(共82张PPT)
3．2 等比数列的前n项和
一、等比数列的前n项和公式
一般地，对于等比数列
a1，a2，a3，…，an，…，
它的前n项和是
Sn＝①________
根据等比数列的通项公式，上式可写成
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.
由错位相减法知：当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn＝②________.
因为an＝a1qn－1，所以上面的公式还可以写成
Sn＝③________.
显然，当q＝1时，数列{an}变为a1，a1，…，a1，…，易得它的前n项和Sn＝④________.
(2)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有⑦________五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量；
(4)在含字母参数的等比数列求和时，应分 ________与 ________两种情况进行讨论．
(2)对于形如{xn·yn}的数列的和，其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列，也可以这样求和：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题．
(3)利用这种方法时，要注意到公式及其他应用问题中对公比的分类讨论．若已知q≠1，求等比数列前n项和的方法一般是利用Sn的表达式的特点，当q＝1时，求和就简单得多了，这时数列的每一项都相等，直接把n个相等的数相加即可得．
若公比q＝1，则数列为非零常数数列，因此在进行等比数列的前n项和的计算中对公比q是否为1进行讨论是分类讨论思想在数列这一章中的一个重要体现，也是高考的重要知识点．
此类题型主要应用等比数列的前n项和公式及其性质，得到有关的方程(组)来进行求解．
[例1] 在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3a5＝64.求{an}前8项的和S8.
解析：解法1：设数列{an}的公比为q，根据通项公式为an＝a1qn－1，由已知条件得
a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24，(*)
a3a5＝(a1q3)2＝64.
∴a1q3＝±8.
将a1q3＝－8代入(*)式，得q2＝－2，
没有实数q满足此式，故舍去．
将a1q3＝8代入(*)式，得q2＝4，∴q＝±2.
[变式训练1] 在等比数列{an}中， a1＋an＝66，a2·an－1＝128，且前n项和Sn＝126，求n及公比q.
解析：∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，
∴a1、an是方程x2－66x＋128＝0的两根，
解方程得x1＝2，x2＝64，
∴a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1.
[例2] 已知等比数列{an}中前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30.求S30.
[变式训练2] 等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4可为
( )
A．28 B．32
C．35 D．49
解析：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4成等比数列．
∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或－21.
∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2
＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，
∴S4＝28，故选A.
答案：A
[例3] 一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求出数列的公比和项数．
解法2：设项数为n.
∵等比数列的项数为偶数，Sn＝S奇＋S偶，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋an－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋an＝a1q＋a3q＋a5q＋…＋an－1q＝q(a1＋a3＋a5＋…＋an－1)＝q·S奇，
∴85q＝170，∴q＝2.
又∵Sn＝85＋170＝255，
∴n＝8，故公比q＝2，项数n＝8.
在推导等差数列的前n项和公式时引入了倒序相加法，在推导等比数列的前n项和公式时，介绍了错位相减法，而对于既不是等比数列也不是等差数列的数列，应先分析它的通项公式，抓住特点，将数列求和问题转化成已知的等差、等比数列或是常数数列的求和问题，因此同学们必须掌握一些简单数列求和的方法：
(1)公式法求和：对于等差数列或是等比数列的求和．
(2)错位相减法求和：对于一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}的对应项的积构成的数列{anbn}采用错位相减法，解题步骤为：①写出Sn＝c1＋c2＋…＋cn；②等式两边同乘等比数列的公比：qSn＝qc1＋qc2＋…＋qcn；③两式错位相减转化成等比数列的和；④两边同除以1－q，求出Sn，在此须对q是否为1进行讨论．
(3)倒序相加法：这是推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．
(4)分组求和法：有一类数列，既不是等差数列也不是等比数列，观察通项公式，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．
(5)裂项法：分析通项公式，通项可分解为两项之差，然后相加相消，最后只剩下有限项的和．常见的拆项公式有：
[变式训练4] 已知数列{an}，a1，a2，a3，…，an，…，构造一个新数列：a1，(a2－a1)，(a3－a2)，…，(an－an－1)，…，此数列是首项为1，公比为 的等比数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
分析：通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为 的等比数列的前n项和．数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了．
[例5] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝2,3Sn＝5an－an－1＋3Sn－1(n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.
整理得an＋2n＝4(an－1＋2n－1)，n＝2,3，….
因而数列{an＋2n}是首项为a1＋2＝4，公比为4的等比数列，即an＋2n＝4×4n－1＝4n，n＝1,2,3，….
因而an＝4n－2n，n＝1,2,3，….
在对等比数列的前n项和的实际应用中，应学会审明题意，抓住关键，把实际问题“转化”为等比数列问题，利用相关知识解决问题．
[例7] 据报道，我国森林覆盖率在逐年提高，现已达到国土面积的14%，某林场去年年底森林木材储存量为a万m3.若树木以每年25%的增长率增长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为x万m3，为了实现经过20年使木材储存量翻两番的目标，问：每年砍伐的木材量x的最大值是多少？(lg2取0.3)
[变式训练7] 某制糖厂第1年制糖5万t，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年内可使总产量达到30万t(精确到个位)
分析：根据题意得出从第一年起，每年的产量组成一个等比数列{an}，运用等比数列前n项和公式求总产量．
分析：证明一个数列是等差或等比数列，最先考虑的应是等差和等比数列的定义，对于存在性的问题，应先假设其存在然后来推导，证明．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
不等关系 不等式关系的表示与不等式的性质 同步练习
1、已知，那么在中，它们的大小关系是（ ）
A、 B、
C、 D、
2．已知，则的值是（ ）
A．正数 B．负数
C．非正数 D．非负数
3．设，求的取值范围。
4．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元则发行量将减少4000本，为使销售总收入不小于9万元，需确定提价的范围，用不等式表示该不等式关系．
5．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24牙，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，用不等式表示上述不等关系．
6、若，则下列不等式成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
7．已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8、给出四个条件：①；②；③；④，能推得成立的是 。
9、比较与的大小。
10．某种杂志以每本2.5元价格销售，可以售出8万本,据市场调查，若单价每本提高0.1 元．销售量就相应减少2000本，若把提价后的价格定为元，应怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
11、如果a，b，c满足且，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
12．证明函数在R上是单调函数．
13．某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按生产要求600mm 钢管的数盘不能超过500mm钢管的3倍，间怎样写出满足，上述所有不等关系的不等式呢？
14．火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t，现计划用A、B两种型号 的车厢共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢；25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢．据此安排A、B两种货厢的节数，共有几种方案．
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第01讲 不等关系
高考《考试大纲》的要求：
了解现实世界和日常生活中的不等式关系，了解不等式（组）的实际背景
（一）基础知识回顾：
1.实数大小比较的基本事实：
(1) a>b _______; (2) a=b_______ ; (3) a
要确定任意两个实数a,b的大小关系，只需确定它们的________与_____的大小关系即可。
2.不等式的基本性质：
(1）对称性a>b b___a; （2）传递性：a>b,b>ca____c;
（3）a>b, a+c____b+c; （4）a>b,c>0ac___bc;
（5）a>b,c<0ac___bc; （6）a>b>0();
（7）a>b>0() （8）a>b,c>da+c____b+d;
(9) a>b>0,c>d>0ac____bd; (10)a>b,ab>0___.
（二）例题分析：
例1.（2004北京春招文）已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
<1>若，则； <2>若，则
<3>若，则 其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
例2.（2006江西理）若a0，b0，则不等式－ba等价于（ ）
A．x0或0x B.－x
C.x-或x D.x或x
例3. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
（三）基础训练：
1．(2008广东文)设，若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B. C. D.
2.（2007上海理）设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3.（2006上海春招）若，则下列不等式成立的是( )
（A） . （B）. （C）. （D）.
4.（2004湖北理）若则下列不等式①；②；③；
④中，正确的不等式有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
5．（2003北京春招文）设，且下列结论中正确的是( )
A． B． C． D．
6. 角x,y满足－＜x＜y＜,则x－y的取值范围是（ ）
A.(－π,0) B.(－π,π) C.(－,0) D.(－,)
7. (2002年广东、江苏、河南，全国文)已知0＜x＜y＜a＜1，则有( )
A.loga(xy)＜0 B.0＜loga(xy)＜1
C.1＜loga(xy)＜2 D.loga(xy)＞2
8. b g糖水中有a g糖(b>a>0),若再添上m g糖(m>0),则糖水就变甜了.试根据这个事实,提炼一个
不等式:___________________________.
（四）拓展训练：
1. 已知实数a、b、c、d满足下列三个条件: ①d>c；②a+b=c+d；③a+dA. b>d>c>a B. b>d>a>c C. d>b>a>c D. d>b>c>a
2. 两次购买同一种物品,可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同,则两种策略中那种比较经济？
参考答案
第01讲 不等关系
（二）例题分析： 例1. D； 例2. D；
例3. 解：设甲、乙两人所走路程都是s，所用时间分别为t1和t2 ，依题意得
，解得， 又
因为，所以t1答：甲先到达指定地点。
（三）基础训练：
1．C； 2.Ｃ； 3. C； 4. B； 5．A； 6.A； 7.D； 8.
（四）拓展训练： 1.A;
2．解：设两次购买同一种物品的单价分别为m和n（m≠n）,
设按第一种策略每次购物数量为a，.按第二种策略每次购物所花的钱数为b，
则第一种购物策略的平均价格为
第二种购物策略的平均价格为
因为，所以所以x1>x2 .
答：.第二种策略比较经济。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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同步检测训练
一、选择题
1．一批长4000 mm的条形钢材，需要将其截成518 mm与698 mm的两种毛坯，则钢材的最大利用率为( )
A．99.75% B．99.65%
C．94.85% D．95.70%
解析：设长为518 mm的x段，698 mm的y段，由题意可得x，y满足的约束条件是
目标函数z＝518x＋698y.由可行域得最优解为(5,2)，所以最大利用率为＝99.65%，故选B.
答案：B
2．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是( )
A．80 B．85
C．90 D．95
解析：画出不等式组表示的平面区域，如下图所示．
由解得A(，)．
而由题意知x和y必须是正整数，
直线y＝－x＋向下平移经过的第一个整点为(5,4)．
z＝10x＋10y取得最大值90，故选C.
答案：C
3．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的软件和磁盘，其中软件至少买3片，磁盘至少买2盘，则不同的选购方式有( )
A．5种 B．6种
C．7种 D．8种
解析：由得(其中x为软件数，y为磁盘数)
当x＝3时7y≤32，y可取2,3,4共三种．
当x＝4时7y≤26，y可取2,3共两种．
当x＝5时7y≤20，y可取2共一种．
当x＝6时7y≤14，y可取2共一种．
当x≥7时不合题意．
故共7种选购方式．
答案：C
4．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
解析：本题主要考查线性规划知识以及对题意的理解、归纳等能力，设投资甲为x万元，投资乙为y万元，获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y，且
作出不等式组表示的区域，如下图所示，作直线l0：0.4x＋0.6y＝0并将l0向上平移到过A点时z取得最大值，即∴zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)，故选B.
答案：B
5．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元．月初一次性购进本月用原料A、B各c1、c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为( )
A. B.
C. D.
解析：生产甲、乙产品所需A原料之和应小于c1，故a1x＋a2y≤c1；同理生产甲、乙产品所需B原料之和应小于c2，故b1x＋b2y≤c2；当然x、y应是正数，故选C.
答案：C
6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为( )
A．45.606 B．45.6
C．45.56 D．45.51
解析：由题知15辆车分配在甲、乙两地销售要获得最大利润，通过分配试算比较，当甲地销售10辆，乙地销售5辆，即获得最大利润为5.06×10－0.15×100＋2×5＝45.6(万元)，故选B.
答案：B
7．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么，为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为( )
货物 体积每箱(m3) 重量每箱50 kg 利润每箱(百元)
甲 5 2 20
乙 4 5 10
托运限制 24 13
A.4,1 B．3,2
C．1,4 D．2,4
解析：设甲、乙两种货物各托运x，y箱时，能获得最大利润，由题意知：
利润目标函数y＝20x＋10y，如上图：可行域为阴影部分ABOC，且A(4,1)，经分析当l0平移到l，即过A(4,1)时y最大，故选A.
答案：A
8．有一批钢管，长度都是4000 mm，要截成500 mm与600 mm两种毛坯，且这两种毛坯数量比必须大于才可配套，则需截取500 mm,600 mm各多少根才最合理( )
A．2,5 B．3,4
C．5,2 D．6,1
解析：设截得500 mm的毛坯x根，600 mm的毛坯y根，产品总量为z，根据题意得不等式组
z＝x＋y(x，y∈N)．
即z＝x＋y(x，y∈N)．
作出以上不等式组所表示的平面区域，如上图，即可行域，并标出整点，作直线l：x＋y＝0，作一组平行于l的平行线x＋y＝z.当x＝2，y＝5或x＝3，y＝4或x＝4，y＝3或x＝5，y＝2或x＝6，y＝1时都使z取最大值zmax＝7，但考虑用料最大，就是损耗最小的实际情况，在产品最多的条件下，损耗最小即为最优解，故x＝2，y＝5符合题意．
因此截取500 mm的2根，600 mm的5根最合理，故选A.
答案：A
9．(2009·陕西卷)若x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－4,2)
C．(－4,0] D．(－2,4)
解析：如下图，约束条件的平面区域为三角形，而目标函数z＝ax＋2y即y＝－x＋仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1<－<2 －4答案：B
10．(2009·四川)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
解析：设甲、乙两种产品各生产x、y吨，获得利润为z，故本题即已知约束条件，求目标函数z＝5x＋3y的最大值．不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示．作直线l0：5x＋3y＝0，易知当平移l0至点(3,4)时，z取得最大值为5×3＋3×4＝27.故选D.
答案：D
二、填空题
11．某工厂两种不同原料可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克，若采用乙种原料每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克，今预算每日总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日最多可生产________千克产品．
解析：设采用甲种原料x吨，乙种原料y吨，得约束条件为：
目标函数为z＝90x＋100y，
∴zmax＝90×＋100×＝440.
故此工厂每日最多可生产440千克产品．
答案：440
12．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元．设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B元，则A________B.
解析：设甲、乙两种蔬菜的价格分别为x，y元，则，两式分别乘22、8得12x－18y>0，即2x－3y>0，故A>B.
答案：>
13．欲用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数量尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，则买________才行？
解析：设桌、椅分别买x、y张，
∴
z＝x＋y，由解得A(，)．
由解得B(25，)．
∴满足约束条件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0,0)为顶点的三角形区域，如图中所示阴影部分，
由图形直观可知目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为(25，)，但注意到x∈N，y∈N，故取y＝37，所以买桌子25张，椅子37张是满足题设的最好选择．
答案：桌子25张，椅子37张
14．(2009·山东高考)某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
分析：由题目可获取以下主要信息：
①甲、乙两种设备每天生产A类、B类产品件数已知；
②甲、乙两种设备的租赁费已知；
③生产A类、B类产品数量已知．
解答本题可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解．
解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，租赁费z元，
由题意得
z＝200x＋300y.
作出下图所示的可行域．
令z＝0，得l0：2x＋3y＝0，
平移l0可知，当l0过点A时，z有最小值．
又由得A点坐标为(4,5)．
所以zmin＝4×200＋5×300＝2300.
答案：2300
三、解答题
15．有一批同规格钢条，按第一种方式切割，可截成长度为a的2根，长度为b的3根；按第二种方式切割，可截成长度为a的3根，长度为b的1根．
(1)现需将长度为a的2根与长度为b的1根配成一套，求这两种切割方式应满足的比例；
(2)若长度为a的至少需50根，长度为b的至少需45根，应如何切割可使钢条用量最省？
解析：设按第一种切割方式需x根，按第二种切割方式需y根．
(1)依题意得＝，所以＝.
(2)
目标函数z＝x＋y，用可行域中的整点比较得(12,9)，(13,8)使z＝x＋y取最小值21.
16．某工厂生产A、B两种产品，已知制造A产品1 kg需用9 t煤，4 kW·h电，3个劳动力(按工作日计算)；制造B产品1 kg需用4 t煤，5 kW·h电，10个劳动力．又知制造A产品1 kg可获利7万元，制造B产品1 kg可获利12万元．现在此工厂只有煤360 t，电200 kW·h，劳动力300个．在这种条件下怎样搭配可使工厂获利最多？
解析：设该厂分别生产A、B产品x kg、y kg，利润为z万元，
由题意得约束条件为
目标函数为z＝7x＋12y，由约束条件表示的平面区域可得最优解为(20,24)，zmax＝428.
17．甲、乙两公司生产同一种产品，但由于设备陈旧，需要更新．经测算对于函数f(x)、g(x)及任意的x≥0，当甲公司投放x万元改造设备时，若乙公司投放改造设备费用小于g(x)万元，则乙公司有倒闭的风险，否则无倒闭风险；同样，当乙公司投入x万元改造设备时，若甲公司投入改造设备费用小于f(x)万元，则甲公司有倒闭的风险；否则无倒闭的风险．
(1)请解释f(0)，g(0)的实际意义；
(2)设f(x)＝x＋5，g(x)＝x＋10，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无倒闭风险的情况下尽可能地减少改造设备资金，问此时甲、乙两公司各投入多少万元？
解析：(1)f(0)表示当乙公司不投入资金改造设备时，甲公司要避免倒闭，至少要投入f(0)万元的资金；g(0)表示当甲公司不投入资金改造设备时，乙公司要避免倒闭风险，至少要投入g(0)万元的资金．
(2)设甲公司投放的资金为x万元，乙公司投入的资金为y万元，由题意，甲、乙公司均无倒闭风险，需
双方均无倒闭风险区域如下图所示．
解得P(25,30)．
故在均无倒闭的风险的情况下，甲公司至少投入25万元，乙公司至少投入30万元．
18．某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分和200元/分，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的广告，每分钟能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
目标函数为z＝3000x＋2000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如下图所示．
作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0，
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
由解得x＝100，y＝200，
∴点M的坐标为(100,200)，
∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．
故该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告时，公司的收益最大，最大收益是70万元．
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4．3 简单线性规划的应用
一、线性规划问题
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的①________或②________问题即为线性规划问题．
二、线性规划解决的常见问题
(1)③________问题．
(2)④________问题．
(3)⑤________问题．
(4)⑥________问题．
三、线性规划问题的求解步骤
1．根据线性约束条件画出⑦________，即不等式或不等式组所确定的平面区域；
2．设z＝0，画出直线l0，平行移动l0，以确定⑧________的位置；
3．解有关方程组，求出最优解对应点的⑨________，再代入目标函数求出目标函数的⑩________.
四、简单线性规划问题应用题的求解步骤
1． ________——设未知数，写出约束条件与目标函数，将实际应用问题转化为数学上的线性规划问题；
2． ________——解这个线性规划问题；
3． ________——根据应用题提出的问题作答．
答案：
①最大值 ②最小值 ③资源配置 ④环境优化 ⑤产品配方 ⑥合理下料 ⑦可行域 ⑧最优解所对应的点 ⑨坐标 ⑩最值 转化 求解 作答
1.线性规划的理论和方法主要在哪几类问题中得到应用？线性规划问题的常见类型有哪些？
(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．
(2)线性规划问题的常见类型有：
①物资调运问题
例如已知A1、A2两煤矿每年的产量，煤需经B1、B2两个车站运往外地，B1、B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1、A2两煤矿运往B1、B2两车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
②产品安排问题
例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A、B、C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限制、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？
③下料问题
例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？
2．在利用线性规划求解有关应用问题时，有时候需要根据实际情况，最优解要求是整数．那么，怎样才能正确地得出整数解？
在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，通常处理的方法有两种：
(1)利用约束条件画出图形，如果得出的是非整数解，进行适当地调整，可以找与所求出的最优解(非整数解)接近的整数解进行验证；
(2)在直线的附近找出与此直线距离最近的整点，根据求出的结果给出最优解的整数解；
(3)我们也可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应具体情况具体分析.
合理的配餐、配料能做到物有所值、物有超值，经济而又实惠．
[例1] 某校食堂以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米食每百克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元．学校要给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，应如何配制盒饭，才既科学又使费用最少？
解析：设每份盒饭中面食为x百克，米食为y百克，费用z元，则z＝0.5x＋0.4y，
作出不等式组所表示的平面区域如下图所示．
[变式训练1] 某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A，C，D，E和最新发现的Z，甲种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是1 mg,1 mg,4 mg,4 mg,5 mg；乙种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是3 mg, 2 mg,1 mg,3 mg,2 mg.若此人每天摄入维生素A至多19 mg，维生素C至多13 mg，维生素D至多24 mg，维生素E至少12 mg，那么他每天应服两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量，并能获得最大量的维生素Z
作出不等式组表示的平面区域如图所示，
作出5x＋2y＝0.
把直线向右上方平移，直线经过可行域上的点M时，z＝5x＋2y取得最大值．
日常生产生活中，对所支配资料能做到科学合理的重组与配置，能够提高劳动效率创造最大经济效益．
[例2] 某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1 t产品需要的电力、煤、劳动力及产值．如下表所示：
品种 电力(千度) 煤(吨) 劳动力(人) 产值(千元)
甲 4 3 5 7
乙 6 6 3 9
该厂的劳动力满员150人，根据限额每天用电不超过180千度，用煤每天不得超过150 t，问每天生产这两种产品各多少时，才能创造最大的经济效益？
[变式训练2] (图表信息题)北京华欣公司计划在今年内同时出售“夜莺牌多功能”电子琴和“OK智能型”洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品有关数据如下表：
资金 单位产品所需资金(百元) 月资金供应量(百元)
电子琴 洗衣机
成本 30 20 300
劳动力(工资) 5 10 110
单位利润 6 8
试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
分析：先设出月供应电子琴和洗衣机数量，建立约束条件和目标函数后，再利用图像直观解题．
充分利用线性规划知识能够解决生活中节约用材问题，在目前经济危机的状况下，更应大力提倡节约能源，提倡合理有效地配置，创造最佳效益．
[例3] 某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可做A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m2，每张可做A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个．问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)．
[变式训练3] 某厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 m3，第二种有56 m3，假设生产每种产品都需要两种木料，生产一张圆桌和一个衣柜所需木料如下表所示．每生产一张桌子可获利润6元，生产一个衣柜可获利润10元，该厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少，才能使获得的利润最多？
产品 木料(单位：m3)
第一种 第二种
圆桌 0.18 0.08
衣柜 0.09 0.28
在现有资源，条件不变的情况下，合理地调度，往往也能起到节约运费、节约成本的功效．
[例4] 已知A、B、C三城市分别有某种机器10台、10台和8台，支持D市18台，E市10台．从A市调一台机器到D、E两市运费分别为200元和800元；从B市调一台机器到D、E两市运费分别为300元和700元；从C市调一台机器到D、E两市运费分别为400元和500元．
(1)若从A、B两市各调x台到D市，当三市28台机器全部调完毕后，求总运费P(x)关于x的函数表达式，并求P(x)的最大值和最小值．
(2)若从A市调x台到D市，从B市调y台到D市．当28台机器全部调完毕后，用x、y表示总运费P，并求P的最大值和最小值.
解析：第一步，列表、分析条件：
表1
供方
运费
需方 A B C 需量
D 200 300 400 18
E 800 700 500 10
供量 10 10 8
第二步，确定目标函数．
(1)设从A市、B市中调x台到D市，调运预想方案如表2：
表2
供方
运费
需方 A B C 需量
D 200x 300x 400·(18－2x) 18
E 800·(10－x) 700·(10－x) 500·(2x－10) 10
供量 10 10 8
于是，总运费为P(x)＝200x＋300x＋400(18－2x)＋800(10－x)＋700(10－x)＋500(2x－10)＝17200－800x，其中，0≤x≤10,0≤18－2x≤8 5≤x≤9，
∴P(x)max＝P(5)＝13200(元)，
P(x)min＝P(9)＝10000(元)．
(2)设从A市、B市分别调x台、y台到D市，调运预想方案如表3：
表3
供方
运费
需方 A B C 需量
D 200x 300y 400·(18－x－y) 18
E 800·(10－x) 700·(10－y) 500·(x＋y－10) 10
供量 10 10 8
于是，总运费为：
P＝200x＋300y＋400(18－x－y)＋800(10－x)＋700(10－y)＋500(x＋y－10)＝17200－100(5x＋3y)，
其中0≤x≤10,0≤y≤10,0≤18－x－y≤8.
第三步，求出最优点．
在xOy平面上，作出上述不等式的可行域如下图中阴影部分．
其中l1：x＋y＝18，
l2：x＋y＝10.
可以发现，当x＝10，y＝8时，Pmin＝9800；
当x＝0，y＝10时，Pmax＝14200.
[变式训练4] 甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别为300 t, 950 t，A、B、C三地需要该产品的数量分别为200 t、450 t,400 t．甲地运往A、B、C三地的费用分别为6元/t、3元/t、5元/t，乙地运往A、B、C三地的费用分别为5元/t、9元/t、6元/t.怎样调运才能使总运费最省？
解析：设甲地生产的某种产品运往A、B、C三地的数量分别为x t、y t、(300－x－y) t，则乙地生产的产品运往A、B、C三地的数量分别为(200－x) t、(450－y) t、[400－(300－x－y)] t，
总运费z＝6x＋3y＋5(300－x－y)＋5(200－x)＋9(450－y)＋6(100＋x＋y)＝2x－5y＋7150，
作出可行域，如下图所示．
由图可知当7150－z取最大值时，z值最小，即过点(0,300)时，zmin＝5650元，即甲地产品全部运往B地，乙地产品运往A、B、C三地分别为200 t、150 t、400 t时总运费最省为5650元．
最优整数解问题，就是在有些线性规划问题中，变量x，y要求取整数，因此其最优解也必须为整点，解答这类问题可以先解决一般的线性规划问题(不考虑整数)，再在可行域内适当调整，从而确定最优整数解即可．
[例5] 某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员．在建筑某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运360吨土的任务．已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车为8次，B型卡车为6次；每辆卡车每天往返的成本费用情况；A型卡车160元，B型卡车252元．试问，A型卡车与B型卡车每天各出动多少辆时公司的成本费用最低？
解析：设每天出动的A型卡车数为x，则0≤x≤7；每天出动的B型卡车数为y，则0≤y≤4.因为每天出车的驾驶员最多9名，则x＋y≤9，每天要完成的搬运任务为48x＋60y≥360，每天公司所花成本费用为z＝160x＋252y.
本题即求满足不等式组
结合图形可知，在四边形区域上，横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有P1(3,4)，P2(4,4)，P3(4,3)，P4(5,2)，P5(5,3)，D(5,4)，P6(6,2)，P7(6,3)，P8(7,1)，C(7,2)10个点．
作直线l：160x＋252y＝0.
把l向上方作平行移动，可发现它与上述的10个点中最先接触到的点是P4(5,2)，所以在点P4(5,2)上，得到的z的值最小，zmin＝160×5＋252×2＝1304.
答：当公司每天出动A型卡车5辆，B型卡车2辆时，公司的成本费用最低．
[变式训练5] 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
规格类型
钢板类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
解法2：特值验证法：
由解法1知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点A0(0,15)，A1(1,13)，A2(2,11)，A3(3,9)，A4(4,8)，A5(5,8)，A6(6,7)，A7(7,7)，A8(8,7)，A9(9,6)，A10(10,6)，…，A27(27,0)．
将这些点的坐标分别代入z＝x＋y，求出各个对应值，经验证可知，在整点A3(3,9)和A4(4,8)处z取得最小值．
其解法的思路：找整点、验证后选最优解．
故本例有两种截法：
第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法最少要截两种钢板共12张.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
等比数列的前n项和
【学习目标】
1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；
2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题．
【预习案】
【知识储备】
1．等比数列的定义
2．等比数列的通项公式
3．等比数列的性质
【小试身手】
在等比数列{an}中，已知a1=5,a9a 10=100,求a 18
【探究案】
探究1.等比数列前n项和公式的推导
1．等比数列前n项和公式是怎么推导的？
2．还有没有其他的推导方法？
探究2.等比数列前n项和公式的应用
例1．求下列等比数列的各项的和：
（1）； （2）
例2．已知公比为的等比数列的前5项和为，求这个数列的及
例3．求等比数列1，2，4，…第5项到第10项的和
例4．某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？
练习：
（1）求等比数列，，，…的前8项的和；
（2）求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和。
【课后提高案】
一、选择题：
1. 在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=( )
A 33 B 72 C 84 D 189
2． 等比数列中, 则的前项和为（ ）
A. B. C. D.
3．在公比为整数的等比数列中，如果那么该数列的前项之和为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
1. 已知：a1=2，S3=26．则q=_________________
2．已知三数成等比数列，若三数的积为125，三数的和为31，则三数为___________________
三、解答题：
1．设数列，求这个数列的前项和。
2．已知等比数列，求使得大于100的最小的n的值.
