：B
5．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元．月初一次性购进本月用原料A、B各c1、c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为( )
A. B.
C. D.
解析：生产甲、乙产品所需A原料之和应小于c1，故a1x＋a2y≤c1；同理生产甲、乙产品所需B原料之和应小于c2，故b1x＋b2y≤c2；当然x、y应是正数，故选C.
答案：C
6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为( )
A．45.606 B．45.6
C．45.56 D．45.51
解析：由题知15辆车分配在甲、乙两地销售要获得最大利润，通过分配试算比较，当甲地销售10辆，乙地销售5辆，即获得最大利润为5.06×10－0.15×100＋2×5＝45.6(万元)，故选B.
答案：B
7．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么，为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为( )
货物 体积每箱(m3) 重量每箱50 kg 利润每箱(百元)
甲 5 2 20
乙 4 5 10
托运限制 24 13
A.4,1 B．3,2
C．1,4 D．2,4
解析：设甲、乙两种货物各托运x，y箱时，能获得最大利润，由题意知：
利润目标函数y＝20x＋10y，如上图：可行域为阴影部分ABOC，且A(4,1)，经分析当l0平移到l，即过A(4,1)时y最大，故选A.
答案：A
8．有一批钢管，长度都是4000 mm，要截成500 mm与600 mm两种毛坯，且这两种毛坯数量比必须大于才可配套，则需截取500 mm,600 mm各多少根才最合理( )
A．2,5 B．3,4
C．5,2 D．6,1
解析：设截得500 mm的毛坯x根，600 mm的毛坯y根，产品总量为z，根据题意得不等式组
z＝x＋y(x，y∈N)．
即z＝x＋y(x，y∈N)．
作出以上不等式组所表示的平面区域，如上图，即可行域，并标出整点，作直线l：x＋y＝0，作一组平行于l的平行线x＋y＝z.当x＝2，y＝5或x＝3，y＝4或x＝4，y＝3或x＝5，y＝2或x＝6，y＝1时都使z取最大值zmax＝7，但考虑用料最大，就是损耗最小的实际情况，在产品最多的条件下，损耗最小即为最优解，故x＝2，y＝5符合题意．
因此截取500 mm的2根，600 mm的5根最合理，故选A.
答案：A
9．(2009·陕西卷)若x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－4,2)
C．(－4,0] D．(－2,4)
解析：如下图，约束条件的平面区域为三角形，而目标函数z＝ax＋2y即y＝－x＋仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1<－<2 －4
答案：B
10．(2009·四川)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
解析：设甲、乙两种产品各生产x、y吨，获得利润为z，故本题即已知约束条件，求目标函数z＝5x＋3y的最大值．不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示．作直线l0：5x＋3y＝0，易知当平移l0至点(3,4)时，z取得最大值为5×3＋3×4＝27.故选D.
答案：D
二、填空题
11．某工厂两种不同原料可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克，若采用乙种原料每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克，今预算每日总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日最多可生产________千克产品．
解析：设采用甲种原料x吨，乙种原料y吨，得约束条件为：
目标函数为z＝90x＋100y，
∴zmax＝90×＋100×＝440.
故此工厂每日最多可生产440千克产品．
答案：440
12．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元．设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B元，则A________B.
解析：设甲、乙两种蔬菜的价格分别为x，y元，则，两式分别乘22、8得12x－18y>0，即2x－3y>0，故A>B.
答案：>
13．欲用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数量尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，则买________才行？
解析：设桌、椅分别买x、y张，
∴
z＝x＋y，由解得A(，)．
由解得B(25，)．
∴满足约束条件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0,0)为顶点的三角形区域，如图中所示阴影部分，
由图形直观可知目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为(25，)，但注意到x∈N，y∈N，故取y＝37，所以买桌子25张，椅子37张是满足题设的最好选择．
答案：桌子25张，椅子37张
14．(2009·山东高考)某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
分析：由题目可获取以下主要信息：
①甲、乙两种设备每天生产A类、B类产品件数已知；
②甲、乙两种设备的租赁费已知；
③生产A类、B类产品数量已知．
解答本题可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解．
解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，租赁费z元，
由题意得
z＝200x＋300y.
作出下图所示的可行域．
令z＝0，得l0：2x＋3y＝0，
平移l0可知，当l0过点A时，z有最小值．
又由得A点坐标为(4,5)．
所以zmin＝4×200＋5×300＝2300.
答案：2300
三、解答题
15．有一批同规格钢条，按第一种方式切割，可截成长度为a的2根，长度为b的3根；按第二种方式切割，可截成长度为a的3根，长度为b的1根．
(1)现需将长度为a的2根与长度为b的1根配成一套，求这两种切割方式应满足的比例；
(2)若长度为a的至少需50根，长度为b的至少需45根，应如何切割可使钢条用量最省？
解析：设按第一种切割方式需x根，按第二种切割方式需y根．
(1)依题意得＝，所以＝.
(2)
目标函数z＝x＋y，用可行域中的整点比较得(12,9)，(13,8)使z＝x＋y取最小值21.
16．某工厂生产A、B两种产品，已知制造A产品1 kg需用9 t煤，4 kW·h电，3个劳动力(按工作日计算)；制造B产品1 kg需用4 t煤，5 kW·h电，10个劳动力．又知制造A产品1 kg可获利7万元，制造B产品1 kg可获利12万元．现在此工厂只有煤360 t，电200 kW·h，劳动力300个．在这种条件下怎样搭配可使工厂获利最多？
解析：设该厂分别生产A、B产品x kg、y kg，利润为z万元，
由题意得约束条件为
目标函数为z＝7x＋12y，由约束条件表示的平面区域可得最优解为(20,24)，zmax＝428.
17．甲、乙两公司生产同一种产品，但由于设备陈旧，需要更新．经测算对于函数f(x)、g(x)及任意的x≥0，当甲公司投放x万元改造设备时，若乙公司投放改造设备费用小于g(x)万元，则乙公司有倒闭的风险，否则无倒闭风险；同样，当乙公司投入x万元改造设备时，若甲公司投入改造设备费用小于f(x)万元，则甲公司有倒闭的风险；否则无倒闭的风险．
(1)请解释f(0)，g(0)的实际意义；
(2)设f(x)＝x＋5，g(x)＝x＋10，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无倒闭风险的情况下尽可能地减少改造设备资金，问此时甲、乙两公司各投入多少万元？
解析：(1)f(0)表示当乙公司不投入资金改造设备时，甲公司要避免倒闭，至少要投入f(0)万元的资金；g(0)表示当甲公司不投入资金改造设备时，乙公司要避免倒闭风险，至少要投入g(0)万元的资金．
(2)设甲公司投放的资金为x万元，乙公司投入的资金为y万元，由题意，甲、乙公司均无倒闭风险，需
双方均无倒闭风险区域如下图所示．
解得P(25,30)．
故在均无倒闭的风险的情况下，甲公司至少投入25万元，乙公司至少投入30万元．
18．某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分和200元/分，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的广告，每分钟能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
目标函数为z＝3000x＋2000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如下图所示．
作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0，
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
由解得x＝100，y＝200，
∴点M的坐标为(100,200)，
∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．
故该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告时，公司的收益最大，最大收益是70万元．
www.