3． 在3和2187之间插入若干个正数，使它们组成等比数列，且插入的这些正数的和为1089。求：插入的这些正数各是什么？
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域的是( )
A．(0,0) B．(－1,1)
C．(－1,3) D．(2，－3)
【解析】 ∵将x＝－1，y＝3代入x＋y－1
得－1＋3－1＝1>0，
故(－1,3)不在x＋y－1≤0表示的平面区域内．
【答案】 C
2．不等式组表示的平面区域为( )
A．四边形及其内部
B．等腰三角形及其内部
C．在第一象限内的一个无界区域
D．不包含第一象限内的点的一个有界区域
【解析】 画出不等式组表示的平面区域如图，易知2x-y+1=0与x-2y-1=0关于y=x对称，与x+y=1所成角相等，故不等式组表示的平面区域为等腰三角形及其内部．
【答案】 B
3．已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于( )
A．7 B．5
C．4 D．3
【解析】 将直线y＝x＋1与y＝2x－1联立解得A(2,3)，据题意即为最优解，又点A必在直线x＋y＝m上，代入求得m＝5.
【答案】 B
4．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．a＜5 B．a≥8
C．5≤a＜8 D．a＜5或a≥8
【解析】 如图作出可行域，要构成三角形，直线y＝a只能介于y＝5和y＝8两直线间，故5≤a＜8.
【答案】 C
5．(2008年山东卷)设二元一次不等式组，所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( )
A．[1,3] B．[2，]
C．[2,9] D．[，9]
【解析】 作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A(1,9)，C(3,8)．
当y=ax过A(1,9)时，a取最大值，此时a=9；
当y=ax过C(3,8)时，a取最小值，此时a=2，∴2≤a≤9.
【答案】 C
6．(2009年山东卷)某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
【解析】 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，
则
目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元．
【答案】 2300
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.
能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是 .
8．若实数x，y满足，z＝3x＋2y，则z的取值范围是______．
【解析】
作出图象可知，此平面区域是以O(0,0)，A(0,1)，B为顶点的三角形内部(包括边界)，当x=0，y=0时，x+2y取得最小值0；当x=0，y=1时，x+2y取得最大值2.又因为指数函数y=3x在[0,2]上为增函数，故z=3x+2y的取值范围为[1,9]．
【答案】 [1,9]
9．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费________元．
【解析】 设购买第一种包装x袋，第二种包装y袋，由已知条件35x+24y≥106，x≥0，y≥0，则当x=1，y=3时，z=140x+120y，取到最小值500元．
【答案】 500
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知非负实数x、y满足
(1)画出不等式组所表示的平面区域；
(2)求z＝x＋3y的最大值．
【解析】 (1)所给不等式组所表示的平面区域为图中阴影所示．
(2)如图作出直线l：x+3y=0，把直线向上平移至l1的位置，使l1经过可行域上点M，此时点M与原点为的距离最大，此时z=x+3y的最大值是0+3×3=9.
11．(15分)设S为平面上以A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)为顶点的三角形区域(含三角形内部及边界)．若点(x，y)在区域S上变动．
(1)求z＝3x－2y的最值；
(2)求z＝y－x的最大值，并指出其最优解；
(3)若x，y为整数，求z＝y－x的最大值，并指出其最优解．
【解析】 (1)z＝3x－2y可化为y＝x－＝x＋b，
故求z的最大值、最小值，相当于求直线y＝x＋b在y轴上的截距b的最小值、最大值．即b取最大值时，z取最小值；反之亦然．
如图(1)所示，直线y＝x左、右平行移动，
(1)
当y＝x＋b过B点时，bmax＝，此时zmin＝－2b＝－5；
(2)
当y＝x＋b过A点时，
bmin＝－，此时zmax＝－2b＝11.
(2)z＝y－x可化为y＝x＋z，故求z的最大值，相当于求直线y＝x＋z在y轴上的截距z的最大值．如图(2)所示，直线y＝x平行移动，
当直线y＝x＋z与直线BC重合时，zmax＝2，此时线段BC上任一点的坐标都是最优解．
(3)由(2)可知zmax＝2，最优解都在线段BC上，且x，y为整数，所以最优解有(－1,1)，(0,2)，(1,3)．
12．(16分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
【解析】 设搭载产品Ax件，产品By件，
预计收益z＝80x＋60y.
则，作出可行域，如图
作出直线l0：4x+3y=0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值，，
解得即M(9,4)．
所以zmax=80×9+60×4=960(万元)．
答：搭载产品A9件，产品B4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
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正弦定理
教材：正弦定理
目的：要求学生掌握正弦定理，并能应用解斜三角形，解决实际问题。
过程：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。
那么斜三角形怎么办？——提出课题：正弦定理、余弦定理
二、1．特殊情况：直角三角形中的正弦定理：
sinA= sinB= sinC=1 即：
c= c= c= ∴==
2．能否推广到斜三角形？
证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中：
S△ABC=
两边同除以即得：==
3．用向量证明：
证二：过A作单位向量垂直于
+= 两边同乘以单位向量 (+)=
则： + =
∴|| ||cos90+|| ||cos(90C)=|| ||cos(90A)
∴ ∴=
同理：若过C作垂直于得： = ∴==
当△ABC为钝角三角形时，设 A>90 过A作单位向量垂直于向量
4．突出几点：1正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦
比相等，即：==它适合于任何三角形。
2可以证明===2R （R为△ABC外接圆半径）
3 每个等式可视为一个方程：知三求一
三、正弦定理的应用
从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
例一、在△ABC中，已知 A=45 C=30 求b（保留两个有效数字）
解略
例二、在△ABC中，已知 b=28 A=40 求B (精确到1)和c（保留两个有效数字）
解略 注意由=求出sinB=0.8999 B角有两解
例三、在△ABC中，已知 b=50 A=38 求B (精确到1)和c（保留两个有效数字）
解略 注意由b四、小结：正弦定理，两种应用
已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）
一解 两解 一解
五、作业：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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C
B
A
c
a
b
A
CV
BV
A
CV
BV
C
C
C
a
C
b
b
a
b
b
a
a
a
A
B
B
A
B1
B2
A
c
A
B
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正弦定理、余弦定理的应用（一）作业
1.在高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为和，则塔高为（ ）
2. 在△ABC中，
3.海上有两个小岛相距，从岛望所成的视角为，从岛望所成的视角为，试求间的距离。
4.甲船在A处观察到乙船在它的东偏北方向的B处，两船相距a海里，乙船向正北方向行驶，若甲船的速度是乙船的倍，问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船？相遇时乙船已行驶多少海里？
5.如图，已知圆内接四边形中，，如何求四边形的面积？
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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2.1.3余弦定理
知识梳理
余弦定理：
(1)形式一：，，
形式二：，，，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
题型一 根据三角形的三边关系求角
例1．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角.
解：∵＝＝＝k
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(+1)∶(－1)∶
设a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k (k＞0)
则最大角为C.cosC＝
＝ eq \f((＋1)2＋(－1)2－2,2×(＋1) (－1)) ＝－
∴C＝120°.
评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C最大。
题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形
例2.在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。
（1） 求角C的度数；
（2） 求的长；
（3）求△ABC的面积。
解：(1)
（2）因为，是方程的两根，所以
（3）
评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。
备选题 正、余弦定理的综合应用
例3.在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得: .又,。
所以…………………………………①
又，
，即
由正弦定理得，故………………………②
由①，②解得。
评析:从近年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
例3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，，，证明：
。
证明：由余弦定理知：
，
则
，
整理得:
，
又由正弦定理得:
， ，
评析：三角形中的证明，应充分利用正、余弦定理，三角函数的公式，在边、角关系中，明确证明思路，都化为边的关系或都化为角的关系。
. 点击双基
1．在△ABC中，若a=2, b=2, c=+,则∠A的度数是 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
解：=，A=30°
答案：A
2．在△ABC中，若则 ( )
A． B． C． D．
解：
答案：B
3. 在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
解：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.
答案：C
4．在△ABC中，若∶∶∶∶，则_____________。
解：∶∶∶∶∶∶，
令
答案：
5. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知 则A＝ .
解：由余弦定理可得，
∴
答案：
课后作业
1．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
解： 设中间角为，则为所求
答案：B
2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形
解：长为6的边所对角最大，设它为， 则
答案：A
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
解：设顶角为C，因为，
由余弦定理得：
答案：D
4.在中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则角B的值为（ ）
A. B. C.或 D. 或
解：由得即
,又B为△ABC的内角，所以B为或
答案：D
5．在△ABC中，若，则最大角的余弦是（ ）
A． B． C． D．
解： ，为最大角，
答案：C
6. 在中，，则三角形为（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解：由余弦定理可将原等式化为
答案：C
7.的内角的对边分别为，若，则等于（ ）
A． B．2 C． D．
解：由余弦定理得，，6=a+2+aa=或-2（舍去）
答案：D
8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（ ）
A. 52 B. C. 16 D. 4
解：由题意得或2（舍去）
答案：B
二．填空题
9.△ABC中，若，则A=
解：= A=
答案：
10．在△ABC中，若则△ABC的形状是_________。
解： 为最大角，为锐角
答案：锐角三角形
11．在锐角△ABC中，若，则边长的取值范围是_________。
解：
答案：
三．解答题
12.在△ABC中：
(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a；
(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；
(3)已知a＝3，c＝2，B＝150°，求b；
(4)已知a＝2，b＝，c＝＋1，求A.
解：(1)由a2＝b2＋c2－2bccosA得
a2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a＝7.
(2)由cosB＝得
cosB＝＝0，∴B＝90°.
(3)由b2＝a2＋c2－2accosB得
b2＝(3)2＋22－2×3×2cos150°＝49，∴b＝7.
(4)由cosA＝得
cosA＝ eq \f(（）2＋（＋1）2－22,2（＋1）) ＝ eq \f(,2) ，∴A＝45°.
13在△ABC中，，求。
解：
，而
所以
14半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(a-b)sinB．求角C；
解：(1)∵
∵ 2R(sin2A-sin2C)＝(a－b)sinB
∴ 2R［()2-()2］＝(a-b)·∴ a2-c2＝ab-b2
∴ ∴ cosC＝，∴ C＝30°
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课题 §3.4.1二元一次不等式（组）与平面区域
课型 新授课 课时 备课时间
教学目 标 知识与技能 了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；
过程与方法 经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；
情感态度与价值观 通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣
重点 用二元一次不等式（组）表示平面区域；
难点 二元一次不等式的几何意义
教学方法
教学过程1.课题导入1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型课本第91页的“银行信贷资金分配问题”教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：2.讲授新课1．建立二元一次不等式模型把实际问题 数学问题：设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。（把文字语言 符号语言）（资金总数为25 000 000元） （1）（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上） 即 （2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值） （3）将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形（1）回忆、思考回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？（2）探究从特殊到一般：先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线x-y=6上的点；第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第93页的表格，横坐标x-3-2-10123点P的纵坐标点A的纵坐标并思考：当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？直线x-y=6右下方点的坐标呢？学生思考、讨论、交流，达成共识：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。直线叫做这两个区域的边界由特殊例子推广到一般情况：（3）结论：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）【应用举例】例1 画出不等式表示的平面区域。解：先画直线（画成虚线）.取原点（0，0），代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,∴原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图：归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当时，常把原点作为此特殊点。变式1、画出不等式所表示的平面区域。变式2、画出不等式所表示的平面区域。例2 用平面区域表示.不等式组的解集。分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。解：不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。变式1、画出不等式表示的平面区域。变式2、由直线，和围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。3.随堂练习1、课本第97页的练习1、2、34.课时小结1．二元一次不等式表示的平面区域．2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．3．二元一次不等式组表示的平面区域．5.评价设计课本第105页习题3.3[A]组的第1题
教学反思
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等差数列前n项和
【学习目标】
1、知识与技能: 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
2、经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思
【课前预习案】
一、【知识储备】
1．等差数列的定义： __________________________________________________________
2．等差数列的通项公式：_______________________________________________________
3．几种计算公差d的方法：___________________________________________________
4．等差中项：________________________________
5．等差数列的性质： ________________________________________________________
二、【自主学习】
1、学习等差数列前项和公式推导过程。
2、等差数列的公差为，首项为，前项和
公式（1） 公式（2） 。
三、【小试身手】
1 等差数列中，
(1)已知 则=__________________
(2)已知， 则=___________________
2等差数列中，已知，， 则=______及n=_____________
3、等差数列中，若，则公差___________.
【课内探究案】
例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a15＝10，a45＝90，求
(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；
(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．
例2 等差数列－10，－6，－2，2，．．．前多少项和是54？
例3 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？
例4 在等差数列{}中，已知a6+ a9+ a12+ a15 = 34，求前20项之和
【课后提高案】
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
2．根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数.
1),, 求
2),求
3. ,,求
4. 在等差数列{}中，a2+a5=19 S5 =40 则a10为
(A)27 (B)28 (C)29 (D)30
5. 在等差数列{}中，d=2, =11, Sn =35 则a1为
(A)5或7 （B）3或5 （C）7或－1 （D）3或－1
6. 已知数列1,2,3,4，,2n, 则其和为_________，奇数项的和为_________。
7. 在等差数列{}中，a1-a4-a8-a12+a15=2，则s15=___________________
8．在等差数列中，，，求
第六课时
【学习目标】
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决求通项公式，求前n项和的最值等问题.
【课前预习案】
一【知识储备】
1、 ＝
2、 前n项和公式与n的关系:式变形:
二【自主学习】
阅读并完成课本例2——例4
探究下列问题：
1.是等差数列，是其前n项和，参考课本46页B组2题，探究的关系（ （）仍成等差数列）
3．等差数列{an}的前n项和与二次函数的关系是 .，如何从中读出公差，求最值.
三【小试身手】
1 数列前项和，且，则正整数 _____________
2 设等差数列前项和，若，则
3. 等差数列前项和为，若，则当n=___________时，最大
【课内探究案】
探究1前n项和公式的应用
例1在等差数列{an}中，,,求
探究2 之间的关系
例2已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 求其前项和的公式.
探究3对等差数列的前项和公式2：可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式，那么它有何作用呢？
例3在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．
【课后提高案】
1、等差数列{an}中，d为公差.若前n项的和为Sn= -n2，则（ ）
A.an=2n-1，d= -2 B. an=2n-1，d= 2
C. an= -2n+1，d= -2 D. an= -2n+1，d= 2
2一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和
3．在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值
4．设等差数列{}的前n项和为，已知＝12，>0，<0，
(1) 求公差d的取值范围；
(2) 指出, , , ……, 中哪一个最大，说明理由
5. 在等差数列{}中，已知a1=25, S9= S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值。
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1.4 数列在日常经济生活中的应用
本节教材分析
教材对本内容的编排上以问题及其解决为主线，既充分考虑能调动学生进行自主学习，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法建立数学模型、解决实际问题的全部过程.又充分注意教材应适用于研究学习的特点，使其较方便于教师组织学生课外学习.
三维目标
1．知识与技能
（1）掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其应用；
（2）了解银行存款的种类及存款计息方式；
（3）体会“零存整取”、“定期自动转存”等日常经济生活中的实际问题；
（4）了解“教育储蓄”.
2．过程与方法:通过温故、设问、思考、讨论、推导等具体的问题情境，发现并建立等差数列这个数学模型，会利用它解决一些存款计息问题，感受等差数列的广泛应用.
3．情感态度与价值观:通过本节的学习，使学生对等差、等比数列的进一步理解，体会等差、等比数列与日常经济生活紧密相关，引导学生学会思考、交流、讨论、推导与归纳，学会调查学习，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，提高学生学习数学新知识的兴趣和信心.
教学重点：建立“零存整取模型”、“定期自动转存模型”，并用于解决实际问题；
教学难点：在实际的问题情境中，利用等差、等比数列数学模型，发现并建立“零存整取模型”与“定期自动转存模型”；
教学建议：
本节在教学中，应以教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念.让学生体验探究问题的全过程，一切以学生自己的积极探究为主.取材应来源于熟悉的生活，注意难度控制，让学生理解数列在实际生活中的应用，理解一些数学方法和数学思想..
新课导入设计
导入一: (情景导入）创设情境：①温故知新
等差数列； 等比数列；定义； 通项公式； 前n项和公式
②等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.例如，存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关.
师：同学们，你们经历过存款吗？你们知道储蓄有哪些业务种类？存款有利息吗？
导入二：（问题导入）
职员王某现在每月可以拿500元存入银行，他想把这笔钱作为儿子三年后读大学的费用，那么他以什么方式存款收益最大？以此为切口导入新课.
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4．2 简单线性规划
一、线性规划问题及可行解、可行域、最优解的概念
1．如果两个变量x、y满足一元一次不等式组，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，那么我们就称这个线性函数为①________，称一次不等式组为②________，像这样的问题叫做③________.
2．在线性规划问题中，满足约束条件的解(x，y)称为④________，由所有可行解组成的集合称为⑤________.分别使目标函数取得最小值或最大值的可行解称为⑥________，最优解一般在⑦________上，而且通常在可行域的顶点处取得．
友情提示：(1)求最优解前，令⑧________的目的是确定目标函数在可行域内的什么位置有可行解；
(2)一般来说，最优解为多边形区域的⑨________，但不是绝对的，有时也可能是多边形区域⑩________；
(3)对于目标函数所在直线与可行域内的某一条边的斜率较为接近时，如果直接在图形上判断不太方便，可以考虑比较它们 ________，从而确定最优解；
(4)在求目标函数的最优解的步骤中有一个关键的地方，就是要判断在某个点处，目标函数取得 ________，这个判断可以将点的坐标代入完成，也可以利用目标函数中z的几何意义完成．如函数z＝3x＋y，z是其对应直线在y轴上的 ________，则只要看过某点时直线的截距是 ________进行判断．
二、线性规划问题的求解程序
在约束条件下，当b>0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解程序为：
(1)作出 ________；
(2)作出直线l0： ________；
(3)确定l0的 ________，依可行域判断取得最优解的点；
(4)解相关方程组，求出 ________，从而得出目标函数的最小值或最大值．
答案：
①目标函数 ②约束条件 ③二元线性规划问题 ④可行解 ⑤可行域 ⑥最优解 ⑦可行域的边界 ⑧z＝0 ⑨顶点 ⑩一条边上的点 斜率的大小 最大值还是最小值 截距 最大还是最小 可行域 ax＋by＝0 平移方向 最优解
1.简单线性规划应用问题的求解步骤
(1)设：设出变量x，y，写出约束条件及目标函数．(2)作：作出可行域．(3)移：作一组平行直线l，平移l，找最优解．(4)解：联立方程组求最优解，并代入目标函数，求出最值．(5)答：写出答案．总之：求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组，求最值．
线性规划方法又称为图解法．解决线性规划问题时，首先画出不等式组的平面区域，然后作出直线，求出可行域中的最优解．
解析：作出可行域如下图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．
(1)易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－4>0，将C(7,9)代入z得最大值为21.
(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2＝.
(2)设u＝x2＋y2，则 为点(x，y)到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B到原点距离最大；而当(x，y)在原点时，距离为0，
∴umax＝(－1)2＋(－6)2＝37，umin＝0，
故4x－3y的最大值为14，最小值为－18；x2＋y2的最大值为37，最小值为0.
如何求线性规划问题的最优整数解是整个线性规划中最复杂也是最困难的问题．为了解决这类问题，可以采用如下两种方法：
(1)“局部微调法”
所谓“局部微调法”是指：在求线性目标函数z＝ax＋by＋c的最优整数解时，先根据基本方法求出目标函数的最值，但若此时最优解不是整数，即此时直线经过的点A(x0，y0)不是整点，可先根据A(x0，y0)求出此时的z0＝ax0＋by0＋c，然后根据条件把z0的值微调为大于(或小于)z0且与z0最接近的整数z1，再求出直线z1＝ax＋by＋c与可行域各直线的交点坐标，然后在这些交点之间寻找整点．
(2)“小范围搜索法”
“小范围搜索法”的步骤为：
①在边界折线顶点附近的小范围内搜索一个可行域内的整点；
②在该点作一条斜率为 (其中A、B分别为目标函数中变量x、y的系数)的直线，与可行域边界折线相交得到一个小范围的区域；
③在这个小范围区域内继续搜索全部最优整数解．
解析：(1)由x>0，－nx＋3n≥y>0，得0∴x＝1或x＝2，
∴Dn内的整点在直线x＝1或x＝2上．
记直线y＝－nx＋3n为l，l与直线x＝1、x＝2的交点的纵坐标分别为y1、y2，
则y1＝－n＋3n＝2n，y2＝－2n＋3n＝n，
∴an＝3n(n∈N*)．
[例3] 设实数x，y满足不等式组
(1)画出点(x，y)所在平面区域；
(2)设a>－1，在(1)所求的区域内，求函数f(x，y)＝y－ax的最大值和最小值．
其中AB：y＝2x－5；BC：x＋y＝4；
CD：y＝－2x＋1；DA：x＋y＝1.
(2)f(x，y)表示直线l：y－ax＝k在y轴上截距，且直线l与(1)中所求区域有公共点．
∵a>－1，∴当直线l过顶点C时，f(x，y)最大，
∵C点的坐标为(－3,7)．
∴f(x，y)的最大值为7＋3a.
如果－1≤a≤2，那么当直线l过顶点A(2，－1)时，f(x，y)最小，最小值为－1－2a.
如果a>2，那么当直线l过顶点B(3,1)时，f(x，y)最小，最小值为1－3a.
解析：一般情况下，当z取最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，如下图所示，即直线z＝ax＋y(a>0)平行于直线AC，则直线经过线段AC上任意一点时，z均取得最大值，此时满足条件，即有无数多个点使函数取得最大值．
分析知当直线y＝－ax＋z刚好移动到直线AC时，将会有无数多个点使函数取得最大值．
[变式训练4] 如下图，在约束条件下
当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是
( )
A．[6,15]
B．[7,15]
C．[6,8]
D．[7,8]
分析：本题考查简单线性规划问题，解题关键是在可行域条件下找出两个最大值点．
解析：如下图所示，
由图形知A(2,0)，C′(0,4)．
B(4－s,2s－4)，C(0，s)．
(1)当3≤s<4时，可行域是四边形OABC，此时7≤z<8；
(2)当4≤s≤5时，可行域是△OAC′，此时，zmax＝8.故选D.
答案：D
[例5] 设f(x)＝ax2－c，并且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)适合的条件是 ( )
A．－7≤f(3)≤26 B．－4≤f(3)≤5
C．－1≤f(3)≤20 D.≤f(3)≤
解析：由已知条件得
记z＝f(3)，则z＝9a－c.
如上图，由约束条件作出可行域ABCD内部(包括边界)，由目标函数作直线l：9a－c＝0，平移l到l1，l2.l1，l2与可行域分别相交于A，C两点，解方程组
答案：C
[变式训练5] 已知f(a，b)＝ax＋by，若1≤f(1,1)≤2，－1≤f(1，－1)≤1，求f(2,1)的取值范围．
解析：因为f(a，b)＝ax＋by,1≤f(1,1)≤2，
－1≤f(1，－1)≤1，所以
画出不等式组表示的平面区域．
目标函数为f(2,1)＝2x＋y.
作出直线2x＋y＝0.
评析：由已知可得关于x，y的不等式组，画出其表示的平面区域，从而得到f(2,1)的取值范围．
[变式训练6] 已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2，若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．
分析：作出二元一次不等式表示的平面区域，数形结合来解此题．
解析：作出可行域，如下图阴影部分所示．
观察图形，由a>0且z＝ax＋y仅在点(3,1)处取得最大值，故a>1.
答案：a>1本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
余弦定理 同步练习(一)
1、在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若有，则的形状（ ）
A、一定是锐角三角形 B、一定是直角三角形
C、一定是钝角三角形 D、不能确定
2．a、b、c是△ABC的三边，B＝60°，那么的值是（ ）
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不确定
3．三角形三边长之比为3：5：7，则其最大角是（ ）
A． B．
C． D．
4、在中，，则C为（ ）
A、 B、 C、 D、
5．根据条件，解下列三角形．
（1）在△ABC中，若，求A；
（2）在△ABC中，若，求c；
（3）在△ABC中，若，求b；
（4）△ABC三边的长，求最大角；
6、在中，，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
7．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的外接圆半径为__________．
8．在△ABC中，BC＝3，AB＝2，，∠A＝_____________．
9、中，，则AC= 。
10．在△ABC中，，判断△ABC的形状．
11．在△ABC中，AB＝1，AC＝2，求∠C的最大值．
12、如图2-1-4在中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若，BC边上的中线AD的长为，求边长a。
13．已知△ABC的边长满足等式时，求∠A．
14．（1）△ABC中，若已知三边为连续整数，最大角是钝角，求最大角的余弦．
（2）求以（1）中的最大角为内角，此夹角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．
15、在中，，且最长边为1，求（1）C的大小，（2）最短边的边长。
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高二数学训练
一、选择题（每小题4分，共40分）
1、已知等差数列中，的值是( )
A 15 B 30 C 31 D 64
2、在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=( )
A 33 B 72 C 84 D 189
3、已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则=( )
A –4 B –6 C –8 D –10
4、如果数列是等差数列，则( )
A B C D
5、已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q=2, a1·a2·a3·…·a30=245, 则
a1·a4·a7·…·a28= ( )
A 25 B 210 C 215 D 220
6、等差数列中，已知公差，且，则等于（ ）
A 170 B 150 C 145 D 120
7、在等比数列｛an｝中, a1<0, 若对正整数n都有anA q>1 B 08、已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1, a3, a9成等比数列，则的值是（ ）
A B C D
9、已知a、b、c成等比数列，a、x、b和b、y、c都成等差数列，且xy≠0，那么的值为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
10、已知数列 的前n项和，则下列判断正确的是（ ）
A B C D
二、填空题（每小题5分，共20分）
11、 在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为__________
12、各项均为正数的等比数列中，，则 ___
13、一个凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差为10°，最小内角为100°，则边数ｎ＝_________
14、数列是等比数列，下列四个命题：①、是等比数列；②是等差数列；③、是等比数列；④、是等比数列。正确的命题_____________
一、选择题（每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（每小题5分，共20分）
11、______________________ 12、________________________
13、______________________ 14、________________________
三、计算题（每小题8分，共40分）
15、设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且，求数列和的通项公式
16、已知数列是等差数列，其前n项和为，
（1）求数列的通项公式；
（2）设p、q是正整数，且p≠q，证明：
17、设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列
18、已知数列的前n项和为Sｎ是关于正自然数n的二次函数，其图象上有三个点A、B、C
求数列的通项公式，并指出是否为等差数列，说明理由
19、在等比数列中，，，，
（1）求；
（2）若，求
高二数学第二周周练答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B C C B C B C
二、填空题（每小题5分，共20分）
11、 216 12、 10 13、 8 14 ①③
三、计算题（每小题8分，共40分）
15、，
16、（1） （2）略
17、略
18、（1） （2）否
19、（1） （2）
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y
A
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13
7
3
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2
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课题 §1.2.4等差数列的前n项和
课型 新授课 课时 2 备课时间
教学目 标 知识与技能 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值；
过程与方法 经历公式应用的过程
情感态度与价值观 通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。
重点 熟练掌握等差数列的求和公式
难点 灵活应用求和公式解决问题
教学方法
教学过程●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等差数列的前项和公式1： 2.等差数列的前项和公式2：Ⅱ.讲授新课探究：——课本P51的探究活动结论：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？由，得当时===2p对等差数列的前项和公式2：可化成式子：，当d≠0，是一个常数项为零的二次式[范例讲解]等差数列前项和的最值问题课本P51的例4 解略小结：对等差数列前项和的最值问题有两种方法:利用:当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值利用：由利用二次函数配方法求得最值时n的值Ⅲ.课堂练习1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。2．差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值。Ⅳ.课时小结1．前n项和为，其中p、q、r为常数，且，一定是等差数列，该数列的首项是公差是d=2p通项公式是2．差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值。当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值。（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值Ⅴ.课后作业课本P53习题[A组]的5、6题
教学反思
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课 题 3.1等比数列 课 型 新课
课程分析 等比数列是又一特殊数列，它与前面我们刚刚所探讨过的等差数列仅有一字之差，所以我们可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握等比数列的相关知识。
学情分析 学生已经学习了等差数列，对于等比数列学生对比等差数列学习较容易接受。
设计理念 采用比较式数学法，从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用.
学 习 目 标 知识目标 要求学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式并会根据它进行有关计算
能力目标 会求等比数列的通项公式,等比数列的判定方法。
德育目标 1.培养学生的发现意识、提高学生创新意识、提高学生的逻辑推理能力、增强学生的应用意识。
板 书 设 计 一、复习：等差数列前项和的公式二、等比数列定义、通项公式三、例四、关于等比中项：五、小结：等比数列定义、通项公式、中项定理六、作业
课 后 反 馈
组织教学 导入新课 讲授新课 归纳小结 布置作业 备注
一、复习回顾1.等差数列定义：an－an－1=d(n≥2)(d为常数)2.等差数列性质：（1）若a,A,b成等差数列，则A=,(2)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.(3)Sk,S2k－Sk,S3k－S2k…成等差数列.3.等差数列的前n项和公式：Sn==na1+d二、新课讲解1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例：得一个数列： (1)2.数列： (2) (3)观察、归纳其共同特点：1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)2 隐含：任一项3 q= 1时，{an}为常数1.定义：等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q (q≠0) 表示，即an∶an－1=q(q≠0) 若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.2.等比数列的通项公式解法一：由定义式可得：a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=(a1q2)q=a1q3,…,an=an－1q=a1qn－1(a1,q≠0),n=1时，等式也成立，即对一切n∈N*成立.解法二：由定义式得：(n－1)个等式(n≥2) 注意：（1）公差“d”可为0；（2）公比“q”不可为0.
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三、例2（p23）一个等比数列的首项是2，第二项与第三项的和是12.求它的第8项的值。解：设等比数列的首项为a1,公比为q，则由已知，得解得q=-3或q=2.当q=-3时，a8=a1q7=2×（-3）7=-4374，当q=2时，a8=a1q7=2×27=256 故数列的第8项是-4374或256［例2］一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式
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解：设这个等比数列的首项是a1,公比是q,则：②÷①得:q= ③③代入①得：a1=,∴an=a1·qn－1=，8.答：这个数列的第1项与第2项分别是和8.评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.课堂练习1.求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），……；（4）…….2.(1) 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项.解：由题意得a9=,q=－∵a9=a1q8,∴,∴a1=2916答：它的第1项为2916.
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解：设这个等比数列的首项是a1,公比是q,则：②÷①得:q= ③③代入①得：a1=,∴an=a1·qn－1=，8.答：这个数列的第1项与第2项分别是和8.评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.课堂练习1.求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），……；（4）…….2.(1) 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项.解：由题意得a9=,q=－∵a9=a1q8,∴,∴a1=2916答：它的第1项为2916.
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解：设这个等比数列的首项是a1,公比是q,则：②÷①得:q= ③③代入①得：a1=,∴an=a1·qn－1=，8.答：这个数列的第1项与第2项分别是和8.评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.课堂练习1.求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），……；（4）…….2.(1) 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项.解：由题意得a9=,q=－∵a9=a1q8,∴,∴a1=2916答：它的第1项为2916.
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①②
①②
①②
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正弦定理、余弦定理的应用（一）
教学目标：
1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；?
2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；?
3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；
4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力??
教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法
教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定
教学过程：
一．复习回顾：
1．正弦定理：
2．余弦定理：
，
3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用
二、讲解范例：
例1：如图，为了测量河对岸两点间的距离，在河岸这边取点，测得在同一平面内，求之间的距离（精确到）
例2:某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进 并求出靠近渔船所用的时间
例3:如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值
三．随堂练习
1．已知两地的距离为两地的距离为，现测得，则两地的距离为 （ ）
A. B. C. D.
四．小结
通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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3．1 等比数列
一、等比数列的概念
1．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于①________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的②________，公比通常用字母q表示(q≠0)．
友情提示：关于等比数列概念的理解应注意以下几点事项：
(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项③________，因此q也不能是0；
(2)“从第2项起”是因为首项没有④________；
(3)⑤________均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒；
(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列⑥________，这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列；
(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列⑦________；
(6)常数列都是等差数列，但却不一定是⑧________.若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，是等比数列；
(7)证明一个数列为等比数列，其依据是⑨________，利用这种形式来判定，就便于操作了．
(8)在现实生活及国民经济建设中，常出现增长率(降低率)、复利率等问题，多与等比数列有联系，应用广泛．
2．与等差中项的概念类似，如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，我们称G为a，b的⑩________且G＝± (ab>0)，即 ________.在等比数列中，首末两项除外，每一项都是它的前一项与后一项的等比中项．
友情提示：关于等比数列中项的理解应注意体会以下几点：
(1)在a、b同号时，a、b的等比中项有两个； ________时，没有等比中项；
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的 ________；
(3)“a、G、b成等比数列”等价于 ________，可以用它来判断或证明三数成等比数列．
同时还要注意到“a、G、b成等比数列”与“G＝ ”是不等价的．
二、等比数列的通项公式
1．通项公式：首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是 ________.
2．通项公式及其变式的应用
(1)由通项公式an＝a1qn－1可知，已知 ________就可求出等比数列中的任意一项；
(2)等比数列通项公式an＝a1qn－1中有a1，n，q，an共四个元素，知三可求一；
(3)若an，am是等比数列{an}的任意两项，则an＝ ________.
等比数列的单调性如下表：
a1 a1>0 a1<0
q的范围 01 01
{an}的单调性 ____ 非增非减 增 增 ____ 减
三、等比数列的简单性质
设{an}是公比为q的等比数列，那么
(1)an＝am·qn－m；
(2)如果m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(反之不一定成立，例如常数列)．特别地，当m＋n＝2p时，有am·an＝________；
在有穷等比数列中，与首末两项等距离的二项的积等于首末两项的积；
(3)等比数列中每隔一定项取出一项按原来顺序排列构成的数列仍为等比数列．例如am，a2m，a3m也成等比数列；
1.对等比数列概念与通项公式分别应如何理解？
(1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．我们要强调一点：“公比q≠0”．等比数列的首项不为0，等比数列的每一项都不为0，即an≠0；另外，我们还强调“从第2项起”，这是为了保证每一项的前一项存在．公比，它的基本特征是“同一常数”，如果漏掉了“同一”两字，就会破坏等比数列中各项的共同性质．
(2)对于通项公式应从以下几个方面入手：
①在公式an＝a1qn－1(n∈N＋)中有四个基本量an、a1、q、n，若知道其中任意的三个量，就可以求出另一个量．
②此公式成立的条件是，n∈N＋，q≠0，且对n取1,2,3，…的一切正整数都成立．
③由于an＝a1qn－1＝ ·qn，当q>0且q≠1时，qn对应于指数函数qx，所以有时可以把等比数列的通项公式看作是函数y＝kqx(x∈N＋)(或自然数从1起始的某个子集)这样的一个函数．
④在等比数列{an}中的任意两项可以互相表示为an＝amqn－m.这也是通项公式的另一种形式．
证明：∵an＝a1qn－1，amqn－m＝a1qm－1qn－m＝a1qn－1，∴an＝amqn－m.
2．等比数列的判定方法有哪些？应如何区分等比数列的单调性？
(1)等比数列的判定方法有：
①an＝an－1q(n≥2，n∈N*，q为不等于零的常数) {an}是公比为q的等比数列．
② ＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*，an、an－1、an＋1均不为0) {an}是等比数列．
③an＝cqn(c、q均为不等于0的常数) {an}是等比数列．
由上可知判断一个数列是否成等比数列的方法：定义法、中项法、通项公式法．
(2)等比数列的单调性
在等比数列{an}中，若设首项为a1，公比为q，根据等比数列的定义，有
①若a1>0，q>1或a1<0,0②若a1>0,01，则数列递减；
③若q＝1，则数列为常数列；
④若q<0，则数列为摆动数列．
(3)对于形如an＋1＝an＋f(n)型或形如an＋1＝f(n)an型的数列，其中f(n)又是等差数列或等比数列，可以根据递推公式，写出n从1到n－1时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式．
等比数列的通项公式涉及首项a1，末项an，公比q以及项数n共四个量，已知其中三个量就可求出其他一个量．
[例1] 在等比数列中：
(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；
(2)若a2＝18，a4＝8，求a1与q；
(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
[变式训练1] 在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求a10；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
分析：由题目可获取以下主要信息：已知等比数列中的某些量之间的关系，求其他的量．解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量．
[例2] 数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，若an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证数列{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
分析：证明一个数列是等比数列通常使用定义．
[变式训练2] 已知数列{an}的前n项和Sn＝3an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
[变式训练3] 已知数列{an}为等比数列，且a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
解析：解法1：由已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8
[例4] 三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．
分析：三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中一个数为等比中项，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解好问题的关键．
解析：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则
a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2.
这三个数可表示为2－d,2,2＋d，
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6若d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.
③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，
∴d＝0(舍去)．
综上，可求得此三数为－4,2,8.
[变式训练4] 已知等比数列的前3项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
分析：利用已知条件，列出关于首项a1和公比q的方程组，求出a1和q后，问题便得以解决．
解析：设该等比数列的首项为a1，公比为q，由已知得
常用的等比数列的性质有以下几种：
设{an}是公比为q的等比数列，那么
(1)an＝am·qn－m；
(2)如果m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(反之不一定成立，例如常数列)．特别地，当m＋n＝2p时，有am·an＝a.在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积等于首末两项的积；
(3)等比数列中每隔一定项取出一项按原来顺序排列构成的数列仍为等比数列．例如am，a2m，a3m也成等比数列；
[例5] (1)已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于________．
(2)等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之积为________．
(3)在等比数列中，若a1＝1，a5＝10，则a9＝________.
(4)在等比数列{an}中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值是________．
答案：(1)5 (2)－217 (3)100 (4)192
[变式训练5] 在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝________.
分析：利用等比数列的性质，若m＋n＝k＋l，则aman＝akal来解决．
答案：512
评析：本题若把条件表示为a1、q的形式亦可解决，但运算步骤较麻烦，因此解题时要合理选择方法．
有些数列问题并非标准形式的等差、等比数列问题．但可以通过合理巧妙地变形构造成一个等差或等比的新数列，由此原问题便可以通过所学等差或等比数列的知识得到解决，这种解决问题的方法还是数学中转化与化归思想的具体体现，望同学们慢慢体会并合理的应用．
依据等差、等比数列定义或者等差中项、等比中项公式，判定一个数列为等差或等比数列，这是数列基本问题之一，不仅考查等差数列、等比数列的概念，而且考查分析、推理论证的能力，是高考考查中的重点．
[例7] 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
[变式训练7] 设{an}是公差d≠0的等差数列，且ak1，ak2，…，akn…恰好构成等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求kn.
∴在等差数列中，akn＝a1＋(kn－1)d＝(kn＋1)d；
在等比数列中，akn＝a1qn－1＝a1·3n－1＝2d·3n－1，
∴(kn＋1)d＝2d·3n－1，
∴kn＝2·3n－1－1.
[例8] 数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是常数，n＝1,2,3，…)，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．
(1)求c的值；
(2)求{an}的通项公式．
解析：(1)a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，
∵a1，a2，a3成等比数列，
∴(2＋c)2＝2(2＋3c)，
解得c＝0或c＝2.
当c＝0时，a1＝a2＝a3，不符合题意，舍去，故c＝2.
[变式训练8] 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝ ·Sn(n＝1,2,3，…)．证明：
(1)数列 是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系．建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后再应用数列的通项公式和求和公式求解；(2)通过归纳得到结论，在用数列知识求解．建立数学模型时，应明确是等差数列还是等比数列，是求an，n还是求Sn.
[例9] 从盛满a L(a>1)纯酒精的容器里倒出1 L，然后灌满水，再倒出1 L混合液后又用水灌满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的质量分数是多少？若a＝2时至少应倒几次后才能使酒精的质量分数低于10%
[变式训练9] 如图是一个计算装置示意图，J1、J2是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由J1，J2分别输入自然数m和n，经过计算后得自然数K由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：
①若J1，J2分别输入1，则输出结果为1；
②若J1输入任何固定自然数不变，
J2输入自然数增大1，则输出的结果比原来增大2；
③若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍．
试问：(1)若J1输入1，J2输入自然数n，输出结果为多少？
(2)若J2输入1，J1输入自然数m，输出结果为多少？
(3)若J1输入自然数m，J2输入自然数n，输出结果为多少？
解析：(1)由条件①有f(1,1)＝1，
由条件②知f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，
即当m固定时，f(m，n)成等差数列．
∴f(m，n)＝f(m,1)＋(n－1)·2，
故f(1，n)＝f(1,1)＋2n－2＝2n－1.
(2)由条件③知f(m＋1,1)＝2f(m,1)，即f(m,1)是一等比数列．
∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1.
(3)综合(1)、(2)知f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)＝2m－1＋2n－2.
评析：本题信息量大，粗看不知如何入手，但若把条件写成二元函数式，并把它看做某一变量的函数，抽象出等差或等比数列模型，问题便迎刃而解.(共37张PPT)
1．2 余弦定理
一、余弦定理
1．三角形任何一边的平方等于①________，即a2＝②________，b2＝③________，c2＝④________.
2．余弦定理的推论：
cosA＝⑤________，cosB＝⑥________，cosC＝⑦________.
3．余弦定理与勾股定理
(1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达式中令A＝90°，则a2＝b2＋c2；令B＝90°，则b2＝a2＋c2；令C＝90°，则c2＝a2＋b2.
(2)在△ABC中，若a2b2＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立．
二、余弦定理的应用
利用余弦定理可以解决两类斜三角形问题：
1．已知三边，求 ________.
2．已知两边和它们的夹角，求 ________和 ________.
友情提示：理解应用余弦定理应注意以下四点：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具；
(2)余弦定理是 ________的推广，勾股定理是 ________的特例；
(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以 ________；
(4)运用余弦定理时，因为已知三边求 ________，或已知两边及夹角求 ________，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．
在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理的标准是什么？
在没有学习余弦定理之前，还会解三角形，但是学习了余弦定理后，就不会解三角形了，不知是用正弦定理还是用余弦定理．这时要依据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择，还要依靠经验的积累．根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．
特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此范围内同一个正弦值一般对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意．但是在(0，π)内一个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论.
：
先用余弦定理求出第三边长，进而用余弦定理或正弦定理求出其他两个角．
[例2] 在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，C＝15°，求角A、B和边c的值．
[变式训练2] 如图，已知AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，求AD的长．
分析：由余弦定理可解三角形ABC，求出BC长度；由三角形内角平分线定理可求出BD长，再解△ABD即可求出AD长．
解析：在△ABC中，由余弦定理：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝32＋52－2×3×5·cos120°＝49，
∴BC＝7，
设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线定理：
在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理：
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.
[例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确定此三角形的形状．
当a＝b时，△ABC为等腰三角形；
当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定理得
2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A＝sin2B.
又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)，
故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
[变式训练3] (2010·辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
[例4] (数学与日常生活)如图，某市三个新兴工业小区A、B、C决定平均投资共同建一个中心医院O，使得医院到三个小区的距离相等，已知这三个小区之间的距离分别为AB＝4.3 km，BC＝3.7 km，AC＝4.7 km，问该医院应建在何处？(精确到0.1 km或1°)
分析：实际问题的解决，应首先根据题意转化为三角形模型，从而运用正、余弦定理解决，要注意题中给出的已知条件．本题实际上是在△ABC中，求△ABC的外接圆的半径OB及OB与边BC的夹角．
分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2)分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.(共56张PPT)
1．1 正弦定理
二、解三角形
1．解三角形时常用的结论
(1)在△ABC中，A>B ⑤________ ⑥________；(即在一个三角形中大边对大角)
(2)a＋b>c，b＋c>a，⑦________；(即在一个三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)
(3)内角和定理：△ABC中，A＋B＋C＝⑧________.
2．正弦定理的应用
利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
(1)已知两角和任意一边，求其他⑨________和⑩________；
(2)已知两边和其中一边的对角，求 ________，从而进一步求出其他的边和角．
对于第(1)类，其解是唯一确定的，一般先由三角形内角和为180°求得 ________，再利用正弦定理求其余两边；
对于第(2)类，其解不一定唯一，由于三角形的形状不能唯一确定，因而会出现 ________三种情况．
友情提示：在△ABC中，如果已知边a，b和角A，解的情况讨论如下：
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解和无解三种情况．
①A为锐角，如下图：
a ________解 ________解 ________解 ________解
②A为直角或钝角，如下图．
________解 ________解 ________解 ________解
归纳列表如下：
1.正弦定理的推导方法
对正弦定理的推导，我们可以从几何的角度进行推导．如图，以△ABC的顶点A为原点，边AC所在的射线为x轴的正半轴，建立直角坐标系．
另外，我们也可以从△ABC的外接圆来进行推导，如图．
当△ABC为直角三角形时，如图①所示，其外接圆的圆心O位于Rt△ABC的斜边AB上，R为外接圆的半径．
2．已知两边与其中一边的对角时，怎样确定三角形解的个数？
利用数形结合和三角函数知识来分析．例如：已知△ABC的两边a，b和角A解三角形时，有以下方法：
方法一：可以作图，利用数形结合加以说明．如下表所示：
具体解题时，作出已知角A，边长b，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数．
分析：从方程的观点看，正弦定理有三个等式，可视为三个方程，每个方程都含有四个量，知其三个量，便可求得第四个量．本题已知△ABC的两边和其中一边的对角，运用正弦定理可求出角A，然后再利用三角形内角和公式求得角C，进而求出边c.
[变式训练1] 在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.
[例2] △ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知b＝5，∠B＝30°，若c＝ ，解此三角形．
分析：主要考查用正、余弦定理解三角形及三角形中三角变形的技巧．
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断三角形的形状．
分析：已知条件中有边和角的混合关系，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断．
[变式训练3] 在△ABC中，若acosA＝bcosB，求证：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
分析：判断三角形形状通常从三角形内角的关系确定，也可以从三角形三边关系确定．本题可考虑把边化为角，寻找三角形角与角之间的关系，然后予以判定．
[例4] 如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.
(1)证明sinα＋cos2β＝0；
(2)若AC＝ DC，求β的值．
分析：根据等腰三角形的性质，内角和定理，结合三角公式，正、余弦定理即可解决．
解三角形的应用问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边和角的大小，从而得出实际问题的解．
[例5] (2009·辽宁卷)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，
≈1.414， ≈2.449)．
分析：本题考查了应用三角形知识求解实际问题的能力．求解此类解三角形问题首先要能够读懂题意，分析清楚题意，要能够将实际问题转化为数学问题，即解三角形问题．在具体求解过程中要能够明确三角形中的边角关系，同时要注意多解情况和计算的准确性．
解析：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1，
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.
[变式训练5] 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
课题 §1.1数列的概念与简单表示法
课型 新授课 课时 2 备课时间
教学目 标 知识与技能 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系
过程与方法 经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观 通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项
难点 理解递推公式与通项公式的关系
教学方法
教学过程Ⅰ.课题导入[复习引入] 数列及有关定义Ⅱ.讲授新课数列的表示方法通项公式法：如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。图象法递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题． 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下： 第1层钢管数为4；即：14＝1+3 第2层钢管数为5；即：25＝2+3 第3层钢管数为6；即：36＝3+3 第4层钢管数为7；即：47＝4+3 第5层钢管数为8；即：58＝5+3 第6层钢管数为9；即：69＝6+3 第7层钢管数为10；即：710＝7+3若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即；；依此类推：（2≤n≤7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为4、列表法．简记为 ．例3 设数列满足写出这个数列的前五项。例4已知， 写出前5项，并猜想． Ⅲ.课堂练习课本P36练习2[补充练习]1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；(2) ＝1, ＝ (n∈N)；(3) ＝3, ＝3－2 (n∈N).Ⅳ.课时小结本节课学习了以下内容：1．递推公式及其用法；2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.Ⅴ.课后作业习题2。1A组的第4、6题
教学反思
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2．1 一元二次不等式的解法
一、一元二次不等式
形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫做①________.
友情提示：上面的不等式中，当②________时，就转化为一元一次不等式bx＋c>0(≥0)或bx＋c<0(≤0)(其中b≠0), 其解的情况如下：
一般地，设y＝ax＋b与x轴交点是(x0,0)，即ax＋b＝0的解为③________.当a>0时，ax＋b>0的解集为④________，ax＋b<0的解集为{x|x0的解集为⑤________，ax＋b<0的解集为⑥________.
二、一元二次不等式的解和解集
一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个⑦________.一元二次不等式所有的解组成的集合，叫做这个⑧________.
三、一元二次不等式一般解题步骤
一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
(1)确定对应方程⑨________的解；
(2)画出对应函数⑩________的图像简图；
(3)由 ________得出不等式的解集．
对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似 ________时的解题步骤求解；也可以先把它化成 ________的一元二次不等式，再求解．
友情提示：(1)课本中给出一元二次不等式解的形式是在a>0，Δ>0的情况下，若 ________，应将不等式两边同乘－1化为二次项系数大于零再求解．
(2)ax2＋bx＋c＝0(a>0)，若其判别式Δ＝0，则方程有两相等实根，此时不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 ________；不等式ax2＋bx＋c<0的解集为 ________.
若其判别式Δ<0，则方程无实数根，此时不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 ________；不等式ax2＋bx＋c<0的解集为 ________.
四、一元二次不等式与相应函数方程的关系
(3)对于ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)求解时，若相应方程有两个不相等实数根，可记住口诀________.
一、解二次不等式时应注意哪些问题？
1．解一元二次不等式时，首先考虑对应二次方程，根据二次项系数的符号确定不等式解集的形式，当然还要考虑二次方程根的大小．
2．对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，常用口诀是：大于取两边，小于取中间．即：你只要记住一个前提：a>0和四句话：根上等于零，根间小于零，根外大于零，无根大于零．
3．解一元二次不等式具体过程是：(1)把二次项的系数变为正的(如果是负，那么在不等式两边都乘以－1，把系数变为正)；(2)解对应的一元二次方程(先看能否因式分解，若不能，再看Δ，然后求根)；(3)求解一元二次不等式(根据一元二次方程的根及不等式的方向)．
4．一元二次不等式的解集与二次函数的图像、一元二次方程的根密切联系，解一元二次不等式要从函数、方程、不等式的统一角度来认识，利用数形结合的方法，画出二次函数的图像，写出不等式的解集．含有参数的不等式要注意分类讨论．分式不等式、高次不等式要注意同解变形，向一次、二次不等式转化．
二、含参数的不等式恒成立问题与一元二次不等式和一元二次函数有着紧密的联系，那么解决恒成立问题的方法有哪些？
含参数的不等式恒成立求参数的取值范围的实质是已知不等式的解集求参数的取值范围．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍解决这类问题的策略和方法：
(1)分离变量法
对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题．
一般地分离变量后有下列几种情形：
①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)
②f(x)>g(k) [f(x)]min>g(k)
③f(x)≤g(k) [f(x)]max≤g(k)
④f(x)(2)数形结合
对于含参数的不等式恒成立问题，当不等式两边的函数图像形状明显，我们可以作出它们的图像，利用图像直观和运动变化的观点进行转化，化归为某一极端情形如端点、相切等，从而得到关于参数k的不等式．
(3)分类讨论法
当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件．
(4)利用判别式
可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解．
总之，利用不等式求解含参数不等式恒成立问题的方法是：先设法确定参数的取值范围，再说明端点是否能够实现，从而准确地得到参数的取值范围．
以上介绍了不等式恒成立求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种或两种以上的方法，应灵活处理．
三、有些问题不是直接解不等式而是已知含有参数的二次不等式或者方程的解，求另一与此有关的方程或者不等式问题，那么在解决这类问题中主要考虑哪些方法和技巧？
在解决变量系数相关的二次不等式(或方程)问题时可以从以下几个方面考虑：
(1)利用二次方程根与系数的关系：二次方程根与系数的关系也叫韦达定理，它在解决二次方程相关系数问题中可以起到桥梁的作用，可以沟通已知和待求问题之间的联系．所以，在利用代数方法求解此类问题时首先可以考虑此法；
(2)利用二次函数的图像数形结合：有些问题用纯代数式的运算比较麻烦或者计算量较大，可以考虑与二次函数的关系，根据条件设出对应的二次函数，画出二次函数的图形，由图形(主要是二次函数与x轴的交点)情况判断待求问题的解，也可以根据图形直接解不等式(尤其是含有参数或者绝对值的不等式)．
(3)分解因式法：有些虽然不是二次方程或者不等式，虽然变量的系数含有字母，但是却能进行因式分解，这样可以先考虑因式分解，把已知或者待求式子先进行因式分解找出作为方程的解，再对解的情况进行讨论即可.
会求解一元二次不等式是基本数学技能，在求解过程中结合对应的一元二次方程与函数图像求解，是求解一元二次不等式的基本方法．
[例1] 解不等式3x2＋5x－2>0.
[变式训练1] 解不等式：x2>2x－1.
解析：原不等式化为x2－2x＋1>0.
∵Δ＝0，∴方程x2－2x＋1＝0有两相等实根x1＝x2＝1.
函数y＝x2－2x＋1的图像是开口向上的抛物线，如下图
观察图像可得，原不等式的解集为{x|x≠1}．
[例2] 已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
[变式训练2] 若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
分析：本题已知一元二次不等式的解集，求参数的取值范围，是对一元二次不等式解法的逆向考查，可结合相应的二次函数的图像解题．
解析：由x2－ax－a>0恒成立，得y＝x2－ax－a的图像都在x轴上方，与x轴无交点，所以Δ＝(－a)2－4(－a)×1<0，解得－4x2－ax－a≤－3，即x2－ax－a＋3≤0.它的解集不是空集，则y＝x2－ax－a＋3的图像与x轴有交点，所以Δ＝(－a)2－4×1×(－a＋3)≥0，解得a≤－6或a≥2.
答案：(－4,0)；(－∞，－6]∪[2，＋∞)
应对系数中的参数进行讨论：
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向．
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的个数．
(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．
简记为“一a，二Δ，三两根大小”．
最后对系数中的参数进行完全分类，即将(－∞，＋∞)分成若干个区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集．
[例3] 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
解析：原不等式可变形为(x－a)(x－a2)>0，
则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2.
当a<0时，有aa2，
此时原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a2，即xa，
此时原不等式的解集为{x|xa}；
当a>1时，有a2>a，即xa2，
此时原不等式的解集为{x|xa2}；
当a＝0时，有x≠0；
∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＝1时，有x≠1，
此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．
综上可知：当a<0或a>1时，
原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
[变式训练3] 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.
解析：原不等式变形为(x－2a)(x＋a)<0.
①若a>0，则－a②若a<0，则2a③若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为 .
[变式训练4] 若关于x的一元二次不等式mx2＋8mx＋21<0的解集是(－7，－1)，求实数m的值．
解析：由解集为(－7，－1)得m>0，
方程mx2＋8mx＋21＝0的两根为－7，－1.
解法1：将x＝－1代入mx2＋8mx＋21＝0，得m＝3.
解法2：利用韦达定理得(－7)×(－1)＝ 所以m＝3.
[例5] 已知关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋(3＋a－2a2)<0的解集中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示该不等式的解集．
解析：把x＝0代入不等式得，3＋a－2a2<0，
即2a2－a－3>0，∴a<－1或a>，
由2x2＋(3a－7)x＋(3＋a－2a2)<0，
得2x2＋(3a－7)x－(a＋1)(2a－3)<0，
即[2x－(a＋1)][x＋(2a－3)]<0.
[变式训练5] 如果ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，那么对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c应有 ( )
A．f(5)B．f(2)C．f(－1)D．f(2)解析：由ax2＋bx＋c>0的解集形式知a>0，故f(x)＝ax2＋bx＋c图像开口向上，另外由其解集为{x|x<－2或x>4}知ax2＋bx＋c＝0有两根－2和4，由韦达定理知其对称轴为x＝1，结合以上知识便可求解，得f(2)答案：D
[例6] 不等式(a＋1)x2＋ax＋a>0对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
[变式训练6] 不等式ax2＋ax＋a－1<0，对任意实数x都成立，求实数a的取值范围．
一元二次不等式问题涉及知识较多．如函数图像知识，函数的奇偶性、单调性等知识均与其解法密切相关．因此，熟练掌握数学知识中的各个环节，提高掌握数学知识的综合实力，是掌握好本节知识的有力保障．
[例7] 已知奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则不等式(x－1)·f(x－1)>0的解集为 ( )
A．{x|－3B．{x|－1C．{x|－33}
D．{x|－32}
答案：B
[变式训练7] 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为{x|－3( )
解析：由题意可知，函数f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，其图像为开口向下的抛物线，与x轴的交点是(－3,0)，(1,0)，又y＝f(－x)图像与f(x)的图像关于y轴对称，故只有B符合．
答案：B本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
课题 §3.2.2一元二次不等式及其解法第2课时
课型 新授课 课时 备课时间
教学目 标 知识与技能 巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；
过程与方法 培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
情感态度与价值观 激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想
重点 熟练掌握一元二次不等式的解法
难点 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
教学方法
教学过程1.课题导入1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格2.讲授新课[范例讲解]例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h，根据题意，我们得到移项整理得：显然 ，方程有两个实数根，即。所以不等式的解集为在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到移项整理，得因为，所以方程有两个实数根由二次函数的图象，得不等式的解为：50教学反思
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1.1.2 数列的函数特性
本节教材分析
本节课的设立，以利于学生重视用函数的思想方法来学习和研究数列，把数列融于函数之中.本节内容对全章的学习有着指导作用，因为本章对数列内容的处理，始终将函数作为主线贯穿其中，突出了函数思想、数学模型以及离散与连续的关系. 由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展 递推是数学里的一个非常重要的概念和方法 在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式 但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担 考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了
三维目标
1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3．理解数列的前n项和与 的关系；
4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.
教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项
教学难点：理解递推公式与通项公式的关系
教学建议：
教学时先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，运用数形结合思想向学生渗透讲解，教法设计上力图展示：教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念，让学生在探究活动中体会到数学的实用价值和文化价值.
新课导入设计
导入一: (复习导入）上节课我们研究了数列的通项公式，让学生写出数列0，2，4，6，8，…的通项公式.学生写出通项公式后，教师进一步启发，与函数有什么关系？你能用图像直观表示这个数列吗？由此展开课题.
导入二：（情景导入）让学生每个人根据自己的出生年月，写出2000---2007年各人的年龄（按周岁计算），这样学生每人得到一个数列.然后教师进一步提问，你能用图在坐标系中直观地表示你的年龄组成的数列吗？在学生兴趣盎然的探究中引入课题.
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3.2.2 一元二次不等式的应用
本节教材分析
一元二次不等式的应用主要体现在两个方面，一是在数学上的应用（例9、例10、例11），一是在实际中的应用（例12）.这一节的设置，注重“转化”思想的渗透，例10和例11均体现了知识之间的转化.例12是一元二次不等式在实际生活中的应用，进一步体现了数学和生活的紧密关系.
三维目标
1．知识与技能：巩固一元二次不等式的解法；进一步研究一元二次不等式的应用。
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想
教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法，初步掌握分式不等式及简单高次不等式的解法。
教学难点: 分式不等式及简单高次不等式的解法的理解。
教学建议：
教学过程要充分体现教为主导，学为主体，思维训练为主线的新课标理念.要注重学生的探究，注重思想方法的提炼，课堂尽量设置成问题课堂，这样可以最大限度的训练学生的思维能力.其次，可以利用信息技术加大知识容量.
新课导入设计
导入一:[直接导入] 上一小节我们讨论了一元二次不等式的解法，本小节我们进一步研究一元二次不等式的应用。
导入二：[问题导入]由于本节安排的第一个例题（即课本例9）体现了一元二次方程的解之间的转化关系，与前面学习的“三个二次”之间的关系类似.因此，可从学生探究该例引入新课.
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1．1 不等关系
1．2 比较大小
一、不等关系
在数学意义上，不等关系可以体现：
①________之间的不等关系；
②________之间的不等关系；
③________之间的不等关系；
④________之间的不等关系．
二、比较大小
1．任意两个实数a，b都能比较大小：
如果a－b>0，那么⑤________；
如果⑥________，那么a如果a－b＝0，那么⑦________.
友情提示：事实上，以上三组条件与结论反过来也是成立的. 即a－b>0 ⑧________；a－b＝0 ⑨________；a－b<0 ⑩________.
2．比较实数大小的方法．
比较两个实数a与b的大小，需归结为判断它们的差a－b的 ________(注意：这里指差的符号，至于差的值究竟是什么，无关紧要)．
三、不等式的性质
1．若a>b，则 ________；
2．若a>b，c>0，则 ________；
3．若a>b，c<0，则 ________.
4．不等关系的传递性：如果a>b，b>c，那么 ________.
友情提示：(1)要特别注意性质2、3中 ________的符号，因为 ________的符号相异，结论恰好相反．
(2)所有性质中的a和b可以是 ________，也可以是 ________.
答案：
①常量与常量 ②变量与常量 ③函数与函数 ④一组变量 ⑤a>b ⑥a－b<0 ⑦a＝b ⑧a>b ⑨a＝b ⑩ab＋c ac>bc acc c c 实数 式子
1.不等式与等式之间主要有哪些异同？
不等式与等式是生活、生产实践中最常见的关系式，其相异的性质主要在与数相乘时，不等式两边乘(除以)的数的符号不同时，结论不同；而等式则不然．等式与不等式的性质对比如下表：
2.不等式的证明或比较实数大小有哪些方法及注意事项呢？
证明一个不等式和比较实数的大小一样，根据题目的特点可以有不同的证明方法．
(1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法，但是它们又有自己的适用范围，对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决：
①一般的实数大小的比较都可以采用作差法，但是我们要考虑作差后与0的比较，通常要进行因式分解，配方或者其他变形操作，所以，作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系．
(2)在证明不等式时还可以利用已经证明的结论，或者利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式变成简单易于比较大小的形式，再比较大小得出结论，需要注意的是，有些结论的递推是双向的，而有些是单向的，例如，不等式性质中的对称性就是双向的，而传递性就是单向的，在不等式两边同乘一个数或式子的时候，必须先判断要乘的数或式子的符号，决定相乘后是否改变符号．
(3)有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反证法进行证明，具体可以根据课本对性质4的推论3的证明方法和步骤，它可以把难以从正面说明的问题转化为其反面进行说明.
[例1] 对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：
(1)若a>b，则ac>bc；
(2)若a>b，则ac2>bc2；
(3)若aab>b2；
(4)若a(5)若a解析：(1)因未知c的正负或是否为零，无法确定ac与bc的大小，所以是假命题；
(2)因为c2≥0，所以只有c≠0时才能正确．c＝0时，ac2＝bc2，所以是假命题；
变式：若ac2>bc2，则a>b，此命题是真命题；
(3)aab；ab2，命题是真命题；
[变式训练1] 如果a>b，则下列各式正确的是( )
A．a·lgx>lgx·b(x>0)
B．ax2>bx2
C．a2>b2
D．a·2x>b·2x
解析：对于A：当x>0时，lgx∈R，当lgx≤0时，a·lgx>b·lgx(x>0)不成立，故应排除A；
对于B：∵x∈R，当x＝0时，ax2＝bx2，
∴ax2>bx2不成立，故应排除B；
对于C：∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，又由a>b可知a－b>0，但是a＋b的符号是不确定的，因此a2>b2不成立，故应排除C；
对于D：由指数函数的性质可知，2x>0，
又∵a>b，∴a·2x>b·2x成立，故选择D.
答案：D
实数(或式)比较大小的依据是a>b a－b>0；a＝b a－b＝0；a0，b>0时， >1 a>b)．
方法步骤是作差(商)——变形——判断大于或小于零(大于1或小于1)．关键是变形，变形的目的在于便于判断正负．常见的变形有因式分解、配方等．
[例2] 已知x>1，比较x3＋6x与x2＋6的大小．
解析：∵(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6
＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)，
∵x>1，∴(x－1)(x2＋6)>0，∴x3＋6x>x2＋6.
[变式训练2] 设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．
[例3] 比较aabb与abba(a、b为不相等的正数)的大小．
[变式训练3] 若m>0，比较mm与2m的大小．
[例4] 已知a>0，试比较a与 的大小．
[变式训练4] 已知a，b均为正数，n∈N*，比较(a＋b)(an＋bn)与2(an＋1＋bn＋1)的大小．
解析：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)
＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝abn＋anb－an＋1－bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)，
∵a、b∈R＋，n∈N*，且n≥1，
∴①当a>b>0时，a－b>0，bn∴(a－b)(bn－an)<0.
②当b>a>0时，a－b<0，bn>an.
∴(a－b)(bn－an)<0.
③当a＝b>0时，a－b＝0.
所以(a－b)(bn－an)＝0.
综上所述，(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)≤0.
即(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn－1)．
[例5] (一题多解)求证： a>b.
分析：本题可以用比较法证明；也可以用不等式性质得到证明．
[变式训练5] 已知a>b，cb－d.
证明：证法1：由a>b知a－b>0，由c0，
∵(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)>0，
∴a－c>b－d.
证法2：∵c－d.
又∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d.
[例6] 求下面题目中 的取值范围．
(1)m>－3；(2)m>2；(3)－3答案：①②④
[例7] 设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
分析：本题是关于x的一元二次函数，可以利用换元法来求解．在求解时一定要注意已知条件中a、b的关系，准确把握a、b的取值范围，否则容易出错．下面我们再用一种新的方法——待定系数法来求解．
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
[例8] 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则 ( )
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
分析：用路程＝速度×时间，求甲、乙两人所用的时间，再用比较法求解．
答案：B
[变式训练8] 甲、乙两水果商先后分别两次从某地购进水果，甲商每次购20000斤，乙商每次购2万元，若两次购进的价格不同，试判断甲、乙两人谁的购买方式合算(即平均单价低)．
分析：先求出两人两次的平均单价，再用比较法解．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
同步检测训练
一、选择题
1．不等式x2<3x的解集为( )
A．{x|x>3} B．{x|x<0或x<3}
C．R D．{x|0解析：x2<3x x2－3x<0 x(x－3)<0 0答案：D
2．不等式(x＋2)(1－x)>0的解集是( )
A．{x|x<－2或x>－1} B．{x|x<－1或x>2}
C．{x|－2解析：不等式(x＋2)(1－x)>0，
同解于(x－1)(x＋2)<0.
∵相应方程(x－1)(x＋2)＝0的两根为x1＝1，x2＝－2，
∴(x－1)(x＋2)<0的解为－2即原不等式(x＋2)(1－x)>0的解集为{x|－2答案：C
3．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－2,2]
C．(－2,2) D．(－∞，2)
解析：当a＝2时，－4<0，对一切x∈R恒成立；
当a<2时，Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)<0 4(a－2)(a＋2)<0 －2∴－2答案：B
4．集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}，B＝{x|x2－5x＋6>0}，则A∩B＝( )
A．{x|1≤x<2或3B．{x|1≤x<2且3C．{1,2,3,4}
D．{x|－4≤x≤－1或2≤x≤3}
解析：A＝{x|x2－5x＋4≤0}＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x<2或x>3}，∴A∩B＝{x|1≤x<2或3答案：A
5．已知二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－2、3，a>0，那么ax2－bx＋c>0的解集是( )
A．{x|x<－2或x>3} B．{x|x<－3或x>2}
C．{x|－2解析：由题意知
∴b＝－a，c＝－6a，∴不等式ax2－bx＋c>0化为ax2＋ax－6a>0，即x2＋x－6>0.方程x2＋x－6＝0的两根是－3和2，不等式的解集是{x|x<－3或x>2}，故选B.
答案：B
6．函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，) B．[0，)
C．(，＋∞) D．(－，)
解析：由题知mx2＋4mx＋3＝0无解，
(1)当m＝0时，3≠0，∴符合题意；
(2)当m≠0时，Δ＝16m2－4m×3＝16m2－12m<0，
即0答案：B
7．设集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|x2－a2>0}，若A∩B＝ ，则a的取值范围为( )
A．{a|a≥6} B．{a|a>6}
C．{a|a≤－6或a≥6} D．{a|a≤－6}
解析：A＝{x|－1当a>0时，B＝{x|x>a或x<－a}，若A∩B＝ ，a≥6；
当a<0时，B＝{x|x>－a或x答案：C
8．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－A．14 B．－10
C．10 D．－14
解析：由
∴a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14，故选D.
答案：D
9．二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数的条件是( )
A. B.
C. D.
解析：即与x轴无交点，当时成立，故选B.
答案：B
A．－1C．－解析：应用新运算，可得(x－a)?(x＋a)＝(x－a)·[1－(x＋a)]＝－x2＋x－a＋a2<1恒成立．即x2－x＋a－a2＋1>0恒成立，则Δ＝1－4(a－a2＋1)＝4a2－4a－3＝(2a－3)·(2a＋1)<0.
解得 －答案：C
二、填空题
11．a<0时，不等式x2－2ax－3a2<0的解集是________．
解析：∵x2－2ax－3a2＝0，∴x1＝3a，x2＝－a.
又a<0，故3a<－a.
∴不等式的解集为{x|3a答案：{x|3a12．关于x的不等式ax2－2ax＋2a＋3>0的解集为R，则实数a的取值范围为________．
解析：当a≠0时，由题意得
即
解得a>0.
当a＝0时，恒有3>0，不等式也成立，故a的取值范围是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
13．不等式x2＋x＋<0的解集是________．
解析：∵Δ＝1－4×＝－2<0，且二次项系数1>0，∴x2＋x＋<0的解集为 .
答案：
14．设a>0，a≠1.函数f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集为________．
解析：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2有最小值2，
∴lg(x2－2x＋3)有最小值lg2.根据题意有0∴loga(x2－5x＋7)>0，即0答案：(2,3)
三、解答题
15．已知A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|2x＋a<0}，A∩B＝B，求实数a的取值范围．
解析：A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|x<－}，
若A∩B＝B，则有－≤－1，所以a≥2.
所以a的取值范围为[2，＋∞)．
16．方程x2－(k＋1)x＋2k－1＝0的两根一个大于1，另一个小于1，求k的取值范围．
解析：解法1：利用判别式、韦达定理．
令方程x2－(k＋1)x＋2k－1＝0的两根为x1，x2，且x1<1，x2>1，
则
k<1.
解法2：图像法
令f(x)＝x2－(k＋1)x＋2k－1，它与x轴的两交点为x1，x2，x1<1，x2>1，如右图所示．
由图可得
k<1.
所以k的取值范围为(－∞，1)．
17．已知A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x2＋2x－3>0}，C＝{x|x2－3ax＋2a2<0}．试确定a的取值范围，使C (A∩B)．
解析：A＝{x|－21}，∴A∩B＝{x|10时，C＝{x|a∴解得1≤a≤2.当a＝0时，C＝ ，满足条件；当a<0时，C＝{x|2a18．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像过点(1,0)，是否存在常数a、b、c，使不等式－x≤f(x)≤(1＋x2)对一切实数x都成立？若存在，求出a、b、c.若不存在，则说明理由．
解析：假设存在常数a、b、c满足题意，由于－x≤f(x)≤(1＋x2)对一切x∈R成立．∴当x＝－1时，则有1≤f(－1)≤1，又f(－1)＝a－b＋c，∴a－b＋c＝1.又f(1)＝a＋b＋c＝0，∴a＋c＝，b＝－.又∵f(x)≥－x时x∈R都成立，即ax2－x＋－a≥－x ax2＋x＋－a≥0的解集为R，∴a>0且Δ≤0 a>0且(2a－)2≤0，∴a＝，c＝.又x2－x＋≤(1＋x2)恒成立，故存在这样的常数a、b、c，其中a＝c＝，b＝－满足题意．
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数列的函数特性
四川省大竹中学 徐天顺
数列可以看作是一个定义域为N*（正整数集）或它的有限子集{1，2，3，…，k}的函数（“离散型”函数），当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。数列的通项公式an=f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列的离散的点。
数列作为一种特殊的函数，具有函数的本质属性，我们称之为数列的函数特性，即用函数的观点来理解数列，解决数列中的某些问题。事实上，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征。作为特殊的函数，数列是函数概念的继续和延伸。另外，数列与函数的整合也是当今高考命题的重点与热点，因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们间的内在联系，从而有效地学好数列问题。因此，学完《数列》后，一方面要用函数的观点加深了解数列，拓展我们的知识,提升我们的能力；另一方面也为今后学习高等数学中有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。
一、以函数观点为切入点 深刻认识数列问题
1、关于等差数列{an}
（1）通项公式an=a1+(n-1)d,可以写成an=dn+(a1-d)。它是n的一次函数，以（n,an）为坐标的一群离散点均匀地分布在直线上。当d>0时， {an}数列递增；当d<0时， {an}数列递减；当d=0时，{an}为常数数列。
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(2)求和公式Sn=na1+d,可以写成Sn= n2+(a1-)n,它是n的二次函数（缺常数项），它的图象是过原点的抛物线上的一群孤立点。
2、关于等比数列{an}
很明显，若>0,当q>1时， {an}数列递增；当0通项公式an=a1qn-1,可以写成an= ·qn(n∈N*)。
当q>0且q≠1时，y= qx(x∈R)是指数函数，而y=· qx(x∈
R)是一个不为0的常数与指数函数的积，因此an= ·qn(n∈N*)
的图象是函数y= ·qx(x R)的图象上的一群孤立点。
二、以函数概念为载体，合理消化数列问题
例1
想一想
三、以函数图象为工具，直观简化数列问题
设计意图：函数图象是函数特征的直观体现，利用图象解决数学问题（以形助数）是我们在解决问题中经常采用的手段。在数列中，我们可以利用等差数列通项公式、前n项和公式及等比数列的通项公式中展示的图象关系来解决问题，常常会起到意想不到的效果。
9
●
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发现
发现
四、以函数性质为手段，有效分化数列问题
函数性质是函数特征的显性反映，深入挖掘并利用函数的性质可以大大简化解题过程，收到较好的解题效果。如函数的单调性等性质在数列中应用很广泛，通过下面这些问题的分析，不但可以使我们进一步巩固函数的性质，而且可以拓宽解决数列问题的视野。
例4 已知数列的通项公式为an=n2－10n＋10．这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正值？数列中是否还存在数值与首项相同的项？ (教材第一册(上)第151页B组第2题)
解 表示数列{an}的各点都在函数y=x2－10x＋10的图象上．
由图5可得，这个数列从第5项起各项的数值逐渐增大，从第9项起各项的数值均为正值，第9项是与首项相同的项．
设计意图:此题意在寻找递增数列的条件，通过转化归结为恒成立类型的问题，再利用函数的单调性求出最小值，从而得到结果。
五、以构造函数为途径，巧妙转化数列问题
构造函数解决数学问题是函数思想中的中心所在，其实质是把所求问题转化为以函数背景的问题，再利用函数的有关概念、图象、性质来帮助解决，这样有利于培养学生的数学思想方法与解题能力。
分析：本题主要是考查对数、不等式、数列等基础知识，推理能力以及分析问题和解决问题的能力。
(1)证明：设 的公比为 ,由题设条件设
①当时 ，从而
②当时 ，从而
由①，②知，
根据对数函数的性质知
（2）解：要使 成立，则有
①
②
①当时 ，从而
由此可知：不满足条件①，即不存在常数c>0，使结论成立
②当时 ，若条件①成立，因
且 ，故只能有
即
此时，
但 时，
不满足条件②，即不存在常数c>0,使结论成立.
综合①②,即不存在常数c>0,使结论成立.
天才在于勤奋，聪明在于积累.让我们日积月累，搭几级通往成功的阶梯.
六、把握数列的函数特性 辨析函数与数列联系与区别
通过上述几例的分析与说明，我们发现，利用函数的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系， 通过数列与函数知识的相互交汇，把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，渗透了函数思想；从而有效地分解数列问题。同时也使我们的思维能力得以不断发展与提高。另外，对上述问题还有许多其它的解法，课后去发现、探究。
数列的通项并不能用我们熟悉的函数把它们联系起来，这时可以通过研究数列的单调性帮助我们求得数列的最值。一般地，函数单调性的判断过程为：在给定区间D内任取x1（2）已知｛an｝是递增数列，且对任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
A． （ ，+∞） B．（0，+∞）?
C．（－2，+∞） D．（－3，+∞）
例７：
（1）已知函数 在区间[1， +∞）是增函数，则实数λ的取值范围是（ ）
A． （ ，+∞） B．（0，+∞）
? C．（－2，+∞） D．（－3，+∞）
练习：若数列{an}的通项公式为an=－n2＋7n(n∈N*)，求an的最大值，并与函数y=－x2＋7x(x∈R)的最大值作比较
解： 作出函数y=－x2＋7x(x∈R)的 图象．
从图象上看，表示数列{an}的各点都在抛物线y=－x2＋7x(x∈R)上，由图象得
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说明 经比较发现数列{an}与函数y=－x2＋7x(x∈R)在不同的地方取到不同的最大值，这是由于两者的定义域不同所造成的．
课堂小结
本节课通过六个方面学习了数列的函数特性，我们利用函数的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了数列和函数它们间的内在联系，通过数列与函数知识的相互交汇，把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，渗透了函数与方程、数形结合的数学思想；从而有效地解决数列问题。同时也看到函数与数列由于定义域的不同解题方法有本质的不同，使我们的视野拓宽了，解题能力和思维能力得到了不断发展与提高。
知识·方法·思想
作业：
探索是数学的生命线，创新是一个民族的灵魂！
２、书面作业
１、认真阅读教材
３、课后探究题
作业巩固
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等比数列的前ｎ项和 同步练习
例题分析：
例1．若数列的通项为，则该数列的前n项和是多少？
例2． 已知等比数列的各项均为整数，它的前n项和为80，其中最大的一项为54，又前2n项和为6560，求此数列的通项公式。
练习
1．在等差数列中，已知,则前9项之和等于 ( )
A．56 B．64 C．72 D．80
2．在递增的等比数列中，，，则（ ）
A．-364 B．364 C．108 D．243
3．数列的前项和，则（ ）
A．1385 B．-99 C．69200 D．1399
4．已知等差数列{}的公差＝，，则等于（ ）
A．120 B．145 C．150 D．170
5．等差数列中，，，则此数列前n项和的最大值是 （ ）
A．112 B．116 C．117 D．115
6．等差数列中，已知则 的值等于 （ ）
A．11 B．14 C．17 D．22
7．在等比数列中，，，则（ ）
A．90 B．70 C．40 D．30
8．数列的前n项和是（ ）
A． B． C． D．
9．数列前n项和为,则其通项____________。
10．等差数列中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且前n项和为187, 则__。
11．等差数列中，，它的前11项的平均值为5，若从中抽取1项，余下10项的平均值为4，则抽取的是第 项。
12．设数列的通项为，前项和为，则下列说法中：①若，则为等差数列；②若，则为等比数列；③若，则为等差数列；④若，则为等比数列；正确的有 。
13．求； 14．；
15．在等差数列中，为其前n项和，首项，且，问此数列前多少项的和最大？
16．假设A型汽车的关税税率在2001年是100%，到2006年是25%，2001年A型进口车每辆的价格为64万元（其中含32万元关税税款）
（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2001年每辆46万元，若A型车的价格只受关税影响，为了保证在2006年B型车的价格不高于A型车的90%，B型车的价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少元？
（2）某人在2001年将33万元存如银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%，按复利计算，那么5年到期时这笔钱连本带息够不够买一辆B型车？
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第03讲：二元一次不等式组与简单线性规划问题
高考《考试大纲》的要求：
① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组
② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组
③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决
（一）基础知识回顾：
1.二元一次不等式表示的平面区域：直线l: ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分：
（1）直线l上的点（x,y）的坐标满足 ax+by+c=0
（2）直线l一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标都满足 ax+by+c>0
（3）直线l另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足 ax+by+c<0
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0 , y0）,从a0x+b0y+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域。
2.线性规划：如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作二元线性规划问题。其中，满足约束条件的解(x,y)称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域，使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解。
3.线性规划问题应用题的求解步骤：（1）先写出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；
（2）作出相应的可行域； （3）确定最优解
（二）例题分析：
例1．（2008安徽文）若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为 ( )
A． B．1 C． D．5
例2. (2007安徽文)如果点P在平面区域上，点O在曲线上，
那么最小值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
例3、（2006上海文）已知实数满足，则的最大值是_________.
（三）基础训练：
1、(2008海南、宁夏文)点P（x，y）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到
坐标原点距离的取值范围是（ ）
A. [0，5] B. [0，10] C. [5，10] D. [5，15]
2.(2008全国Ⅰ卷文、理)若满足约束条件
则的最大值为 ．
3．（2007辽宁文、理）已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（ ）
（A）a<-7或a＞24 （B）-7（C）a=7或a=24 （D）-245.（2007山东理）设D是不等式组表示的平面区域，
则D中的点P（x,y）到直线x+y=10距离的最大值是 .
6.（2006湖南文、理）已知则的最小值是 .
7.（2004江苏）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.
某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
8.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：
类 型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 1 2 1
第二种钢板 1 1 3
每张钢板的面积,第一种为,第二种为,今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？
参考答案
第03讲：二元一次不等式组与简单线性规划问题
（二）例题分析： 例1．C; 例2. A; 例3、___0_____.
（三）基础训练： 1、B; 2. 9 ; 3.A; 4. B; 5.; 6. 5 ;
7.解：设分别对甲、乙两个项目投资x万元、y万元，则x≥0,y≥0,且
，设 当时，取最大值7万元
8.解：设用第一种钢板x张, 第二种钢板y张，依题意得
,求目标函数为的最小值， 列表得
从表中可知，当x=6,y=7;或x=4,y=8时，有最小值，最小值是20。
答：当两种钢板分别截6，7快，或者4，8快时,可得所需三种规格成品,且使所用面积最小。
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数学导学案设计
第三章第 节 课题名称 一元二次不等式的解法（2）
学习目标 掌握一元二次不等式含参数的解法
重点难点 参数的讨论
学习过程与方法 自主学习：不等式的解集是 探究问题：解关于的不等式此方程是否有解？若有，分别为 ，其大小关系为 能否根据其图像写出其解集
2.精讲互动：例1.设关于的不等式的解集是，求例2. 若，求的取值范围 例3若关于的不等式的解集是空集，求的取值范围①若解集是非空②若解集是一切实数的取值范围又是什麽？
3达标训练：①若方程的两根为2，3，那么 的解集为 ②不等式的解集为，则= ③关于的不等式的解集是空集，那么的取值范围是 ④的解集为则与的值分别为
课堂小结 对含字母的一元二次不等式讨论分为四类①二次项系数是否为零进行分类②若不为零，按其符号进行分类③按判别式符号进行分类④按两根大小进行分类
作业布置 ①是什么实数时关于的方程无实根②解关于的不等式
课后反思
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2．1 等差数列
一、等差数列的定义
1．一个数列{an}，如果从①________起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an＋1－an＝d(常数)，则称这个数列为②________，常数d叫做这个数列的③________.
2．等差中项：如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的④________.
友情提示：对等差数列的理解还需注意以下五点：
(1)如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列；
(2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉；
(3)求公差d时，可以用d＝an－an－1，也可以用d＝an＋1－an来求；
(4)公差d∈R，当d＝0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
(5)d＝an－an－1(n≥2)或d＝an＋1－an是证明或判断一个数列是等差数列的依据．
二、等差数列的通项公式
1．若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是⑤________.
2．若am，an是等差数列{an}的任意两项，则⑥________.
3．等差数列通项公式是n的一次函数或常数，其图像是一条射线上的一群孤立的点，其解析式可以写为⑦________的形式，常记为an＝pn＋q，式中p为公差d，q为a1－d.
4．等差中项公式：a，A，b成等差数列 A＝⑧________.
友情提示：对等差数列通项公式的理解应注意以下四点：
(1)由数列的首项a1与公差，可写出通项公式；
(2)由数列的任意两项，可确定其首项与公差；
(3)由数列的通项公式可求数列的任一项，也可判定某数是否为数列的项；
(4)数列的通项公式可记为an＝pn＋q，可看成是关于n的函数．
三、等差数列的性质
设{an}是公差为d的等差数列，则数列{an}有如下性质：
(1)若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则⑨________.特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m、n、p∈N*)；
(2)当d>0时，{an}是递增数列；当⑩________时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}为 ________；
(3) ________＝ (m，n∈N*)；
(4){kan＋b}是等差数列，公差为 ________；
(5){a2n}是等差数列，公差为 ________；
(6)当{kn}是等差数列时(kn是正整数)，{akn}是 ________；
(7)若{bn}是公差为d′的等差数列，那么{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)也是等差数列，公差为 ________；
(8) ________＝an－k＋an＋k(n≥k＋1)．
四、等差数列的判定和证明
(1)证明方法：定义法，即若一个数列{an}满足 ________，则数列{an}为等差数列．
(2)常见判定方法(充要条件)：若一个数列{an}满足： ________或 ________，则这个数列为等差数列．
答案：
①第2项 ②等差数列 ③公差 ④等差中项 ⑤an＝a1＋(n－1)d ⑥an＝am＋(n－m)d ⑦an＝d·n＋(a1－d)
⑧ ⑨am＋an＝ap＋aq ⑩d<0 常数列 d kd 2d 等差数列 λ1d＋λ2d′ 2an an＋1－an＝d(d是一个与n无关的常数) an＝an＋b(a，b为常数) 2an＋1＝an＋an＋2
1.对于等差数列的定义，我们需要从哪几点去掌握？为什么要强调这几点？
(1)在等差数列的定义中，要注意两点，“从第2项起”及“同一常数”，因为数列的第1项没有前一项，因此强调从第2项起，如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项起或从第4项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项起或第3项起是一个等差数列．
(2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这个常数可以不同，要注意“差是常数”和“差是同一常数”的含义的不同，如数列2,4,5,9，从第2项起，每一项与前一项的差都是常数，但常数是不相同的，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉．
(3)在数列{an}中，如果anan＋1对n∈N＋都成立，那么称{an}是单调递减数列．数列的单调性可以用函数的单调性来刻画．例如，公差不为零的等差数列的单调性与一次函数的单调性相同，当公差大于零，那么这个等差数列是递增数列，当公差小于零，那么这个等差数列是递减数列．
3．等差数列的判定和证明有哪些方法？
判断一个数列是否是等差数列，一般有以下四种方法：
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋) {an}是等差数列．
(2)递推法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋) {an}是等差数列．
(3)性质法：利用性质来判断．
(4)通项法：an＝pn＋q(p，q为常数) {an}是等差数列．
其中(4)主要应用于选择、填空题中，在解答题中判断一个数列是否是等差数列，一般用(1)、(2)、(3)这三种方法，而方法(3)还经常与(1)、(2)混合运用.
判断数列为等差数列的常用方法有两种：
(1)定义法：利用an＋1－an＝常数(n∈N*)，an－an－1＝常数(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项法．
[例1] 如果数列{an}是等差数列，数列{bn}中，bn＝3an＋2.求证：{bn}是等差数列．
分析：要证{bn}是等差数列，即要证bn＋1－bn为常数(n∈N＋)．
证明：∵{an}为等差数列，设公差为d，则an＋1－an＝d(n∈N＋)，
由bn＝3an＋2，得bn＋1＝3an＋1＋2，
∴bn＋1－bn＝3(an＋1－an)＝3d(n∈N＋)是常数．
∴数列{bn}是等差数列．
写出等差数列的通项公式，只需确定它的首项a1与公差d，代入an＝a1＋(n－1)d即得．
[例2] 已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．
(1)a3＝5，a7＝13；
(2)前三项分别为a,2a－1,3－a.
解析：(1)中可设出首项a1与公差d，列方程组求出；
设首项为a1，公差为d.
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴通项公式an＝2n－1.
[变式训练2] 已知数列{an}为等差数列，分别根据下列条件求出它的通项公式．
(1)a3＝5，a7＝13；
(2)前三项为a,2a－1,3－a.
[例3] 设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( )
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：设第二项为a，公差为d，
则前三项为a－d，a，a＋d.
∵{an}为递增数列，∴d>0，故d＝2.
故{an}首项为2.
答案：B
[变式训练3] 数列{an}(n∈N＋)中，若an＋1是an和an＋2的等差中项，则数列{an}是否为等差数列？并证明你的结论．
解析：∵an＋1是an和an＋2的等差中项，
∴an＋1＝ ，即an＋1－an＝an＋2－an＋1，
∴a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝…＝an－an－1＝…
故数列{an}为等差数列．
若{an}是等差数列，且不是常数数列(即公差d≠0)，则对任意正整数m，n，p，q，k，有m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq.
特别地，有2k＝p＋q 2ak＝ap＋aq.
这是等差数列的一个重要性质，有广泛的应用，活用这一性质，往往会给解题带来很大方便．
[例4] 在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列的通项公式．
解析：a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，
又∵a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，
∴a3＋a7＝2a5＝6，①
a3·a7＝－7，②
由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1，
∴a3＝－1，d＝2或a3＝7，d＝－2.
由an＝a3＋(n－3)d，得an＝2n－7或an＝－2n＋13.
[变式训练4] 在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.
解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，
∴a3＋a7＋a4＋a6＋a5＝5a5＝450，
∴a5＝90.又∵a2＋a8＝2a5，
∴a2＋a8＝180.
[例5] 若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
分析：求通项公式，关键在于求出首项和公差．
解得d＝2或d＝－2.
当d＝2时，a1＝1－d＝－1，
an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；
当d＝－2时，a1＝1－d＝3，
an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.
[例6] (1)求证：“{an}是等差数列”的充要条件是“存在常数k和b，使an＝kn＋b对一切n∈N*都成立”；
(2)试问：是否存在等差数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1(n∈N*)？若存在，请求出通项公式，若不存在，请说明理由．
解析：(1)充分性：∵an＝kn＋b，
∴an＋1＝k(n＋1)＋b，
于是an＋1－an＝k(n＋1)＋b－(kn＋b)＝k(常数)，
∴{an}是公差为k的等差数列．
必要性：∵{an}是等差数列，设其公差为k，
∴an＝a1＋(n－1)k＝kn＋a1－k.
取b＝a1－k，于是an＝kn＋b.
(2)假设存在等差数列{an}满足性质an＋1＝a－nan＋1(n∈N*)，
根据(1)可设an＝kn＋b，于是k(n＋1)＋b＝(kn＋b)2－n(kn＋b)＋1，
即(k2－k)n2＋(2bk－b－k)n＋b2＋1－k－b＝0对一切n∈N*恒成立．
由①得k＝0或k＝1，
当k＝0时，代入②得b＝0，不满足③；
当k＝1时，代入②得b＝1，满足③，
所以an＝n＋1，
故等差数列{n＋1}满足性质an＋1＝ －nan＋1(n∈N*)．
[变式训练6] 已知成等差数列的四个数之和为26，第二个与第三个数之积为40，求这个等差数列．
解析：设成等差数列的四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
由题设知
∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
基本不等式
（1）教学目标
(a)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释
(b)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。基本不等式的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质
(c)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力
（2）教学重点、难点
教学重点：基本不等式的证明和几何解释
教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵
（3）学法与教学用具
先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案
投影仪（多媒体教室）
（4）教学设想
1、设置情境
(投影出图3.4-1)同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗
提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为x、y，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
生答：，
提问2：那4个直角三角形的面积和呢？
生答：2xy
提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，2xy。什么时候这两部分面积相等呢？
生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即x=y时，正方形EFGH变成一个点，这时有=2xy
2、新课讲授
（1）一般地，对于任意实数 x、y，我们有，当且仅当x=y时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？
(学生尝试证明后口答,老师板书)
证明: -=, 当时>0 ,当x=y时，等号成立。
所以
即 ，当且仅当x=y时，等号成立。
（2） 设x=,y=,则由这个不等式可以得出下列结论：
如果a,b都是非负数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。
我们称上述不等式为基本不等式，
其中称为a,b的算术平均数，为a,b的几何平均数。因此，基本不等式
又被称为均值不等式。
（3） 基本不等式的一种几何解释。
如图1所示,AB是圆O的直径，AC=a, CB=b,过点C作交圆O上半圆于D，
连接AD，BD，由射影定理可知： D
CD=，而OD=，
因为ODCD
所以
A O C B
当且仅当C于O重合，即a=b时，等号成立。
（4） 应用
例1 设a,b均为正数，证明不等式.
证明 因为a,b 均为正数，由基本不等式，可知
也即，当且仅当a=b时，等号成立。
下面给出这个不等式的几何解释。
D
D
A O C B
如上图，AB是圆O的直径，AC=a, CB=b,过点C作交圆O上半圆于D，
过点C 作于E，
在ＲｔＯＣＤ中，由射影定理可知：
ＤＣ２＝ＤＥＯＤ
即 DE===
由DCDE ，可得
当且仅当a=b时，等号成立。
3.学生思考交流
基本不等式的的几种叙述。 （学生交流完成）
4.课堂练习
课本90页练习题
5.课时小结
1.两个重要的不等式
2.基本不等式的联系和理解
3.对基本不等式和例1及练习题的总结
当且仅当a=b时，等号成立。
6.课后作业
1.课本94页A 组3和B组1题
2.预习3.2节
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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基本不等式的最大最小值问题随堂练习
1、在下列函数中，最小值是的是
且）
2、已知正数满足，则的最小值为
3、若，则的最大值 。
4、设时，则函数的最小值 。
三、解答题
5、为迎接北京奥运会，北京市决定在首都国际机场粘贴一幅“福娃”宣传画，要求画面面积为，左、右各留米，上、下各留米，问怎样设计画面的长和宽才能使宣传画
所用纸张面积最小？
6、函数的值域
7、若是正数，且，则有最 值=
8、已知，则的最小值是 。
9、已知，求的最值及相应的的值。
10、正数、满足则的最小值是
11、 已知函数f(x)满足2f(x)－f( ) = ，则f(x)的最小值是
12、函数若恒成立，则b的最小值为＿
13、函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为
14、已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是
15、若的最大值是 .
16、已知、，且，则的最小值是
17、若直线始终平分圆的周长，则的最小值是
18、求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值
19、若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为
20、已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为
21、已知a>b>0,求的最小值
22、已知a，b，c为正实数，a+b+c=1求证
(1)a2+b2+c2≥
(2)≤6
参考答案
1、 2、 3、 4、
5、解：设宣传画的长、宽分别为、米，则，设纸张面积为，则：
由，即代入上式得，
当且仅当，即时，。
所以宣传画的长为米，宽为米，所用纸张面积最小。
参考答案
1、 2、 3、
4、解：
，，
当且仅当，即时取等号，故当时，有最小值。
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数列的概念及函数特征测试题
A组
一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.数列，的通项公式的是 。
1. 或。提示：写成两种形式都对，an不能省掉。
2. 的一个通项公式是 。
2. 提示：若把换成，同时首项1换成，规律就明显了。其一个通项应该为：
3.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内.
年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65
收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145
舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）88
3.140,85。提示：观察上表规律，收缩压每次增加5，舒张压相应增加3或2，且是间隔出现的，故应填140,85。
4．已知数列，，那么是这个数列的第 项.
4.10.提示：令=，即n2+2n-120=0,解得n=10.
5.已知数列{an}的图像是函数图像上，当x取正整数时的点列，则其通项公式为 。
5. an=.提示：数列{an}对应的点列为(n,an),即有an=。
6.已知数列，，它的最小项是 。
6.2或3项。提示：=2（n-）2-.故当n=2或3时，an最小。
7. 已知数列满足，，则 .
7. 。提示：=，，。
8.如图，图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则 ．（答案用的解析式表示）
8.n×22.提示：f(2)-f(1)=4=1×4, f(3)-f(2)=8=2×4, f(4)-f(3)=3×4,……，猜想4n.
二．解答题(本大题共4小题，共54分)
9.已知满足，，试写出该数列的前项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.
9. 解 ∵,,∴,,,,
注意到：3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，∴猜得。
10.已知数列中，，，通项是项数的一次函数，
①求的通项公式，并求；
②若是由组成，试归纳的一个通项公式.
10.解:设,则,解得,
∴,∴.
又∵,,,,即为5,9,13,17,…,∴.
11.如果一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列。已知等和数列的第一项为2，公和为7，求这个数列的通项公式an。
11.解：∵是等和数列，公和为7，a1=2，∴a2=5,a3=2,a4=5,……，
一般地，a2n-1=2，a2n=5，n∈N*.
∴通项公式an=
12. 已知不等式+++……+>a对于一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围。
解 令f（n）=+++……+，
则f（n+1）-f（n）=+-=->0.
f（n+1）>f（n）, f（n）是递增数列， [f（n）]min= f（2）=。
a<.
备选题：1. 若数列的前5项为6，66，666，6666，66666，……，写出它的一
个通项公式是 。
1.×（10n-1）。提示：注意到＝×，故＝×（10n-1）。
2.设数列则是这个数列的第 项。
2.7.提示：由题设知的通项为，=。
3.已知数列，，()，写出这个数列的前4项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式.
3.解：∵，，∴a2=.同理求得a3=，a4=.
从而猜想an=.
B组
一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1. 数列的一个通项公式是 。
1.提示：观察和对应项数的关系，不难发现
，…，
一般地，
2. 数列的一个通项公式是 。
2. 。提示： 这类题应解决两个问题，一是符号,可考虑（-1）n或（-1）n+1调节，二是分式，分子是n，分母n+1。故.
3.将正偶数按下表排成5列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
…… …… 28 26
则2006在第 行，第 列。
3．第251行，第4列.提示：由题意知每列4个数，1003=4×250+3,故2006在第251行。又由奇数行的特点知应该是第4列。
4.已知{an}是递增数列，且对任意nN+，都有an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是 。
4.。提示：常见的错解：an是一个特殊的
二次函数，要保证在n取自然数时单调递增，只须-1，
即-2。本题错误的原因在于机械地套用了函数的性质，
忽略了数列的离散性的特点。
正解 如图，只要-<,即>-3时就适合题意。
5.观察下列不等式：，，，，，，由此猜想第个不等式为 ▲ .
5. 。提示：本题是归纳推理问题，注意到3=22-1，7=23-1，15=24-1，1=，2=，故猜想：。
点评：归纳推理的关键是找到式子变化的共同点和不同点。
6.若数列{an}满足an+1=则a20的值是
6．.提示：。
∴数列是周期为3的数列，∴.
二．解答题(本大题共2小题，共36分)
7.已知数列{an}中，an=，求数列{an}的最大项.
解:考察函数,因为直线为函数图象的渐近线,且函数在上单调递减，在上单调递减，所以当且最接近15.6且时,最大,故最大,即第16项最大.
8.设向量a =（），b =（）（），函数 a·b在[0，1]上的最小值与最大值的和为，又数列{}满足：．
（1）求证：；
（2）求的表达式；
（3），试问数列{}中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立？证明你的结论.
解 （1）证明：a·b =，因为对称轴 ,
所以在[0，1]上为增函数，。
（2）解：由
得
两式相减得，
当时，
当≥2时，
即
（3）解：由（1）与（2）得
设存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立，
当时，
当≥2时，，
所以当时，，
当时，，
当时，
所以存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立．
备选题：
1. 数列的通项公式是 。
1.an=.提示
……因此，an=.
2.数列{an}满足a1=2，an+1=-，求a2008。
2.解 由an+1=-，得an+2=-=-=-.
an+3= -=-=an，故a2008=a669×3+1=a1=2。
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2．2 等差数列的前n项和
一、等差数列{an}的前n项和公式
一般地，我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝①________.
对于等差数列{an}来说，设其首项为a1，末项为an，项数为n，由倒序相加法可知其前n项和Sn＝②________.这个公式表明：等差数列前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半．如果代入等差数列通项公式an＝a1＋(n－1)d，Sn也可以用首项a1与公差d来表示，即Sn＝③________.
二、等差数列前n项和的常见性质
(1)若在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在⑥________，若在等差数列{an}中，a1<0，d>0，则Sn存在⑦________.
友情提示：若等差数列{an}中a1>0，d<0，且ak>0，ak＋1<0，则Sk为数列{Sn}中的最大值；若ak>0，ak＋1＝0，则Sk＝Sk＋1且均为最大值．若{Sn}存在最小值，则情况与此相似．
(2)等差数列中依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，且公差为⑧________(d是原数列公差)．
(3)项数为偶数2n的等差数列{an}，有
S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)(an与an＋1为中间的两项)；
S偶－S奇＝⑨________； ＝⑩________.
(4)项数为奇数2n－1的等差数列{an}，有
S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)；S奇－S偶＝ ________； ＝ ________.
S奇、S偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和．
(5)等差数列{an}中，若an＝m，am＝n(m≠n)，则am＋n＝ ________.
(6)等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝ ________.
(7)等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝ ________.
(8)若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与S′n，则 ＝ ________.
1.为何课本上在推导前n项和公式时，没有首尾相加而是采用倒序相加法？
对于1＋2＋3＋…＋100＝？可用以下方法计算：
101＝1＋100＝2＋99＝3＋98＝…这样的数共有50对，则50×101＝5050，运用的是等差数列的一个性质．
而对于1＋2＋3＋…＋101＝？将首尾相加：102＝1＋101＝2＋100＝3＋99＝…，这样的数除有50对外，还多了一个中间数51.
2．如何理解等差数列中奇数项和、偶数项和的问题？
(1)当等差数列{an}有偶数项时，设为2n项，
设S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，①
S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，②
①－②得：S偶－S奇＝nd，
①＋②得：S偶＋S奇＝S2n，
(2)当等差数列{an}有奇数项时，设项数为2n＋1，
设S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，③
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，④
③－④得：S奇－S偶＝a1＋nd＝an＋1，
③＋④得：S偶＋S奇＝S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，
此时，当a1＝0，等差数列的各项均是0，则Sn的最大值和最小值都是0；当a1>0，Sn＝f(n)＝a1n是一次函数，并且是增函数，由于函数的定义域是n∈N*，则Sn存在最小值S1，不存在最大值；当a1<0，Sn＝f(n)＝a1n是一次函数，并且是减函数，由于函数的定义域是n∈N*，则Sn存在最大值S1，不存在最小值．
当 ≠0，即d≠0时，则Sn是n的二次函数，要结合二次函数的图像和性质，求得最值．
(2)我们知道有如下的实数运算规律：实数加上负数，越加越小；实数加上正数，越加越大；实数加上0，不变化．
设数列{an}是等差数列，首项是a1，公差是d，则其前n项和是Sn.
当d>0，a1>0时，等差数列{an}中所有项都是正数，则Sn存在最小值S1，不存在最大值；
当d<0，a1<0时，等差数列{an}中所有项都是负数，则Sn存在最大值S1，不存在最小值；
当d>0，a1<0时，由于d>0，该等差数列是递增数列，那么必存在m∈N*，使得
即等差数列中，前m项都是非正数，从第m＋1项开始，以后各项都是正数，则Sn不存在最大值，存在最小值，Sn的最小值是Sm.
当d<0，a1>0时，由于d<0，该等差数列是递减数列，那么必存在m∈N*，使得
即等差数列中，前m项都是非负数，从第m＋1项开始，以后各项都是负数，则Sn不存在最小值，存在最大值，Sn的最大值是Sm.
[例1] 在等差数列{an}中，
(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；
(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
(3)已知a16＝3，求S31.
[例2] 数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N*)．
(1){an}是什么数列？
(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和．
解析：(1)an＝Sn－Sn－1
＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]
＝101－2n(n≥2)．
∵a1＝S1＝100×1－12＝99＝101－2×1，
∴数列{an}的通项公式为an＝101－2n(n∈N*)．
又an＋1－an＝－2为常数，
∴数列{an}是首项为a1＝99，公差d＝－2的等差数列．
(2)令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，
∵n∈N*，∴n≤50(n∈N*)．
①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an，
∴{bn}的前n项和Sn′＝100n－n2.
②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an，
由b51＋b52＋…＋bn
＝－(a51＋a52＋…＋an)
＝－(Sn－S50)
＝S50－Sn，
得数列{bn}的前n项和为
Sn′＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn
＝2×2500－(100n－n2)
＝5000－100n＋n2.
由①②得数列{bn}的前n项和为
Sn′＝
[变式训练2] 数列{an}的前n项和为Sn＝10n－n2，求数列{|an|}的前n项和．
解析：a1＝S1＝9.
∵Sn＝10n－n2，∴an＝Sn－Sn－1＝－2n＋11(n≥2)，当n＝1时，an也成立，故an＝－2n＋11(n∈N＋)．
令an<0，得－2n＋11<0，解得n>
∴当1≤n≤5时，an>0；当n≥6时，an<0.
设Sn′是数列{|an|}的前n项和，则Sn′＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋|a6|＋|a7|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－(a6＋a7＋…＋an)．
∴当1≤n≤5时，Sn′＝Sn＝10n－n2；
当n≥6时，Sn′＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(10×5－52)－(10n－n2)＝n2－10n＋50.
[例3] 在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.
解法3：设等差数列的首项为a1，公差为d，
[变式训练3] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
分析：求d的取值范围，从S12>0，S13<0入手．
(2)由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13.
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an＋1<0，
则Sn是S1，S2，…，S12中的最大值．
由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，
即a6＋a7>0，a7<0.
由此得a6>－a7>0，因为a6>0，a7<0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
[例4] 在等差数列{an}中，a1＝30，公差d＝－2，求它的前n项和Sn的最大值，并求出相应的n值．
[变式训练4] 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．
解法3：由S17＝S9，
得a10＋a11＋…＋a17＝0.
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.
∵d＝－2<0，a1>0，∴a13>0，a14<0，
故n＝13时，Sn有最大值169.
解法4：由d＝－2得Sn的图像如图所示(抛物线上一些孤立点)，由S17＝S9知图像对称轴为n＝
＝13，
∴当n＝13时，Sn取得最大值为169.
已知等差数列的奇数项和与偶数项和，解题思路可以转化为求基本特征量a1与d.但充分利用奇数项和、偶数项和与数列和之间的关系，可使问题简化．
解法2：设S偶＝a2＋a4＋…＋a10，S奇＝a1＋a3＋…＋a9，则S偶＝140－125＝15＝5a6(因为a2＋a10＝a4＋a8＝2a6)，所以a6＝3.
[变式训练5] (1)在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
(2)有2n＋1项的等差数列，其奇数项与偶数项的和之比为 ( )
答案：(1)B (2)B
分析：要根据条件寻找通项与前n项和的关系．
此类问题仍可转化为利用基本特征量进行解决，这是最基本的方法，是必须要掌握的．但在此基础上，深刻理解等差数列的和与等差数列之间的关系，可以使自己的学习得到提升．
[例7] 等差数列的前n项和为Sn，若S4＝1，S8＝4，求a17＋a18＋a19＋a20.
解法2：S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16构成等差数列，令b1＝S4，b2＝S8－S4，则b5＝1＋4×2＝9.
[变式训练7] (一题多解)等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为 ( )
A．130 B．170
C．210 D．260
解析：解法1：将Sm＝30，S2m＝100代入前n项和公式有
答案：C
[变式训练8] 在数列{an}中，Sn＝an2＋bn＋c(a≠0)，求证：{an}是等差数列的等价条件是c＝0.
证明：(1)n＝1时，a1＝S1＝a＋b＋c；
(2)n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝an2＋bn＋c－a(n－1)2－b(n－1)－c
＝2an＋(b－a)，
∴an＋1－an＝2a，
而a2－a1＝2a×2＋(b－a)－(a＋b＋c)
＝3a＋b－a－b－c＝2a－c，
所以c＝0时，{an}是等差数列．
[例9] 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前一分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
分析：本题实质上是数列求和问题，因此应将实际问题转化成数学问题．
[变式训练9] (数学与经济科技)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如下图所示：
甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．
乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息回答：
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第一年是扩大了还是缩小了？请说明理由；
(3)哪一年的规模最大？请说明理由．
分析：由信息图数据可直接做出(1)、(2)，建立数学模型，可解决第(3)问．
解析：(1)由图可知，第2年养鸡场的个数是26个，
那么全县出产鸡的总数是S2＝26×1.2＝31.2(万只)．
(2)第一年总共出产鸡的只数：S1＝30×1＝30(万只)，
第六年总共出产鸡的只数：S6＝2×10＝20(万只)．
由此得S1－S6＝30－20＝10(万只)．这说明规模缩小了．(共63张PPT)
一、数列应用问题的常见模型
(1)①________；一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)．
(2)②________：一般地，如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，该模型是等比模型．
(3)③________：在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型．
(4)④________：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．
(5)⑤________：如果容易找到该数列任意一项an＋1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题．
友情提示：一般涉及递增率什么的，用到⑥________；涉及依次增加或者减少什么的，用到⑦________，或者有的问题是通过转化得到⑧________的，在解决问题时要往这些方面去联系．
二、与银行利率相关的几类模型
(1)银行储蓄单利公式
利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和⑨________.
(2)银行储蓄复利公式
按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和⑩________.
(3)产值模型
原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值 ________.
(4)分期付款模型
a为贷款总额，r为月利率，b为月等额本息还款数，n为贷款月数，则 ________.
三、数列综合应用题的解题步骤
(1) ________——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题．
(2) ________——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．
(3) ________——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答．
(4) ________——将所求结果还原到实际问题中．
具体解题步骤如下框图：
1.零存整取模型
银行有一种叫作零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利．注：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，而本金所产生的利息不再计算利息，其公式为
利息＝本金×利率×存期，
本利和＝本金×(1＋存期×利率)．
零存整取是等差数列求和在经济方面的应用．
[例] 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年．
(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？
(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰.问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(注：零存整取要收20%的利息税)
2．定期自动转存模型
银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和．
注：复利的计算是把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式为：
本利和＝本金×(1＋利率)n.
定期自动转存(复利)是等比数列求和在经济方面的应用．
[例] 已知本金m＝1200元，复利率i＝7%，期数n＝4，求本利和总额S4.
解析：S4＝1200×(1＋7%)4≈1572.96(元)．
3．分期付款模型
采用分期付款的方法，购买售价为a元的商品(或贷款a元)，每期付款数相同，购买后1个月(或1年)付款1次，过1个月(或1年)再付1次，如此下去，到第n次付款后全部付清．
如果月利率(或年利率)为b，那么每期付款x元满足下列关系：
按单利计息时为a(1＋nb)＝x{1＋(1＋b)＋(1＋2b)＋…＋[1＋(n－1)b]}；
按复利计息时为a(1＋b)n＝x[1＋(1＋b)＋(1＋b)2＋…＋(1＋b)n－1]．
化简得x[(1＋b)n－1]＝ab(1＋b)n.
[例] 某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，低息贷款年利率为2%，按复利计息(即本年的利息计入次年的本金生息)．若这次贷款要求分10次等额还清，每年一次，从贷款次年年初开始还，问每年应还多少元？(精确到元)
解析：设每年还款x元，第n年还款后余额为Mn.依题意得：
M1＝20000(1＋2%)－x，
M2＝M1(1＋2%)－x＝20000(1＋2%)2－x(1＋2%)－x，
M3＝M2(1＋2%)－x＝20000(1＋2%)3－x(1＋2%)2－x(1＋2%)－x，
…
M10＝20000(1＋2%)10－x(1＋2%)9－x(1＋2%)8－…－x(1＋2%)－x.
4．怎样处理数列的应用问题
数列应用问题的学习已成为高中数学学习与研究的一个重要内容，现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、曲线长度、堆积物品总数等实际问题，都需要用数列的知识加以解决．解答数列应用问题的核心是建立模型，其基本步骤如下表．
(1)等差数列的实际应用
在数列应用题中，若an＋1与an的关系满足an＋1－an＝d(d为常数)时，则可以应用等差数列模型解决．
说明：要通过对题意的分析，说明数列为等差数列，然后设出有关符号，如an，d等的意义，这样才能使阅卷者迅速了解你的解答思路．
5．模型法
模型法就是在实际问题中，构造数列模型或其他模型，再进而构造数学模型，通过构造模型使问题顺利得到解决．
运用模型法来解决问题时，应广泛搜集信息，抓住关键词，准确理解题意，要善于抓主要矛盾，类比联想，从而建立相应模型．
(1)解决数列的应用问题必须准确探索问题所涉及的数列的模型(如等差数列、等比数列、或与等差、等比数列有关的数列)，或准确定义问题中的数列．
(2)求出数列的通项公式或建立递推公式：①如果问题所涉及的数列是特殊数列(如等差数列、等比数列、或与等差、等比有关的数列，等等)，应首先建立数列的通项公式；②如果问题所涉及的数列不是某种特殊数列，一般应考虑先建立数列的递推关系(即an与an－1的关系).
数学应用问题的教学已成为中学数学学习与研究的重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型．解答数列应用题的基本步骤：
(1)阅读理解实际材料且对材料作适当处理；
(2)建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；
(3)讨论变量性质，挖掘题目中的条件．
[例1] 某人有七位朋友．第一位朋友每天晚上都去他家看他，第二位朋友每隔一个晚上到他家去，第三位朋友每隔两个晚上去他家串门，第四位朋友每隔三个晚上去他家做客，依次类推，直至第七位朋友每隔六个晚上在他家出现．这七位朋友昨晚在主人家中碰面，他们还会同一个晚上在主人家中碰面吗？
解析：第一位朋友每天晚上在主人家；第二位朋友以后在主人家的天数为第：2,4,6,8，…，这些数构成以2为首项，公差为2的等差数列，通项公式为：an＝2n；第三位朋友以后在主人家的天数为第：3,6,9，…，这些数构成以3为首项，公差为3的等差数列，通项公式为：an＝3n；第四、五、六、七位朋友晚上在主人家的天数构成以4、5、6、7为首项，公差为4、5、6、7的等差数列，通项公式分别为an＝4n，an＝5n，an＝6n，an＝7n；他们要在同一晚上出现，这个数应为这七个数列的公共项，这一项是2,3,4,5,6,7的倍数，而2,3,4,5,6,7的最小公倍数为420，因此第420,840,1260…天晚上他们会同时在主人家出现．
[变式训练1] 用分期付款方法购买电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，分20次付完，若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花多少钱？
解析：购买时付150元，欠1000元，每月付50元，分20次付清，设每月付款数顺次成数列{an}，则a1＝50＋1000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5＝(60－0.5×1)(元)，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59＝(60－0.5×2)(元)，…，依次类推，a10＝50＋(1000－50×9)×1%＝55.5＝(60－0.5×9)(元)，an＝60－0.5(n－1)＝－0.5n＋60.5(1≤n≤20)．所以{an}组成以60为首项，－0.5为公差的等差数列，所以，总数＝S20＋150＝20a1＋ ×d＋150＝1255(元)，∴第十个月该交55.5元，全部付清实际花1255元．
评析：审题，建立等差数列模型，应用等差数列的通项公式及前n项和公式求解，但需注意最后一次付款利息是50元欠款的利息，第一次付款利息是1000元的利息而不是950元，此处易出错．
解决数列在实际应用中的问题关键是通过仔细审题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知识解决问题，因此在做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn.
[例2] 陈老师购买工程集资房92 m2，单价为1000元/m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款(注①)，经过一年付款一次，……共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算(注②)，那么每年应付款多少元？(注③)．
注：①分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和．
②每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息．
③必要时参考下列数据.
1.0759≈1.971,1.07510≈2.061,1.07511≈2.216.
解析：设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款及所生利息之和为x×1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x×1.0758元，…，第九年付款及其所生利息之和为x×1.075元，第十年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为[1000×92－(28800＋14400)]×1.07510＝48800×1.07510(元)．因此有x(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝48800×1.07510(元)，所以x＝48800×1.07510× ≈48800×2.061×0.071≈7141(元)．
∴每年需交款7141元．
[变式训练2] 为了迎接2008年北京奥运会，我国决定治理垃圾．经调查，近10年来我国城市垃圾的年平均增长率为3%，到2001年底堆存垃圾已达60亿吨，侵占了约5亿平方米的土地，目前我国还以年产1亿吨的速度产生新的垃圾，垃圾治理已刻不容缓！
(1)问1991年我国城市垃圾约有多少亿吨？
(2)如果从2002年起，每年处理上年堆存垃圾的 ，到2007年底，我国城市垃圾约有多少亿吨？可节约土地多少亿平方米？
数列的递推应用问题往往是以一定的实际问题作为背景进行命题的，该问题来源于生产实践，解题时先将实际生活模型用数学公式或等量关系式列出，然后得出数列的递推关系式．适当的时候也可以利用特殊化思想方法先求得前几项，应用不完全归纳法得出通项后再进行进一步的论证．其最终目的是把应用问题转化为an与an＋1之间的关系，或an与Sn间的关系，然后利用所学知识加以解决．
[例3] 某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1＋r)n－2，….以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额．
(1)写出Tn与Tn－1(n≥2)的递推关系式；
(2)求证：Tn＝An＋Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列．
解析：(1)由题意有，Tn＝Tn－1(1＋r)＋an(n≥2)．
(2)T1＝a1，对n≥2反复使用上述关系式，得
Tn＝Tn－1(1＋r)＋an＝Tn－2(1＋r)2＋an－1(1＋r)＋an＝…＝a1(1＋r)n－1＋a2(1＋r)n－2＋…＋an－1(1＋r)＋an.①
在①式两端同乘1＋r，得(1＋r)Tn＝a1(1＋r)n＋a2(1＋r)n－1＋…＋an－1(1＋r)2＋an(1＋r)，②
[例4] (2010·湖南卷)给出下面的数表序列：
表1 表2 表3 …
1 1 3 1 3 5
4 4 8
12
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
解析：(Ⅰ)表4为
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n(n≥3)，即
表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
由此可知，表n(n≥3)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
(Ⅱ)表n的第1行是1,3,5，…，2n－1，其平均数是
由(Ⅰ)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列(从而它的第k行中的数的平均数是n·2k－1)，于是，表n中最后一行的唯一一个数为bn＝n·2n－1.因此
[变式训练4] 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？
(取1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665)
[例5] 职工小张年初向银行贷款2万元用于购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金)，若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)
解析：设每年还款x元，需10年还清，那么每年还款及利息情况如下：第10年还款x元，此次欠款全部还清．
第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)元．
第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2元．
…
[变式训练5] (2009·重庆市三区联考题)购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的方法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付款一次，如此下去，到第12次付款后全部付清．如果月利率为0.8%，每月利息按复利计算(上月利息计入下月本金)，那么每期应付款多少元？(精确到1元)
解析：设每期应付款x元，则
第一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)11元；
第二期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)10元；
…
第十一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)元；
第十二期付款已没有利息问题，即为x元．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
3.3.2 基本不等式与最大（小）值
本节教材分析
教材已开始给出了一个具体的把铁丝弯成矩形的例子，目的是使学生先有一个感性的认识，为引出后面的命题做好铺垫，对命题并未给出严格的证明，只要学生能够从这个例子抽象概括出结论即可.例2、例3是代数中两个直接应用均值不等式求最值的例子，通过这两个例子，让学生掌握利用均值不等式求最值的步骤；例4和例5是在实际问题中，利用基本不等式求最值的例子，体现了数学知识应用的广泛性..
三维目标
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
教学重点：掌握基本不等式，会用此不等式求某些函数的最值。
教学难点: 利用基本不等式求最大值、最小值。
教学建议：
利用均值不等式求最值的步骤，让学生通过做题归纳总结；例4和例5两道实际应用题，在教学中应让学生注意以下几点：（1）正确理解题意，设变量.设变量时，一般可把欲求最大（小）值的变量视为函数；（2）建立函数关系，把实际问题转化为求函数的最大（小）值问题；（3）在允许的范围内，求出最值；（4）根据问题实际写出答案.
新课导入设计
导入一
[复习导入]让学生会议上节课我们探究的基本不等式，强调不等方向，等号成立条件，字母范围. 本节课我们探讨基本不等式的应用，教师由此引入新课.
导入二
[直接导入]通过上节课的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法.节课我们进一步熟悉利用基本不等式解决函数的最值问题的思路。教师打开多媒体课件，从而展开新课.
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数列在日常经济生活中的应用 同步练习
1．某储蓄所计划从2004年起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8％，则到2007年底该蓄所的吸蓄量比2004年的吸蓄量增加（ ）
A．24% B．32%
C．（－1）100％ D．（－1）100％
2．某工厂1996年至19999年的产量和为100吨，1998年至2001年的产量和为121吨，则该工厂1996年至2001年的年平均增长率为（ ）
A．10% B．21% C．7％ D．14％
3．在2000年至2003年期间，甲每年6月1日都到银行存入元的一年定期储蓄，若年利率为保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2004年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（ ）
A、元 B、元
C、元 D、元
4．本金3000元，每月复利一次，一年后得到本利和3380元，月利率是_______．
5．用分期付款的方式购买某家用电器，其价格为l150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为l%，若交付150元后的第一个月开始算分期付款，全部欠款付清后，买这件家电实际付钱多少元？
6．某地现有居民住房的面积为a㎡，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．
( 1 )如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积r是多少（可取）？
（2）过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少（保留到小数点后第1位）？
7、某工厂总产值月平均增长率为，则年平均增长率为（ ）
A、 B、12 C、 D、
8、某种产品计划每年降低成本，若三年后的成本是元，则现在的成本是 。
9、有纯酒精L，从中取出1 L，再用水加满，然后再取出1 L，再用水加满，如此反复进行。问第九次和第十次共取出多少纯酒精？
10、某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息（利息按月以复利计算）。如果贷款10000元，两年还清，月利率为，那么每月应还多少钱呢？
11、某厂去年产值为300万元，计划在今后5年中，每年产值比上年产值增长，试问从今年起，第五年的产值是多少？这五年的总产值是多少？
12．某资料表明，1996年我国荒漠化土地占我国土地总面积960万平方公里的17.6%，1996年的前20年我国荒漠化土地平均每年以2460k㎡的速度扩展，若这20年间我国治理荒漠化士地的面积占前一年荒漠化土地的面积的1％，试问20年前即1976
年我国荒漠化土地的面积有多少平方公里？（）
13．甲、乙两人、连续6年讨某县农村养鸡业规模进行调查，提洪两个不同的信息图如图所示
甲调查表明：从第一年每个养鸡场出产1万只鸡上升带第六年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第一年养鸡场个数30个减少到第六年10个．
请您根据提供的信息说明：
（Ⅰ）第二年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
（Ⅱ）到第六年这个县的养鸡业比第一年.是扩大了还是缩小？请说明理由；
（Ⅲ）哪一年的规模最大？请说明理由．
14、甲工厂去年上交利税40万元，今后五年内计划每年平均增长，乙工厂去年上交利税比甲工厂少，今后五年内计划每年增长，这样从今年起，第二年乙工厂上交利税就能超过甲工厂，但要到第三年末，才能从今年开始的三年内上交的总利税不少于甲厂，求乙工厂去年上交利税多少万元（只取到整数万元）。
15、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。
（1）设年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为元，写出，的表达式；
（2）至少经过多少年旅游业的总收入才能超过总投入？
1.C 2.A 3.D
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§1.2 比较大小教案说明
江西省吉安一中
教 材 分 析 教 材 地 位 与 作 用 不等式主要研究数的不等关系，它与数、式、方程、函数、三角等内容都有密切联系，讨论方程或方程组的解的情况，研究函数的定义域、值域、单调性、最大值、最小值，讨论线性规划问题等，都要经常用到不等式的知识，不等式在解决各类实际问题时也有广泛应用，可见，不等式在中学数学里占有重要地位，是进一步学习数学的基础知识，是掌握现代科学技术的必备知识。本节课的内容是比较大小。比较大小是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式的两边的差是正数或负数来证明不等式，其应用非常广泛，属必须掌握并要求能够灵活运用的内容。从教材看来，不等式是承上启下的一章，运用遍及整个高中教学，在教学中我们应着重把握一个“度”字，以本为本、以纲为纲，从学生的实际情况出发，确实以学生为主体，因人而异，因材施教，才能实现教材改革的真正目标——素质教育。
教 学 目 标 1、【知识与技能目标】通过回忆初中内容，结合数轴得了实数的基本性质，能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；掌握实数的运算性质与大小顺序间的关系。2、【过程方法目标】通过本节学习，强化转化思想、数形结合思想的运用。3、【情感、态度与价值观目标】通过本节学习，激发学生探究数学问题的欲望，体会数学的奥妙与数学式子的结构美、对称美，从而激发学生的学习兴趣。
教学重点 比较大小的基本步骤及其应用。
教学难点 准确理解实数运算的符号法则及一些代数式的恒等变形。灵活应用比较大小解决实际问题。
教 法 分 析 数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感。为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。我设计了六个环环相扣、层层深入的教学环节：①创设情景——引入新课，②探究发现——发现规律，③例题讲解——形成结论，④知识应用——提高能力，⑤课堂小结——深化巩固，⑥作业布置——消化知识。在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。
学法分析 建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
教学过程 活 动 内 容 设 计 意 图
创设情景 通过课本中这一章的章头引言安排的例子，应用图片与动画直观形象地引入到本节课学习的知识。 激发兴趣，进入主题
探究发现 【探究1】已知某人下半身长为x(cm)，全身长为y(cm)，请问这个人穿上a(cm)的高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会增加吗？（复习不等式的性质时，重点讲解不等式的传递性，学生对它的作用不太了解。）课外小知识：古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗塑像都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美之神话。 【归纳小结】1、比较大小的基本步骤：作差→变形→判断符号→下结论。（比较大小的基本步骤学生比较容易掌握）2、一般地，设为正实数，且，则有（这个结论中特别要注意条件“”，当时情况恰好相反，这也是这节课的一个易错点）【探究2】请同学们在实际生活中举几个满足上述结论的例子？ 1、通过【探究1】，引导学生发现比较大小的基本步骤：作差→变形→判断符号→下结论。2、通过实际生活中的例子，让学生更深层次地理解“为正实数，且，则有”这个结论。3、通过课外小知识让学生扩展知识面。
例题讲解 【例1】试比较与的大小。【练习1】已知，试比较与的大小。【练习2】设，，则a与b的大小关系为A、 B、 C、 D、与x有关【归纳小结】 “变形”是作差比较大小的关键，“变形”的目的在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少。 “变形”的常用方法有通分、因式分解、配方等。（变形的常用方法学生比较容易掌握，但是判断符号是学生容易出错的地方） 通过例题与练习，巩固比较大小的知识，学会在比较大小的过程中对差式变形的常用方法——因式分解法、通分法、配方法。
知识应用 【例】甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为t1、t2，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，且m≠n。试判断甲、乙谁先到达B地。【练习】两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同。其中，甲每次购买1000kg，乙每次购粮用去1000元钱，谁的购粮方式更合算？（如何从题意中发现需要比较的量，这对学生来说是个难点） 通过知识应用，让学生学会应用比较大小的知识来解答实际生活问题。从而加深对比较大小知识的掌握。
课堂小结 1、比较大小（1）步 骤：作差→变形→判断符号→下结论。（2）关键点：变形是比较大小的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少。常用方法有通分、因式分解、配方等。2、一般地，设为正实数，且，则有3、应 用：灵活地应用比较大小的知识来解决实际生活中的问题。 培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识。
作业布置 1、已知，试比较P，Q的大小。2、已知，试比较与的大小。3、对于同样的距离，船在静水中来回行驶一次所花的时间与在流水中来回行驶一次所花的时间是否相等？请说明理由。（船在静水中的速度与在流水中的速度一致） 通过作业，使学生很好的消化所学到的知识。
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正余弦定理例题解析：
例1．在△ABC中，如果a＝18，b＝24，A＝，则此三角形解的情况为( B ).
A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不确定
解： 由 bsinA＜a＜b 故 有两解 选B
例2．在△ABC中，a＝，b＝，A＝，则c等于( C ).
A. 2 B. C. 2或 D. 以上都不对
解： 由 bsinA＜a＜b 故 有两解 选C
例3．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角是( B ).
A. B. C. D.
解：设a＝3k，b＝5k，c＝7k，由余弦定理易求得cosC＝-，所以最大角C为.
例4．(1) 在△ABC中，若B＝，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是_____.
(2) △ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是_____.
解：(1) sinC＝，于是C＝或，故A＝或，
由S△ABC＝可得答案2或.
(2) 如图所示，由已知得BC＝2AB，又
∴ sinC＝≤ 又∵ 0＜C＜A ∴ 0＜C≤
例5．在△ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A＝2absinC
证明：由正弦定理知
故原式成立.
例6．在锐角三角形ABC中，A，B，C是其三个内角，记 求证：S＜1
证明： ∵
∵ ，∴ ，∴ cotB＜tanA即＞1，∴ S＜1.
例7．在△ABC中，如果lga-lgc＝lgsinB＝-lg，且B为锐角，判断此三角形的形状.
解：由lga-lgc＝lgsinB＝-lg，得 sinB＝，
又B为锐角，∴ B＝，又 得，
∴ sinC＝2sinA＝2sin(-C)， ∴ sinC＝sinC+cosC，
∴ cosC＝0 即C＝， 故此三角形是等腰直角三角形.
例8．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边.
① 若△ABC面积为，c＝2，A＝，求b，a的值.
② 若acosA＝bcosB，试判断△ABC的形状，证明你的结论.
解：① 由已知得，∴ b＝1.
由余弦定理a2＝b2+c2-2bccosA＝3，∴ a＝.
② 由正弦定理得：2RsinA＝a，2RsinB＝b，
2RsinAcosA＝2RsinBcosB 即sin2A＝sin2B，
由已知A，B为三角形内角，∴ A+B＝或A＝B，
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.
例9．如图所示，已知在梯形ABCD中AB∥CD，CD＝2, AC＝，∠BAD＝，求梯形的高.
解:作DE⊥AB于E， 则DE就是梯形的高.
∵ ∠BAD＝， ∴ 在Rt△AED中，有DE=AD ＝，即 DE＝AD. ①
下面求AD(关键)：
∵ AB∥CD，∠BAD＝， ∴ 在△ACD中，∠ADC＝，
又∵ CD＝2, AC＝，∴
即
解得AD＝3，(AD＝-5，舍).
将AD＝3代入①， 梯形的高
例10．如图所示, 在△ABC中，若c＝4, b＝7，BC边上的中线AD＝, 求边长a.
解：∵ AD是BC边上的中线，∴ 可设CD＝DB＝x.
∵ c＝4, b＝7, AD＝, ∴ 在△ACD中，有
在△ACB中，有∴
∴ x＝, ∴ a＝2x＝9.
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第二章 解三角形
1.2余弦定理
教学目标
1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角
教学设想
[创设情景] C
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c b a
A c B
[探索研究] (图1．1-4)
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A
如图1．1-5，设，，，那么，则
C B
(图1．1-5)
从而
同理可证
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
例题:例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
== 8 ∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos ∴
解法二：∵sin又∵＞
＜∴＜， 即＜＜ ∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
解：由余弦定理的推论得：
cos ；
cos ；
[随堂练习]第51页练习第1、2、3题。
[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）
[课堂小结]（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，
勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；
②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
（五）：作业：第52页[习题2.1]A组第5题。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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课题 §1.3.1等比数列
课型 新授课 课时 备课时间
教学目 标 知识与技能 掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法 通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系
情感态度与价值观 充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣
重点 等比数列的定义及通项公式
难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
教学方法
教学过程Ⅰ.课题导入复习：等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。课本P41页的4个例子：①1，2，4，8，16，…②1，，，，，…③1，20，，，，…④，，，，，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。Ⅱ.讲授新课1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛｝成等比数列=q（,q≠0）2 隐含：任一项“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．3 q= 1时，{an}为常数。2.等比数列的通项公式1: 由等比数列的定义，有：；；；… … … … … … … 3.等比数列的通项公式2: 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系[范例讲解]课本P57例1、例2、P58例3 解略。Ⅲ.课堂练习课本P59练习1、2[补充练习]2.（1） 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项（答案：=2916）（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：==5, =q=40）Ⅳ.课时小结本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．Ⅴ.课后作业课本P60习题A组1、2题
教学反思
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无穷等比数列各项的和
教学目的：掌握无穷等比数列各项的和公式；
教学重点：无穷等比数列各项的和公式的应用
教学过程：
一、复习引入
1、等比数列的前n项和公式是_________________________________________________
2、设AB是长为1的一条线段，等分AB得到分点A1，再等分线段A1B得到分点A2，如此无限继续下去，线段AA1，A1A2，…，An－1An，…的长度构成数列
①
可以看到，随着分点的增多，点An越来越接近点B，由此可以猜想，当n无穷大时，AA1+A1A2+…+ An－1An 的极限是________.下面来验证猜想的正确性，并加以推广
二、新课讲授
1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列的公比的绝对值小于1，则其各项的和S为
例1、求无穷等比数列
0.3， 0.03， 0.003，…
各项的和.
例2、将无限循环小数化为分数.
三、课堂小结：
1、无穷等比数列各项的和公式；2、化循环小数为分数的方法
四、练习与作业
1、求下列无穷等比数列各项的和：
（1） （2）
（3） （4）
2、化循环小数为分数：
（1） （2）
（3） （4）
3、如图，等边三角形ABC的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.
4、如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h
（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和
（2）把高n等分，同样作出n－1个矩形，求这些矩形面积的和；
（3）求证：当n无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah/2
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等差数列
教学目标
1．明确等差中的概念．
2．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式
3．培养学生的应用意识．
教学重点
等差数列的性质的理解及应用
教学难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
教学方法
讲练相结合
教具准备
投影片2张(内容见下面)
教学过程
(I)复习回顾
师：首先回忆一下上节课所学主要内容：
1． 等差数列定义：（n≥2）
2． 等差数列通项公式：（n≥2）
推导公式：
（Ⅱ）讲授新课
师：先来看这样两个例题（放投影片1）
例1：在等差数列中，已知，，求首项与公差例2：梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。
1． 解：由题意可知
解之得即这个数列的首项是-2，公差是3。
或由题意可得：即：31=10+7d
可求得d=3，再由求得1=-2
2． 解设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：
a1=33, a12=110，n=12
∴,即时10=33+11
解之得：
因此，答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.
师：[提问]如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
生：由定义得A-=-A
即：
反之，若，则A-=-A
师：由此可可得：成等差数列，若，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是否和风细雨的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。
看来，
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则，
生：结合例子，熟练掌握此性质
师：再来看例3。（放投影片2）
生：思考例题
例3：已知数列的通项公式为：
分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。
解：取数列中的任意相邻两项与（n≥2），
则：
它是一个与n无关的常数，所以是等差数列。在中令n=1，得：
，所以这个等差数列的首项是p=q，公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为：
，其中、是常数。
（Ⅲ）课堂练习
生：（口答）
（书面练习）
师：给出答案
生：自评练习
（Ⅳ）课时小结
师：本节主要概念：等差中项
另外，注意灵活应用等差数列定义及通项公式解决相关问题。
（Ⅴ）课后作业
一、课本
二、1．预习内容
2．预习提纲：①等差数列的前n项和公式；
②等差数列前n项和的简单应用。
教学后记
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数列的概念
【知识点精讲】
1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）
2、通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示an=f(n)。
（通项公式不唯一）
3、数列的表示:
(1) 列举法:如1,3,5,7,9……;
(2) 图解法:由(n,an)点构成;
(3) 解析法:用通项公式表示,如an=2n+1
(4) 递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a1=1,an=1+2an-1
4、数列分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；
有界数列，无界数列
5、任意数列{an}的前n项和的性质
Sn= a1+ a2+ a3+ ……+ an
6、求数列中最大最小项的方法：最大 最小
考虑数列的单调性
【例题选讲】
例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项
（1）-1,7,-13,19,…; (2)7,77,777,777,…; (3)
(4)5,0,-5,0, 5,0,-5,0,…; (5)1,0,1,0,1,0,…;
解：（1）an=(-1)n(6n-5); (2) (3) (4); (5);
[点评]根据数列前几项的规律，会写出数列的一个通项公式。
练习:⑴⑵3,5,9,17,33,……⑶1,2,2,4,3,8,4,16,5,……..
解：
例2、已知数列
（1）求这个数列的第10项；
（2）是不是该数列中的项，为什么？
（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；
（4）在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由。
解：设
（1）令n=10,得第10项；
（2）令，此方程无自然数解，所以不是其中的项
（3）证明：
（4）令
[点评]数列问题转化为解方程和不等式问题，注意正整数解
例3、下面各数列的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式. (1) Sn=2n2-3n (2) Sn= 3n-2
解: (1)当n≥2时,
由于a1也适合此等式,所以
(2)当n≥2时,
[点评]已知数列前n项和Sn,相当于知道了n≥2时候an,但不可忽视n=1.
即
练习:已知数列的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n+1,求{an}的通项公式
解:由题意
例4、有一数列{an}，a1=a，由递推公式an+1=，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写该数列的一个通项公式。
详见优化设计P37典例剖析之例2，解答过程略。
（理科班学生可要求通项公式的推导：倒数法）
变式：在数列{an}，a1=1，an+1=，求an。
详见优化设计P37典例剖析之例1，解答过程略。
[点评]对递推公式，要求写出前几项，并猜想其通项公式，此外了解常用的处理办法，如：迭加、迭代、迭乘及变形后结合等差（比）数列公式，也很必要。
例5、已知数列{an}的通项公式试问数列{an}有没有最大项 若有,求最大项和最大项的项数;若无,说明理由.
解:
当n<9,
当n>9,
当n=9,
故
所以, 数列{an}有最大项, 为第9,10项
[点评] 求数列{an}的最大项,最小项,考虑数列的单调性,即通过对an的单调性进行讨论
练习:已知则在数列{an}中的前30项中,最大项和最小项分别为什么
解:最大a10最小a9
【课堂小结】
1、 了解数列的概念、分类与表示法；
2、 重点理解数列的通项公式，会求一些简单数列的通项公式，会根据通项公式和递推公式求数列的项；
3、任意数列{an}的前n项和的性质
Sn= a1+ a2+ a3+ ……+ an
4、求数列中最大最小项的方法：最大 最小
考虑数列的单调性
【作业布置】
优化设计
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3．1 基本不等式
3．2 基本不等式与最大(小)值
一、重要不等式
如果a，b∈R，那么①________(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
2．函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，才能利用“定理”求出函数的最大值或最小值．若含变数的各项之和或之积不是常数(定值)时，必须进行适当的配凑，使和或积变为常数(定值)，方可使用“定理”求出函数的最大值或最小值．
总之，由均值不等式(平均值定理)求最值可分为三步．第一步，全正(即求平均值的各个量都是正数)；第二步，凑定值．这步技巧性强，充分体现解题人利用均值不等式求最值的水平，应侧重训练，当凑出和为定值时，对应各个量的积有最大值；当凑出的积为定值时，其对应各量的和有最小值；第三步，“取等号”，即对应各个量能取得等号时，有最值存在，否则，没有最值存在，以上三步可简化为：一正，二定，三相等，三步缺一不可．
4．在利用均值不等式求最值时，凑定值是很重要的一步，但是很多时候都是因为取不到最值而苦恼，那么，在求最值时有哪些技巧可以使用呢？
利用均值不等式求最值常常需要对函数进行适当的变形．在变形过程中常要用到某些特定的技巧，主要有下面几点：
(1)将所得出的正函数平方，然后再使用均值不等式求解．有时候直接带有根号的定值不容易看出来，可以先平方再找最值，得出结果开方即可，但是要注意平方前后的正负问题；
(2)有些和(积)不为常数的函数求最值时，可通过引入参数后，再使用均值不等式求解．主要是一些比较复杂的式子，使用一个参数作一个整体代换可以使整个式子更加简洁，也更容易得出定值；
(3)有些函数在求最值时，需要几次使用均值不等式进行放缩才能达到目的，放缩时要保证几个等号能同时成立；
(4)有时候使用均值不等式的变形，要根据题目的特点，选用合适的公式．例如
分析：要求x＋y的最小值，根据均值定理，应构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会．
[例5] 函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.
(1)求f(0)；
(2)求f(x)；
(3)不等式f(x)>ax－5当0解析：(1)令x＝1，y＝0，得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2，∴f(0)＝f(1)－2＝－2.
(2)令y＝0，f(x＋0)－f(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x2＋x，
∴f(x)＝x2＋x－2.
答案：A
[例6] (数学与日常生活)某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理．
因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．
[变式训练6] 如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有长36 m的钢筋网材料，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？(共48张PPT)
4．1 二元一次不等式(组)与平面区域
一、二元一次不等式表示的平面区域
1．一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：
(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足①________；
(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足②________；
(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足③________.
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从④________值的正负，即可判断出不等式表示的平面区域．
2．一般地，把直线l：ax＋by＋c＝0画成⑤________，表示平面区域包括这一边界直线；若把直线画成
⑥________，则表示平面区域不包括这一边界直线．
二、二元一次不等式所表示的平面区域的判定方法
由于对在直线ax＋by＋c＝0同一侧所有点(x，y)，实数ax＋by＋c⑦________相同，所以只需在直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由ax0＋by0＋c的⑧________即可判定ax＋by＋c>0表示哪一侧的平面区域．特别地，当c≠0时，常把⑨________作为特殊点；当⑩________时，常选(0,1)或(1,0)作为特殊点．
友情提示：(1)在直角坐标系内，直线l可以利用二元一次方程ax＋by＋c＝0来表示．点P(x0，y0)在直线l上的充要条件是 ________.若点P不在直线l上，则ax0＋by0＋c>0或 ________，二者必有其一．
(2)直线l：ax＋by＋c＝0将平面划分成为两个半平面 ________与 ________，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式．要确定一个二元一次不等式所表示的区域，可用特殊点法，如取原点或坐标轴上的点来检验，另外可证明如下两个结论：(ⅰ)若a>0，则ax＋by＋c>0表示直线l：ax＋by＋c＝0 ________的区域，
________表示直线l：ax＋by＋c＝0左侧的区域；(ⅱ)若b>0，则ax＋by＋c>0表示直线l：ax＋by＋c＝0 ________的区域，ax＋by＋c<0表示直线l ________下方的区域．
三、二元一次不等式组表示的平面区域的作法
1．二元一次不等式组所表示的区域是将不等式组中的每个不等式所表示的 ________作出，然后取每个不等式表示的平面区域的 ________集，即每个不等式表示的平面区域的________，即为不等式组所表示的平面区域．
2．画二元一次不等式组所表示的平面区域的步骤是：
答案：①ax＋by＋c＝0 ②ax＋by＋c>0 ③ax＋by＋c<0 ④ax0＋by0＋c ⑤实线 ⑥虚线 ⑦符号 ⑧正负 ⑨原点 ⑩c＝0 ax0＋by0＋c＝0 ax0＋by0＋c<0 ax＋by＋c>0 ax＋by＋c<0 右侧 ax＋by＋c<0 上方 ax＋by＋c＝0 区域 交
一、画二元一次不等式Ax＋By＋C>0(<0)所表示的平面区域时应注意什么？
1．二元一次不等式Ax＋By＋C>0(<0)表示平面区域时，边界(直线)应画成虚线；二元一次不等式Ax＋By＋C≥0(≤0)在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域(包括边界)，边界(直线)应画成实线．二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
2．在判断不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的平面区域时，“代点法”无疑是快捷且准确的方法．即基本方法是“直线定界，特值定域”．其步骤：(1)画直线Ax＋By＋C＝0；(2)在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，可取较特殊的点，易计算；(3)将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值；(4)若Ax0＋By0＋C>0，则此点所在的半平面为不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域；反之此点所在的半平面不是不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域．
二、怎样画出含有绝对值符号的不等式表示的平面区域？
利用转化的思想，通过分类讨论去掉绝对值符号，转化为画二元一次不等式组表示的平面区域．
例如：画出不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域．
对x，y的符号分类讨论，去掉绝对值符号，转化为画二元一次不等式组表示的平面区域．
三、二元一次不等式所表示的平面区域与系数之间的关系
问题：在前面，我们要表示一个二元一次不等式在直角坐标平面上所表示的平面区域的基本方法是：画线―→取点―→代值―→定号―→定侧．这种思维回路过长，是否还有更简捷的方法呢？譬如能否直接利用二元一次不等式的系数来判定它所表示的平面区域呢？
探究：在直线Ax＋By＋C＝0上任取一点P(x0，y0)，过此点作y轴的垂线，则对于直线右侧的点x>x0且y＝y0，有Ax＋By＋C－(Ax0＋By0＋C)＝A(x－x0)，故当x>x0时，Ax＋By＋C的值与A同号，当x在直线Ax＋By＋C＝0上任取一点(x0，y0)，过此点作x轴的垂线，则对于直线上侧的点y>y0且x＝x0，有Ax＋By＋C－(Ax0＋By0＋C)＝B(y－y0)．故当y>y0时，Ax＋By＋C的值与B同号；当y结论：对于直线Ax＋By＋C＝0上侧的点，Ax＋By＋C的值与B同号；对于下侧的点，Ax＋By＋C的值与B异号，即“同号上，异号下”．对于直线Ax＋By＋C＝0右侧的点，Ax＋By＋C的值与A同号；对于直线Ax＋By＋C＝0左侧的点，Ax＋By＋C的值与A异号．即“同号右，异号左”.
二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，其平面区域不包括边界，用虚线表示边界；Ax＋By＋C≥0(或≤0)，其平面区域包括边界，用实线表示边界．
[例1] 画出下列二元一次不等式表示的区域：
(1)2x－y－3≤0；
(2)3x＋2y－6>0.
解析：(1)所求区域包含直线l：2x－y－3＝0，用实线画出直线l：2x－y－3＝0，将原点坐标(0,0)代入2x－y－3，得2×0－0－3＝－3，这样就可判定不等式2x－y－3≤0表示的区域与原点同侧，即包含原点的那一侧，如下图(1)阴影部分．
(2)所求区域不包含直线l：3x＋2y－6＝0，用虚线画出直线l：3x＋2y－6＝0，将原点的坐标(0,0)代入3x＋2y－6，得3×0＋2×0－6＝－6，则得不等式3x＋2y－6>0所表示的区域与原点异侧，即不包含原点的那一侧(不包括直线l)，就是这个不等式表示的区域，如下图(2)阴影部分．
[变式训练1] 画出不等式2x＋y－6<0表示的平面区域．
分析：先画出直线2x＋y－6＝0确定边界，再代入(0,0)确定区域．
解析：先画直线2x＋y－6＝0(画成虚线)．
取原点(0,0)，代入2x＋y－6，
∵2×0＋0－6＝－6<0，
∴原点在2x＋y－6<0表示的平面
区域内，不等式2x＋y－6<0
表示的区域如图阴影部分．
解析：不等式x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及右下方的点的集合，不等式x＋2y<6表示直线x＋2y－6＝0左下方的点的集合，不等式x≥0表示y轴及y轴右方的点的集合，y≥0表示x轴及x轴上方的点的集合．所以不等式组所表示的平面区域为如下图所示的阴影部分．
分析：画出不等式组所表示的平面区域，易求出它的面积．
答案：B
解关于实际问题中的平面区域的问题，首先由题目中的已知条件列出不等式(组)，然后画出其表示的平面区域．
[例3] 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：
该厂有工人200人，每天只能保证160 kW·h的用电额度，每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围．
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
甲 2 3 5
乙 8 5 2
分析：设生产甲、乙两种产品x t和y t，根据条件写出线性约束条件，画出线性平面区域是解决此类问题的关键．
解析：设每天分别生产甲、乙两种产品x t和y t，生产x t甲产品和y t乙产品的用电量是(2x＋8y)kW·h，根据条件，有2x＋8y≤160；用煤量为(3x＋5y)(t)，根据条件有3x＋5y≤150；用工人数为(5x＋2y)(人)，根据条件有5x＋2y≤200；另外，还有x≥0，y≥0.
综上所述，x、y应满足以下不等式组
甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如上图所示的阴影部分(含边界)．
[变式训练3] 某厂用两种不同的原料生产同一种产品，若采用甲种原料，1 t成本1000元，运费500元；若采用乙种原料，1 t成本1500元，运费400元．若每日预算原料成本不得超过6000元，运费不得超过2000元．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解析：设工厂每日需要甲种原料x t，乙种原料y t，它们所满足的关系式为
分别画出不等式组中各不等式表示的区域，然后取交集，如图阴影所表示的平面区域即为不等式组所表示的平面区域．
利用二元一次不等式(组)的平面区域解决问题，充分体现了数形结合的思想，利用它可以证明如下问题：
1．写出平面区域表示的二元一次不等式组
[例4] 已知区域D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界和内部)，写出表示区域D的不等式(组)．
解析：直线AB，AC，BC的方程分别是7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0，因为原点在区域内，
所以表示区域D的不等式组为
[变式训练4] 由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为________．
解析：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如下图所示．
取原点(0,0)，将x＝0，y＝0代入x＋y＋2得2>0；代入x＋2y＋1得1>0；代入2x＋y＋1得1>0.
结合图形可知：三角形区域用不等式组可表示为
2．由二元一次不等式(组)表示的平面区域求未知参数的范围
[例5] 设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
解析：将B、C的坐标代入4x－3y－a得(14－a)(－18－a)<0，解得－18解析：如下图所示，可行域为图中的阴影部分．
由已知直线可知A(3,8)，B(1,9)，显然当y＝ax过点A、B时，a分别取得最小和最大值，由8＝a3和9＝a1可得a＝2和a＝9，所以a∈[2,9]．
答案：C
此不等式组表示的平面区域即为点N所在的平面区域．如图所示，画出此平面区域为一等腰直角三角形，面积为4.
答案：C
答案：C
[变式训练7] 满足|x|＋|y|≤4的整点(横纵坐标均为整数的点)(x，y)的个数为
( )
A．16 B．17
C．40 D．41
解析：第一象限内(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(3,1)；同理其他象限也各有6个，x，y轴上各有9个，但原点重复，所以共41个．
答案：D本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
等差数列 复习学案
一、课标要求：
1．通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。
2．探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关的知识解决相应的问题。
4．体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。
二、课前热身
（一）等差、等比数列中的“知三求二”问题（等差、等比数列中，围绕an，sn分别有两套公式，均含有五个量：a1，n，an，Sn，d（q）。已知其中三个量，可以求其余两个量。
练习1： （06全国文）已知{an}为等比数列，a3=2，a2+a4=，求{an}的通项公式。
练习2：已知等差数列{an}，a1=，d=-，Sn= -5。求：n与an
（二）灵活应用等差、等比数列的通项公式
练习1等比数列{an}中，如果a6=6，a9=9，求a3（两种方法）
（三）灵活应用等比数列前n项和公式
练习1．已知等比数列的前4项和为1，且公比为2，求此数列的前8项的和。
二、典例解析
例1：已知等差数列{an}，若a3+a5+ a13+a21+ a23=20，求S25
解析：等差数列{an}的一条重要性质：若m、n、p、q∈N且m+n=p+q，则am+an= ap+aq；
特别地：m+n=2s则am+an=2as，简记为：“两项和等于两项和”
类比变式1：已知等比数列{an}中，an>0，a2a4+2 a3a5+ a4a6=25，求a3+a5
变式练习：已知等差数列{an}、{bn}，且，求的值。
例2．设{an}为等差数列，其前n项和记为Sn。已知S7=7，S15=75，Tn为 的前n项和，求Tn
解析：数列{an}为等差数列，其前n项和记为Sn，可推导出数列也是等差数列。
例3．已知等比数列{an}前n项和记为48，前2n项和为60，求前3n项的和。
解析：本题可用等比数列前n项和求解，亦可用等比数列的性质：Sn，S2n- Sn，S3n- S2n也是等比数列。
三、等差数列前n项和最值的问题
例4．已知等差数列{an}，a1<0，d≠0，且|a3|=|a9|，n为何值时，Sn最小。
解析：若a1<0，d>0，等差数列{an}的前n项和有最小值。（最大值的情况类似）
方法一：由解出n的范围，从而定此范围内的自然数n。（若an=0，则Sn和Sn-1同时取最小值。
方法二：因为等差数列前n项和公式知，Sn可以看作是n的二次函数，其图象是抛物线，离对称轴最近的自然数n0是Sn取最值的n
例5．等差数列{an}，a1>0，S3=S11，n为何值时，Sn有最大值。
变式练习1：等差数列{an}，a1>0，S12=0，n为何值时，Sn有最大值。
变式练习2：等差数列{an}，a1>0，S13=0，n为何值时，Sn有最大值。
变式练习3：等差数列{an}的前n项和为Sn，已知：a3=12，S12>0，S13<0。（1）求公差d的取值范围；（2）求当家作主n为何值时，Sn取最大值。
思考题：{an}是首项为1010，公比为q（q>0）的等比数列，数列{bn}中 ，bn+1=lgan+bn
（1）若数列从第4项起开始小于10，试求q的变化范围；（2）当q在上述范围内变化时，数列{bn}的最大项是第几项？
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基本不等式与最大（小）值
基本不等式
如果都是正数, 那么 ,
当且仅当 都是正数时, 等号成立.
问题
把一段16 ㎝ 长的铁丝弯成形状不
同的矩形，什么时候面积最大？
2. 在面积为16 c㎡ 的所有不同形状
的矩形中，什么情况周长最小
这表明， 都为正数时，下面的命题成立：
(1)若 (和为定值), 则
当 时, 积 取得最大值 ;
(2)若 (和为定值), 则当
时, 和 取得最小值 .
例题1
(1)求函数 的最小值;
(2)已知 ，求函数
和 的最大值;
利用上述命题求最大值或最小
值时,应注意:
1. 一定要是正数;
2. 求积 最大值时, 应看和
是否为定值;求 最小值时,
看积 是否为定值;
3.等号是否成立.
例2 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间. 一面可利用原有的墙, 其它各面利用钢筋网围成.
(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的
长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大
（2）若使每间虎笼面积为 24 ㎡，则每间虎
笼的长、宽各设计为多少时, 可使围成四间虎笼
的钢筋网总长最小
？
练习1
某种变压器的截面是正十字形, 为了保证
有一定的磁通量, 需要确定面积, 如果十
字形芯片的截面积为 , 应如何设计十
字形的长 及宽 , 才能使十字形外接圆
的周长最短.
练习2
要挖一个面积为 432㎡ 的矩形鱼池, 周围分
别是宽为 3m 和 4m 的堤堰, 要想占地总面
积最小, 鱼池的长和宽应为多少 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域
跟踪练习题
一．选择题：（5×8=40）
1. 不在表示的平面区域内的点是（ ）
A.（0，0） B.（1，2） B.（2，1） D.（ 3，1）
2. 不等式表示的区域在直线的（ ）
A.右上方 B.左上方 C.右下方 D.左下方
3. 下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（ ）
A． B． C． D．
4. 在平面直角坐标系中，可表示满足不等式的点的集合（用阴影部分来表示）的是（ ）
5. 若点到直线的距离为4，且点在不等式表示的平面区域内，则实数的值为（ ）
A.7 B.－7
C.3 D.－3
二．填空题：（3×10=30）
6. 若点（2，1）和（4，3）在直线0的两侧，则a的取值范围是 .
7. 由直线，和围成的三角形区域(包括边界)用不等式(组)可表示为
8. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为
三．解答题：（2×15=30）
9. 画出不等式组表示的平面区域。
10. 若以连续掷两次骰子（各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6）分别得到点数m.n作为P的坐标，求点P落在不等式组表示的平面区域内的概率.
练习题参考答案：
一．选择题：
1.D 2.D 3.C 4. D 5. D
答案提示：
1 . 因为，所以点D（3，1）不在表示的平面区域内.
2. 取原点（0，0），因为，且原点在直线的左下方，所以不等式表示的区域在直线的左下方.
3. 将四个点的坐标分别代入不等式组，满足条件的是.
4. 将（0，1）与（0，-1）两点代入验证知选D项.
5. 因为，所以或，又因为，
，所以适合题意.
二．填空题：
6. 7. 8. 1
答案提示：
6. 由题意知，即，所以
7. 画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图3所示．取原点（0，0），将x=0，y=0代入得，代入得，代入
得，所以三角形区域用不等式（组）可表示为
8. 直线x+y=0和直线x-y+4=0的交点为（-2，2）它到直线x=a的距离为a+2，所以所以.
三．解答题：
9. 解：不等式表示直线下方的区域；不等式表示直线上方的区域。取两区域重叠的部分就是不等式组所表示的区域。图中的阴影部分就是（不包括直线）。
10. 解：不等式组表示的平面区域如图6所示
阴影部分，
以连续掷两次骰子得到的点数为坐标的点P落在图中
阴影部分的是（1，1），（1，2），（1，3），
（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2），（4，1）共10个，
而连续掷两次骰子得到的点数为坐标的点P共36个，
所以点P落在不等式组表示的平面区域内的概率为.
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数学导学案设计
第三章第节 课题名称 简单线性规划的应用
授课时间 第 周星期 第 节 课型 新授课
学习目标 从实际情境中抽象出简单线性规划问题并解决
重点难点 列出约束条件及写出目标函数
学习过程与方法 自主学习：若实数满足求的最大值及最小值
2.精讲互动：例1：某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t),能使利润总额达到最大 例2 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ： 在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是：1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解
3达标训练：①咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g．已知每天原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖3000g,如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？ ②某家具厂有方木材90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元（1）怎样安排生产可以获利最大？（2）若只生产书桌可以获利多少？（3）若只生产书橱可以获利多少？
课堂小结 解线性规划应用问题的一般步骤：1）理清题意，列出表格：2）设好变元并列出不等式组和目标函数3）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；4）在可行域内求目标函数的最优解5)还原成实际问题（准确作图，准确计算)
作业布置
课后反思
审核 备课组（教研组）： 教务处：
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规格类型
钢板类型
第一种钢板
A规格
B规格
C规格
2
1
2
1
3
1
第二种钢板
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一元二次不等式的应用
1．要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是（ ）
A．－1＜a＜1
B．a＜－1或a＞1
C．－1＜a＜1
D．a＜－2或a＞1
2．不等式的解集是_____________．
3．不等式的解集是______________．
4．不等式的解集是______________．
5．写出下列不等式的解集
（1）
（2）
（3）．
6．已知不等式的解集为R，求实数a的范围．
7．不等式的解集为，则a＝_________．
8．若三、四象限角．，则的取值范围是________．
9．解不等式
（1）；
（2）
10．若函数的函数值大于0恒成立，求实数a的取值范围．
11．解关于的不等式．
12．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上收入，应怎样制定这批台灯的销售价格．
13．行驶中的汽车在刹车时，由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某型号车的刹车距离(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：（为常数，）我们做这两次刹车实验，有数据如上图，其中．
(1)求出的值；
(2)要求刹车距离不超过18.4m，则行驶的最大速度应为多少？
14．据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起，多长时间之后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约多长．
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基本不等式
一、填空题：（每小题5分，计50分）
1.若x>0,y>0且，则xy的最小值是 ；
2.若x、y且x+3y=1，则的最大值 ；
3.若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 ；
4.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy最大值为 ；
5.点（x，y）在直线x+3y-2=0上，则最小值为 ；
6.若数列{}的通项公式是则数列{}中最大项 ；
7.设a，b，a+2b=3 ，则最小值是 ；
8.当x>1时，则y=x+的最小值是 ；
9.已知不等式（x+y）对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ；
10.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.
二、解答题：（12分×3+14分，计50分）
11.在△ABC中，已知A=600，a=4，求△ABC的面积的最大值.
12.已知x＞y＞0，求的最小值及取最小值时的x、y的值.
13.已知a、b、c都为正数，且不全相等，求证：
14.已知定点与定直线，过 点的直线与交于第一象限点，与x轴正半轴交于点，求使面积最小的直线方程.
参考答案
1.64
2.
3.6
4.4
5.9
6.
7.1+
8.8
9.4
10.20
11.4
12.当且仅当时所求的最小值是8
13.略
14.设
①时，
令，得
故
，（当且仅当时取“＝”号）
所以当时，
②当时，
由①②得，当时，，此时，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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课题 §3.4.4简单的线性规划第4课时
课型 新授课 课时 备课时间
教学目 标 知识与技能 掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
过程与方法 经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
情感态度与价值观 引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德
重点 利用图解法求得线性规划问题的最优解；
难点 把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解
教学方法
教学过程1.课题导入[复习引入]： 1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:2.讲授新课线性规划在实际中的应用： 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：[范例讲解]营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最高多？指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解3.随堂练习课本第103页练习24.课时小结线性规划的两类重要实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。 5.评价设计课本第105页习题3.3[A]组的第3题
教学反思
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3.4.3简单的线性规划的应用
本节教材分析
教材设计了两个实际问题，代表了线性规划研究的两大类问题：一类是一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力、物力安排任务；另一类是在一定量的人力、物力条件下，如何安排和使用，以获得最大效益.这两类问题的两个方面，即寻求整个问题的某种指标的最优解.
三维目标
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
教学重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；
教学难点: 把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
教学建议：
教学中应注意：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键.可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数.另外若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解，则应作适当调整，其方法应以与线性目标函数的直线的的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也是很有效的办法.教学上课适当采用多媒体和投影仪等辅助教学，以增加课堂容量，增强直观性，进而提高课堂效率.
新课导入设计
导入一
[直接导入]上节课我们探究了用线性规划解决求函数最值问题，这节课我们进一步探究有关线性规划的有关问题，看看用线性规划能解决哪些实际问题.教师出示多媒体课件，提出问题，由此引入新课.
导入二
[复习导入]生产实际中有许多问题都可归结为线性规划问题，其中有两类重要实际问题：一是一类是一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力、物力安排任务；另一类是在一定量的人力、物力条件下，如何安排和使用，以获得最大效益.
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同步检测训练
一、选择题
1．偶函数y＝f(x)和奇函数y＝g(x)的定义域均为[－4,4]，f(x)在[－4,0]，g(x)在[0,4]上的图像如下图，则不等式<0的解集为( )
A．[2,4] B．(－2,0)∪(2,4)
C．(－4，－2)∪(2,4) D．(－2,0)∪(0,2)
解析：由已知得：当x∈(－4，－2)∪(2,4)时，f(x)>0，当x∈(－2,2)时，f(x)<0，当x∈(－4,0)时，g(x)>0，x∈(0,4)时，g(x)<0.所以当x∈(－2,0)∪(2,4)时，<0，故选B.
答案：B
A．[－，－1)∪(1，]
B．(－，－1)∪(1，]
C．[－2，－1)∪(1,2]
D．(－2，－1)∪(1,2)
解析：由已知得：0答案：A
3．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(1,2)
D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：由ax－b>0的解集为(1，＋∞)，得>0 >0 x<－1或x>2.故选A.
答案：A
4．设函数f(x)的定义域是[－4,4]，其图像如图，那么等式≤0的解集为( )
A．[－2,1]
B．[－4,2]∪[1,4]
C．[－4，－π)∪[－2,0)∪[1，π)
D．不同于A、B、C
解析：在图中画正弦函数的图像，如下图所示，观察可得不等式的解集为[－4，－π)∪[－2,0)∪[1，π)，故选C.
答案：C
5．不等式<0的解集为( )
A．{x|x<－2或0B．{x|x<－2或x>0}
C．{x|－2D．{x|x<0或x>3}
解析：不等式<0 x(x＋2)(x－3)<0，由穿针引线法得解集为{x|x<－2或0答案：A
6．不等式<2的解集为( )
A．{x|x>2} B．{x|x<}
C．{x|0}
解析：当x>0时，得2x>1，x>，所以x>；当x<0时，得2x<1，x<，所以x<0，综上{x|x>或x<0}，故选D.
答案：D
7．不等式(x2－4)(x－6)2≤0的解集为( )
A．{x|－2≤x≤2}
B．{x|x≥2或x≤－2}
C．{x|－2≤x≤2或x＝6}
D．{x|x≥2}
解析：(x2－4)(x－6)2≤0 (x－2)(x＋2)(x－6)2≤0.
∵(x－6)2≥0，∴(x－2)(x＋2)≤0或x－6＝0.
∴{x|－2≤x≤2或x＝6}．
答案：C
8．设全集I＝R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|≥1}，如图，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|x<2} B．{x|－2C．{x|－2≤x≤2} D．{x|1解析：图中阴影部分就是M的补集与N的交集，先化简集合M和N，通过运算可知应选D.
答案：D
9．已知函数f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，2－1)
C．(－1,2－1) D．(2－1，＋∞)
解析：通过换元使问题转化为一元二次含参数不等式在(0，＋∞)上恒成立的问题．设3x＝t>0，则t2－(k＋1)t＋2>0在t>0时恒成立．①Δ<0时，(k＋1)2－8<0，所以－2－10，所以t2≠0，即t1≤t2<0，所以t1＋t2＝k＋1<0，即k≤－2－1，由①②可知k的取值范围为(－∞，2－1)，故选B.
答案：B
10．根据调查，某厂生产的一种产品n月份盈利为f(n)万元(n＝1,2，…，12)，其近似地满足f(n)＝e(13n－22－n2)(e＝2.718…)，为了获取一年的最大利润，那么该产品每年只要生产( )
A．11个月 B．10个月
C．9个月 D．8个月
答案：D
二、填空题
11．若a>1，则不等式(x－a)(x－)>0的解集为________．
解析：方程(x－a)(x－)＝0的两根为
x1＝a，x2＝，
又a>1时，a>，
∴不等式(x－a)(x－)>0的解集为
{x|x>a或x<}．
答案：{x|x>a或x<}
12．设函数f(x)＝若f(a)>a，则实数a的取值范围是________．
解析：若a≥0，则a－1>a，∴a<－2不成立．
若a<0，则>a，
∴a>1或a<－1，从而a<－1.
答案：(－∞，－1)
≤2－1 x－＋1≤－1 ≤0 ≤0.由数轴标根法易知不等式的解集为{x|x≤－3或0答案：{x|x≤－3或014．关于x的不等式ax＋b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为________．
解析：ax＋b>0的解集为x>1，可知a>0，且x＝1是方程ax＋b＝0的根，即a＋b＝0，∴b＝－a，则>0，
∴>0.
当x>1时，(x＋1)(x－6)>0，x<－1或x>6，取x>6；
当x<1时，(x＋1)(x－6)<0，－1综上解集为{x|x>6或－1答案：{x|x>6或－1三、解答题
15．设不等式mx2－2x－m＋1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
解析：以m为主元构造函数f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
问题转化为f(m)在[－2,2]内恒为负值，
故有
故x的取值范围为(，)．
16．解不等式：<0.
解析：解法1：原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成：
①②
解①得x<－3或x>3，解②得－2综上可得，原不等式的解集是{x|x<－3或－23}．
解法2：原不等式化为>0，又等价变形为(x＋3)(x＋2)(x－1)(x－3)>0.
各因式的根(从小到大排列)是－3，－2,1,3.如上图所示，可得原不等式的解集为{x|x<－3或－23}．
17．解关于x的不等式：x＋>a＋(a>0)．
解析：原不等式可化为：(x－a)＋(－)>0，即>0，即>0等价于x(x－a)·(x－)>0，又a－＝＝.∴当a>1时，a>，原不等式的解为0a；当a＝1时，原不等式可化为x(x－1)2>0，∴原不等式的解为x>0且x≠1；当0.综上得，原不等式的解为：当a>1时，x∈(0，)∪(a，＋∞)；a＝1时，x∈(0,1)∪(1，＋∞)；当018．某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t h内供水总量为120(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80 t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 h内，有几个小时出现供水紧张现象．
解析：(1)设t h后蓄水池中的水量为y t，则y＝400＋60t－120，设＝x，则x2＝6t(x∈[0,12))，
∴y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40.
∵x∈[0,12]，故当x＝6即t＝6时，ymin＝40.
即从供水开始到第6 h时，蓄水池中水量最少，为40 t.
(2)依题意，得400＋10x2－120x<80，
即x2－12x＋32<0.解得4又x2＝6t，∴16<6t<64，∴又－＝8，
所以每天约有8 h供水紧张．
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等比数列习题集
一．选择题。（每题5分，分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
设是由正数组成的等比数列，且公比不为1，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．与公比的值有关
2．已知是等比数列，且，，那么（ ）
A． 10 B． 15 C． 5 D．6
3．设是正数组成的等比数列，公比，且，那么（ ）
A． B． C． D．
4．三个数成等比数列，其和为44，各数平方和为84，则这三个数为（ ）
A．2，4，8 B．8，4，2 C．2，4，8，或8，4，2 D．
5．等比数列的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，由的前n项的和是（ ）
A． B． C． D．
6．若等比数列的前项之和为，则等于（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
7．一个直角三角形三边的长成等比数列，则（ ）
A．三边边长之比为， B．三边边长之比为，
C．较小锐角的正弦为， D．较大锐角的正弦为，
8．等比数列的和为定值m(m>0)，且其公比为q<0，令，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知是数列的前n项和,那么（ ）
A．是等比数列 B．当时是等比数列
C．当,时是等比数列 D．不是等比数列
10．认定：若等比数列的公比q满足，则它的所有项的和，设。则（ ）
A． B． C． D．
11.若数列是等比数列，下列命题正确的个数是（ ）
①，是等比数列 ②成等差数列 ③，成等比数列 ④，成等比数列。
A． 5 B．4 C．3 D．2
12．等比数列中，公比，用表示它的前n项之积，则中最大的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题。（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。）
13.有三个正数成等比数列，其和为21，若第三个数减去9，则它们成等差数列，这三个数分别为_____________。
14．若不等于1的三个正数a，b，c成等比数列，则_______。
15．在等比数列中，，，使的最小自然数n=________。
16．若首项为，公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项公比q的一组取值可以是
_________。
三．解答题。（本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题10分） 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。
18．（本小题10分）设是由正数组成的等比数列，是其前n项和，
证明。
19． （本小题12分）为等差数列，中的部分项组成的数列恰为等比数列，且，求。
20．（本小题12分）设有数列，，若以为系数的二次方程都有根，且满足。
（1）求证：数列是等比数列。
（2）求数列的通项以及前n项和。
答案：
一．1．A 2．C 3．B 4．C 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．C 11．D 12．C
二．13． 1，4，16或16，4，1， 14。2 15。 6 16。
三．17解：设这三个数分别为，则 -------------4分
由得，代入得 -----------------------7分
当时，这三个数分别为1，3，9；
当时，这三个数分别为；
当时，这三个数分别为9，3，1；
当时，这三个数分别为。 ----------------------------------10分
18．证明：设的公比为，由题设知，
当时，，
从而
-----------------------------------4分
当时，，
从而
--------------------------------------8分
即 ------------------------------------10分
19．解：设等差数列的公差为d，等到比数列的公比为q，则
则题意得，
即
又 --------------------------------4分
由是等差数列，有
---------------------------------8分
由（1）（2）得
---------------------------------12分
20．解：（1）， 代入得
数列是等比数列。 ----------------------------------5分
（2）因为数列是公比为的等比数列，且其首项为
所以
即。 ------------------------------------8分
--------------------------------------12分
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等差数列
一.选择题：
1、等差数列｛an｝中，a1=60,an+1=an+3则a10为……………………………… （ ）
A、-600 B、-120 C、60 D、-60
2、若等差数列中，a1=4,a3=3,则此数列的第一个负数项是…………………… （ ）
A、a9 B、a10 C、a11 D、a12
3.若数列的通项公式为，则此数列是 （ ）
A.公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列
C.首项为的等差数列 D. 公差为的等差数列
4. 已知｛an｝是等差数列，a7+a13=20，则a9+a10+a11=…………………… （ ）
A、36 B、30 C、24 D、18
5.等差数列的一个通项公式为 （ ）
A. B. C. D.
6.若是等差数列，则，，，，，是 （ ）
A.一定不是等差数列 B. 一定是递增数列
C.一定是等差数列 D. 一定是递减数列
二.填空题：
7.等差数列中，，，则 .
8.等差数列中，，，则 .
9.已知等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则 .
10. 若｛an｝是等差数列，a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8= .
三.解答题
11.判断数，是否是等差数列:中的项，若是，是第几项？
12. 等差数列｛an｝中，a1=23，公差d为整数，若a6>0,a7<0.
（1）求公差d的值;
（2）求通项an.
13、若三个数a-4, a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列.
等差数列
1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.C 7.10 8.21 9. 10. 3
11.由题意知,由,得,∴52不是该数列中的项.
又由解得,∴是数列中的第项.
12. （1）d=-4;（2）an=-4n+27
13．a=6，相应的数列为：2，8，14
a=9，相应的数列为：5，8，11
a=12，相应的数列为：2，8，14
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基本不等式与最大（小）值学案
学习目标：
能利用基本不等式与最大（小）值。
学习重点、难点：能利用基本不等式与最大（小）值过程中的变形。
学习过程：
1、 课前准备
自主学习
复习：，大小关系
阅读P90-91
二、新课导入
设置情境：
把一段16cm长细铁丝，弯成形状不同的矩形，边长为4cm正方形，长为5cm宽为3cm的矩形，长为6cm宽为2cm的矩形，等…
①试判断那种形状的面积最大；
②如何判断这种情况下面积最大。
1、,若（和s为定值），当且仅当时，积有最大值且为____________即有__________________
2、,若（积p为定值）当且仅当时，和有最大值且为____________即有__________________
自主测评
1、，且，则的最小值是（ ）
A、0 B、 C、 D、
2、下列函数中最小值是2的为（ ）
A、 B、
C、 D、
3、，，则有（ ）
A、最小值64 B、最大值64 C、最小值 D、最大值
三、巩固应用
例1：若，且2x+5y=20,求的最大值，
变式1、已知2x+5y=20，求最小值；
变式2、已知x+3y-2=0,求最小值。
例2：已知
变式1、已知
变式2、已知
变式3、函数的值域是；若（x＜1）呢？
变式4、已知函数时，函数最大值m最小值n,求m-n
例3：已知函数求它的的最小值。
变式、当x为何值时，有最小值
四、总结提升
1、利用上述两个结论时实数x,y,应该满足什么条件；
2、若实数x,y为负，应该如何处理；
3、利用上述两个结论时，若和（积）不为定值时应该如何转化。
五、能力拓展
1、求函数
2、已知满足2x+y=1,求
3、当
自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？
作业：P92 T3 P95 A T1-3
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正弦定理 学案
【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在RtΔABC中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即 = 。
2. 在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|= = ，即 ，同理得 ，故有 。
3. 在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|= = ，即 ，故有 。
【典例解析】
例1 已知ΔABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小：
（1）A=600，B=450，a=10；（2）a=3,b=4,A=300；（3）a=5,b=2,B=1200；（4）b=,c=6,B=1200.
例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
【达标练习】
1. 已知ΔABC，根据下列条件，解三角形:
(1)A=600，B=300，a=3；（2）A=450，B=750，b=8；（3）a=3，b=，A=600；
2.求证：在ΔABC中，
3.应用正弦定理证明：在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.
4．在ΔABC中，sin2A+sin2B=sin2C,求证：ΔABC是直角三角形。
参考答案
【预习达标】
1．a,b,. 2.bsinA asinB ,, ,=.
3. .bsinA asinB ,, =.
【典例解析】
例1(1)C=750，b=,c=(2)B≈41.80,C≈108.80,c≈5.7或B≈138.20，C≈11.80，c≈1.2(3)无解（4）C=450，A=150，a≈2.2
例2证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，
得，，
两式相除得
【双基达标】
1．（1）C=900，b=,c=2(2)C=1200,a=88 ,c=
(3)B=600,C=900,c=2
2．证明：设，则
3．(1)设A>B，若A≤900,由正弦函数的单调性得sinA≥sinB,又由正弦定理得a≥b；若A>900，有A+B<1800,即900>1800-A>B, 由正弦函数的单调性得sin(1800-A)>sinB,即sinA>sinB, 又由正弦定理得a>b.(2)设a>b, 由正弦定理得sinA>sinB,若B≥900,则在ΔABC中A<900,
有sinA>sin（1800-B）由正弦函数的单调性得A>1800-B,即A+B>1800,与三角形的内角和为1800相矛盾；若A≥900,则A>B；若A<900,B<900, 由正弦函数的单调性得A>B.综上得，在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.
4．略
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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A
B
C
D
A
B
C
D
β
β
α
1800 α
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第04讲： 基本不等式
高考《考试大纲》的要求：
① 了解基本不等式的证明过程
② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题
（一）基础知识回顾：
1.定理1. 如果a,b,那么，（当且仅当_______时，等号成立）.
2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么______________（当且仅当_______时，等号成立）.
称_______为a,b的算术平均数，_____为a,b的几何平均数。基本不等式又称为________.
3. 基本不等式的几何意义是：_________不小于_________. 如图
4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）
即: （1）和、积中的每一个数都必须是正数；
（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；
简记为：和定积最_____，积定和最______.
（3）只有等号能够成立时，才有最值。
（二）例题分析：
例1．（2006陕西文）设x、y为正数，则有(x+y)()的最小值为（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
例2．函数的值域是_________________________.
例3（2001江西、陕西、天津文,全国文、理） 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为，画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？
（三）基础训练：
1.设且则必有( )
(A) (B)
(C) (D)
2.（2004湖南理）设a＞0, b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）
（A）≥4 （B）≥
（C）≥ （D）≥
3.（2001春招北京、内蒙、安徽文、理）若为实数，且，则的最小值是（ ）
（A）18 （B）6 （C） （D）
4. 已知a,b,下列不等式中不正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5．（2005福建文）下列结论正确的是（ ）
A．当 B．
C．的最小值为2 D．当无最大值
6. 已知两个正实数满足关系式, 则的最大值是_____________.
7.若且则中最小的一个是__________.
8.（2005北京春招文、理）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：。
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？
（四）拓展训练：
1.(2000全国、江西、天津、广东）若,P=,Q=,R=,则（ ）
（A）R2．若正数a、b满足ab=a+b+3，分别求ab与a+b的取值范围。
参考答案
第04讲： 基本不等式
（二）例题分析： 例1． C； 例2．；
例3解：设画面高为x cm，宽为λx cm，则λ x2 = 4840．
设纸张面积为S，有S = (x＋16) (λ x＋10)= λ x2＋(16λ＋10) x＋160，
将代入上式，得．
当时，即时，S取得最小值．
此时，高：，宽：．
答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．
（三）基础训练： 1. B； 2. B； 3. B； 4. B 5．B； 6. 2 ; 7.
8. 解：（Ⅰ）依题意，
（Ⅱ）由条件得
整理得v2－89v+1600<0, 即（v－25）（v－64）<0, 解得25答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．
（四）拓展训练：1. B;
2．解：因为a、b是正数，所以，即，
法一：令，则，由ab=a+b+3≥2+3，得，（t>0）
解得t≥3, 即 ，所以ab≥9,a+b=ab-3≥6.
法二：令，则由ab=a+b+3可知a+b+3 =，得，（x>0）
整理得，又x>0，解得x≥6,即a+b≥6，所以ab=a+b+3≥9.
答： ab与a+b的取值范围分别是与。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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1．1 数列的概念
1．2 数列的函数特性
一、数列的概念
按照①________排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的②________.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做③________)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中，an是这个数列的第④________项，也叫做这个数列的⑤________.
友情提示：关于数列概念的理解应注意的几点事项：
(1)数列是按一定“次序”排成的一列数，一个数列不仅与组成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关．因此，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
(2)数列与数集的区别与联系：数列与数集都是具有某种共同属性的数的全体．数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的；
(3)数列的项与它的项数是不同的概念：数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n；
(4)次序对于数列来讲是十分重要的，若两个数列中有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别．
二、数列的分类
1．根据数列的项数，可以将数列分为两类：
(1)有穷数列：项数⑥________的数列；
(2)无穷数列：项数⑦________的数列．
2．根据数列的增减性，可以将数列分为以下几类：
(1)递增数列：从第2项起，每一项都大于它前面的一项的数列叫做⑧________；
(2)递减数列：从第2项起，每一项都小于它前面的一项的数列叫做⑨________；
(3)常数数列：数列的各项都是常数的数列叫做⑩________；
(4)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做 ________.
三、数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作 ________的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时，该函数所对应的一列 ________就是这个数列．
四、数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用 ________来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．由通项公式可以写出数列的任一项．
友情提示：对于通项公式的理解应注意以下几点：
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的表达式；
(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n，就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是该数列中的一项，如果是的话，是第几项；
(3)正如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有数列都有通项公式；
(4)有些数列的通项公式，在形式上并不一定是唯一的．
例如：数列－1,1，－1,1，…的通项公式可写成
an＝(－1)n，也可写成
这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列；
(5)由(4)知，数列的通项公式可以用分段形式写出，这与函数有分段函数的道理是一样的．
五、递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前n－1项)，且从第2项(或第n项)开始的任何一项an与它的前一项an－1(或前n－1项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 ________.
例如数列1,3,7,15，…中，an＝2an－1＋1(n>1)称为递推公式，这里特别提醒的是：递推公式虽然也是数列的一种表示方法，但递推公式并不是该数列的通项公式．事实上，该数列的通项公式可写成an＝2n－1(n∈N*)．
六、数列的表示方法
数列作为一种特殊函数，与函数一样，有三种表示方法：解析法、列表法、图像法．解析法主要是指数列的 ________与 ________，这是给出数列的两种重要方法．
例如数列1,3,5,7,9，…：
(1)数列的通项公式
如果数列{an}的 ________的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，由通项公式可以写出数列的任一项．
仔细观察数列各项，不难发现：1＝2×1－1；3＝2×2－1；5＝2×3－1；7＝2×4－1；9＝2×5－1；……故an＝2n－1(n∈N*)，此时an就是数列的通项公式．
数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号．我们还应注意到这里{an}与an是不同的：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；而an只表示这个数列的第n项．这里{an}是数列的简记符号，并不表示一个集合．
(2)数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫这个数列的 ________.
仔细观察数列前后项关系，不难发现3＝1＋2；5＝3＋2；7＝5＋2；9＝7＋2；……故an＋1＝an＋2(n∈N*)，这个公式就叫做数列的递推公式．
(3)数列的列表、图像表示
①列表法就是 ________来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．
如本题数列可用下面表格形式表示出来：
这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射．因此，从映射、函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值．
序号n 1 2 3 4 5 …
项an 1 3 5 7 9 …
②图像法就是用图像来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．数列的图像是 ________，能直观地表示出数列的变化情况．
以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图，就可以得到数列的图像，数列的图像是一系列孤立的点．
答案：
①一定顺序 ②项 ③首项 ④n ⑤通项 ⑥有限 ⑦无限 ⑧递增数列 ⑨递减数列 ⑩常数数列 摆动数列 定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})上 函数值 一个公式 递推公式 通项公式 递推公式 第n项与序号n之间 递推公式 列出表格 一系列孤立的点
1.数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？
数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．数列与函数之间的关系，是特殊与一般的关系．数列中的项是按一定顺序排好的一列数，当把数列看作函数时，数列的项的集合对应于函数的值域，但数列{an}与函数f(n)＝an(n∈N＋)是不同的，{an}中的元素具有有序性，如将a1，a2，a3，…，an排成a3，a1，a2，…，an则为不同的数列，而对于函数f(n)＝an(n∈N＋)来说却是一样的．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是一个难点，克服这个难点的关键是什么？如何找出各项共同的构成规律得出通项公式呢？
一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式an＝f(n)来表示，这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的通项公式的作用在于当用序号代替通项公式中的n，可以求出数列的各项，数列的通项公式确定了，数列也就确定了．
(1)不是所有的数列都能写出它的通项公式，如π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值构成的数列，即：3,3.1,3.14,3.141，…就没有通项公式；
(2)同一个数列的通项公式不一定是唯一的，如数列－1，1，－1,1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝－sin( )π(n∈N＋)等等，仅由前几项可以归纳出无限多个通项公式；
(3)对某些数列，通项公式可写成一个式子，也可用分段式表达，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式还可以写成：
[例1] 下列说法正确的是 ( )
A．数列可以看做是一个定义域为正整数集N＋的函数
B．数列可以看作是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值
C．数列可以看作是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数
D．数列可以看作是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数值
解析：B中的{1,2,3，…，n}不能省略，如果只留下“N＋(或其有限子集)”几个字，很容易产生误解．同时不能认为只有定义在N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数将其函数值排列好才形成数列．例如定义在实数集R上的函数y＝f(x)，函数值f(0)，f()，f()，f(π)，…就是一个数列，它与数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…是不同的数列．这说明：数列可以看成一类特殊函数的有序排列好的函数值，但不是这一类的特殊函数，其函数值也能有序排列好，从而形成数列．
答案：B
[变式训练1] 下列说法中，正确的是 ( )
A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同数列
C．数列 的第k项为1＋
D．数列0,2,4,6,8，…可记作{2n}
解析：解此题需对数列{an}与集合的含义理解透彻，A中{1,3,5,7}表示的是集合而不是数列，B中数列中的各元素是有顺序的，D中的{2n}并不能把前边的数列体现出来．
答案：C
已知数列的前几项，写出数列的一个通项公式．解决这一问题的方法是：①通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系；②如果关系不明显时，可将之同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现出来，便于找通项公式；③要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等；④符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整；⑤分式的分子、分母分别找通项，同时，还要充分借助分子、分母的关系．另外，值得注意的是并不是所有的数列都有通项公式，有些数列的通项公式不止一个．
因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，应多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循，仁者见仁，智者见智．此类题目正是考查学生聪明才智之处，还望学生们认真总结、细心钻研才是．
(5)显然各项的分子均为1，其关键在分母上，而分母的规律不是很明显，注意到分母组成的数列1,3,7,13,21，…，递增速度也有点像平方数列，不妨从每一项对应减去平方数列的项组成数列0,1,2,3,4，…，其规律也就明显了．
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
[例3] 根据数列{an}的通项公式，写出这个数列的前4项：
[变式训练3] 数列{an}的通项公式是an＝
(n∈N*)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
分析：若某个数是数列的某一项，则在通项中必存在一个正整数n与其对应，否则就不是数列中的项．
(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，则
解得m＝10.
∴数列{an}中存在连续的两项第10项与第11项相等．
数列的项与项数之间构成特殊的函数关系．因此，涉及数列性质如单调性，最值问题等均可仿照求函数单调性，最值问题的方法来研究，不过在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意到函数的定义域为正整数集这一约束条件．
[例4] 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
[变式训练4] 一个数列的通项公式为an＝30＋n－n2.
(1)问－60是否为这个数列中的项？
(2)当n分别为何值时，an＝0，an>0，an<0；
(3)当n为何值时，an有最大值，并求出最大值．
解析：(1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0，
∴n＝10或n＝－9(舍)，
∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60.
(2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0.
∴n＝6或n＝－5(舍)，即当n＝6时，an＝0.
同理，令30＋n－n2>0，即n2－n－30<0.
解不等式，得－5∴当n等于1,2,3,4,5时，an>0.
令30＋n－n2<0，解不等式，得n>6或n<－5.
又∵n∈N*，∴当n>6且n∈N*时，an<0.
已知数列{an}的通项公式，要讨论这个数列的单调性，即比较an与an＋1的大小关系，可以作差比较，即证an－an＋1>0(或an－an＋1<0)，也可以作商比较，前提条件是数列各项为正，即an>0，则只要证 >1(或 <1)．
[例5] 在数列{an}中，an＝(n＋1) (n∈N*)．
(1)求证：数列{an}先递增，后递减；
(2)求数列{an}的最大项．
[变式训练5] 设函数f(x)＝log2x－logx2(0(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列的单调性．
通项an与前n项和Sn有如下关系：
此关系式是数列问题中“和”“项”转化的纽带．在数列知识的学习中占有重要的地位．望同学们仔细体会此关系式的应用过程及注意事项．
[例6] (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列通项公式an；
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝5n－3，求数列通项公式an.
解析：(1)∵数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，
∴当n＝1时，a1＝S1＝2·12－3·1＝－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.
由此式中令n＝1，也得a1＝－1，
∴a1适合an＝4n－5(n≥2)．
故数列的通项公式为an＝4n－5.
(2)∵数列的前n项和Sn＝5n－3，
∴当n＝1时，a1＝S1＝5－3＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(5n－3)－(5n－1－3)
＝4·5n－1.
此式中令n＝1，得a1＝4，
∴a1不适合an＝4·5n－1(n≥2)．
[变式训练6] 已知Sn是数列{an}的前n项和且Sn＝3n，n∈N*，求此数列的通项公式．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1，
显然a1不适合上式．
1．递推公式
如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种重要形式．有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化．
2．递推法
通过给出数列的某几项(初始值)和递推公式给出数列的方法叫做递推法，这个数列叫做递推数列．
[例7] 已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n＋1)(n＋2)，求an.
[变式训练7] (难题巧解)数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1a2a3…an＝n2，求它的通项公式．
分析：先化简an与an＋1的关系，再进行递推或归纳得出结论．
[变式训练8] (1)数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2(n∈N*)，求数列的通项公式．
(2)a1＝1，an＋1＝ ，求an.
解析：(1)由题意得an－an－1＝2，
an－1－an－2＝2，
an－2－an－3＝2，
……
a3－a2＝2，
a2－a1＝2.
把以上n－1个等式叠加得an－a1＝2(n－1)，
∴an＝a1＋2(n－1)＝2n(a1＝2也适合公式)．
评析：利用递推公式循序渐进，发现数列的规律和性质，找到解决问题的方法．此题求通项公式的方法叫叠加法．
[例9] (数学与日常生活)一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个．试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图像，并判断该数列的增减性．
解析：将A，B之间所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：
7,12,15,16,15,12,7,0.
填写下表：
站号 1 2 3 4 5 6 7 8
剩余邮件数 7 12 15 16 15 12 7 0
该数列的图像如下图．
它在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递减的．
[变式训练9] (探究性题)某人卖西瓜，第一位顾客买去了所有西瓜的一半加半个，第二位顾客买去所剩西瓜的一半加半个，…依次类推，每一位顾客都买所剩西瓜的一半再加半个，第八位顾客恰好把西瓜买完，问共有多少个西瓜？
分析：根据题意，列出递推关系式，然后进行求解．(共68张PPT)
和
余弦定理
正弦定理
正弦定理内容
等号两边，边角地位平等。即，要么同是分子，要么同是分母。
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边和角，如
的正弦值，如
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，
正弦定理的基本作用为：
可以求其他角
的正弦值：
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，
可以求其他角
来讨论。
第一步
第二步
第三步
例题1
返回
“三边关系定理”判断有问题
【例题2】
⒈
正弦定理第二类应用图形刻画讲解.gsp
回头看错例2
回头看错例1
余弦定理
余弦定理两种形式
余弦定理及其推论的基本作用
①已知三角形的任意两边及
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
余弦定理是勾股定理的推广
它们的夹角就可以求出第三边；
勾股定理是余弦定理的特例
例4 图
例5 图
钱报论坛QNc
以已知a,b,A,解三角形的问题为例
在这种情形下我们可以先用正弦定
理,计算出另一边的对角的正弦值
再用三角形内角和定理计算出第三个角
然后,应用正弦定理计算第三边
27纪
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如果已知的A是钝角或直角,那么必须a>b才能有解,
这时从sinB= bsin a
计算
2.如果已知的A是锐角,并且a>b或者a=b,
这时从sinB
bsin A
计算B时,也
只能取锐角的值,因此都只有一个解
3.如果已知的A是锐角,并且a我们可以分下面三种情形来讨论
(1)如果a>binA,这时从sinB=sinA
计算得sinB<1,B可以取一个锐角的值
和一个钝角的值,因此可以有两个解
(2)如果a=binA,这时从sinB=osnA
计算得sinB=1,B只能是直角,因此只有
(3)如果a< Cosin A,这时从sinB= sIn A
计算得sinB>1,但是一个角的正弦的值
已知:在△ABC中,a=22cm,b=25cm,A=133,解三角形
根据正弦定理,
sin b=bsin A-25sin 133-0.8311
因为0C=180°-(A+B)≈180°-(133°+56.21°)=-9.21
C=180°-(A+B)≈180°-(133°+123.79°)=-76.79°,(共61张PPT)
2．2 一元二次不等式的应用
一、一元二次方程的解与不等式的解之间的关系
1．一般地，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有①________解 Δ＝b2－4ac>0；ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有②________解 Δ＝b2－4ac＝0；ax2＋bx＋c＝0(a≠0)③________解 Δ＝b2－4ac<0.
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的分布问题：记f(x)＝ax2＋bx＋c，其根的情况、图像情况、不等式三者关系如下：
二、简单的一元高次不等式的解法
一元高次不等式f(x)>0用⑨________(或称数轴穿根法，根轴法，区间法)求解，其步骤是：
1．将f(x)最高次项的系数化为⑩________数；
2．将f(x)分解为若干个一次因式的积或者若干个 ________之积；
3．将每一个一次因式的根标在数轴上，从 ________依次穿过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；
4．根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出 ________.
四、用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为：
1．理解题意，搞清量与量之间的关系；
2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
3．解这个一元二次不等式得到实际问题的解．
对于高次不等式及分式不等式应如何解决，并应注意些什么问题？
1．高次不等式也是一种很常见的不等式，在许多问题中都牵涉到解高次不等式．另外，许多分式不等式也可以转化为高次不等式，解高次不等式主要使用以下三种方法：
以不等式(x＋3)(x－2)(x－4)>0为例．
方法一：原不等式可化为几个不等式(组)进行求解．
此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了“交”与“并”的思想方法．
方法二：不等式(或方程)有三个零点，－3,2,4，先在数轴上标出零点，这些零点把数轴分成了若干个区间(如下图)．
针对这些区间，逐一讨论各因式的符号，情况列表如下：
从上表可看出(x＋3)(x－2)(x－4)>0的解集为{x|－34}
因式 x＋3 x－2 x－4 (x＋3)(x－2)(x－4)
当x>4时 ＋ ＋ ＋ ＋
当2当－3当x<－3时 － － － －
方法三：先在数轴上标出零点(如下图)
根标出来后，不是分区间进行验证讨论，而是直接标出综合因式(x＋3)(x－2)(x－4)的正负号，再根据题目要求，直接写出解集为{x|－34}．
注：这种方法常称为“数轴标根法”．这种方法的本质是“列表讨论法”的简化及提炼．这样的“线”也可看成是函数y＝(x＋3)(x－2)(x－4)的图像草图．(y轴未画)．利用数轴标根法要先把x的系数化为正数，最好是1，否则很容易写错结论．
通过以上四种形式之一转化为一元一次不等式或一元二次不等式或特殊高次不等式求解.
二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图像及性质来解决问题，关系如下：
[例1] m为何值时，关于x的方程：
(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋(1－3m)＝0
(1)有两个异号实根；
(2)有两个实根，且它们之和为非负数．
[变式训练1] 若0≤x≤1，y＝x2－2ax＋a2－1，求当a为何实数值时，恒有y>0.
解析：解法1：二次函数y＝x2－2ax＋a2－1的二次项系数为1，所以它的图像开口向上，如右图所示．
令y＝0，可得图像与x轴交点横坐标x1＝a－1，x2＝a＋1且x10.由图可知x1>1或x2<0，即a－1>1或a＋1<0，∴a>2或a<－1.
解法2：由y>0，则x2－2ax＋a2－1>0.
方程x2－2ax＋a2－1＝0的两根为a－1、a＋1.且a－1a＋1或x依题意可得a＋1<0或a－1>1，即a<－1或a>2.
对分子分母含x的因式的不等式，先把不等式右边化为0，再通过符号法则，把它转化成整式不等式来解，从而使问题化繁为简．
化成标准型p(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)v0(这里的v表示>或<)．再利用穿根法写出解集，其穿根的步骤：(1)分解因式；(2)确定零点；(3)在数轴上按照从小到大的顺序标根；(4)当最高次项的系数为正时，右起为正(其中奇过偶不过)进行穿根．
(2)先化简不等式得
x(x2－2x－8)<0，分解因式，
得x(x＋2)(x－4)<0.
如右图所示，由穿针引线法可知原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0,4)．
[变式训练3] 解下列不等式
(1)x3－2x2＋3<0；(2)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.
解析：(1)原不等式转化为：(x＋1)(x2－3x＋3)<0.
对任意实数x，∵x2－3x＋3>0恒成立(Δ＝(－3)2－12<0)，
∴原不等式等价于x＋1<0.
∴原不等式的解集为：{x|x<－1}．
(2)各因式的根分别为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为3重根(1为偶次根，－1为奇次根)，结合图示，可得不等式解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．
分析：(1)根据方程根的意义，列方程组求解．(2)解含有参数k的分式不等式关键是搞清引起分类讨论的原因．
∴m的取值范围是m<－2.
解法2：不等式2x2－8x＋6－m>0对任意的x恒成立，则只需m<2x2－8x＋6对任意的x恒成立．
∵2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴2x2－8x＋6在x∈R上最小值为－2，∴m<－2.
[变式训练5] 当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2＋mx＋4，因为当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，所以有
∴m≤－5，故m的取值范围是(－∞，－5]．
答案：(－∞，－5]
[例6] 关于x的方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，求实数m的取值范围．
分析：(1)根据奇函数的定义和性质求解；(2)若用直接法求解，显得麻烦，如果能挖掘出函数的奇偶性和单调性则容易去掉“f”符号，问题便会迎刃而解．
(1)解不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解决好不等式应用题最关键的一环．
(2)不等式应用题常常以函数的形式出现，大都是解决现实生活、生产、科技中最优化结果问题，在解题中涉及不等式解法及有关问题．
(3)不等式应用题主要考查综合运用数学知识、数学方法、分析和解决实际问题的能力，考查了数学建模、反比例函数、解不等式等数学内容．
[例7] 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，问k应怎样确定？
解析：设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x(万元)，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.
因此，当2≤k≤8(单位：元)时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．
[变式训练7] 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车时还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？
解析：由题意列出不等式
0．1x＋0.01x2>12，①
0．05x＋0.005x2>10，②
分别求解，得①的解集为x<－40或x>30，得②的解集为x<－50或x>40.
由于x>0，从而可得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
又因为当x甲＝40时，s甲＝20 m比12 m大得多，
所以甲车车速没有超过40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
[变式训练8] 若二次函数y＝－x2＋mx－1的图像与两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
等差数列
一.选择题：
1、等差数列｛an｝中，a1=60,an+1=an+3则a10为……………………………… （ ）
A、-600 B、-120 C、60 D、-60
2、若等差数列中，a1=4,a3=3,则此数列的第一个负数项是…………………… （ ）
A、a9 B、a10 C、a11 D、a12
3.若数列的通项公式为，则此数列是 （ ）
A.公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列
C.首项为的等差数列 D. 公差为的等差数列
4. 已知｛an｝是等差数列，a7+a13=20，则a9+a10+a11=…………………… （ ）
A、36 B、30 C、24 D、18
5.等差数列的一个通项公式为 （ ）
A. B. C. D.
6.若是等差数列，则，，，，，是 （ ）
A.一定不是等差数列 B. 一定是递增数列
C.一定是等差数列 D. 一定是递减数列
二.填空题：
7.等差数列中，，，则 .
8.等差数列中，，，则 .
9.已知等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则 .
10. 若｛an｝是等差数列，a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8= .
三.解答题
11.判断数，是否是等差数列:中的项，若是，是第几项？
12. 等差数列｛an｝中，a1=23，公差d为整数，若a6>0,a7<0.
（1）求公差d的值;
（2）求通项an.
13、若三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列.
等差数列
1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.C 7.10 8.21 9. 10. 3
11.由题意知,由,得,∴52不是该数列中的项.
又由解得,∴是数列中的第项.
12. （1）d=-4;（2）an=-4n+27
13．a=6，相应的数列为：2，8，14
a=9，相应的数列为：5，8，11
a=12，相应的数列为：2，8，14
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