初中数学华师大版九年级上学期 第24章 24.2 直角三角形的性质习题（含解析）

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初中数学华师大版九年级上学期 第24章 24.2 直角三角形的性质
一、单选题
1.长度分别为2，3_???3???4??????_根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为(??? ) 21cnjy.com
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
2.如图，在正方形 中，点P是 上一动点(不与 重合) ，对角线 相交于点O,过点P分别作 的垂线，分别交 于点 交 于点 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤点O在 两点的连线上．其中正确的是（? ） 2·1·c·n·j·y
A.?①②③④???????????????????????????B.?①②③⑤???????????????????????????C.?①②③④⑤???????????????????????????D.?③④⑤
3.如图，在△ABC中，点D_???E?????????è??_AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （??? ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
4.如图，在?ABCD_??????AB???5_，BC＝8.E是边BC的中点，F是?ABCD内一点，且∠BFC＝90°.连接AF并延长，交CD于点G.若EF∥AB，则DG的长为（?? ） 21·世纪*教育网
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?2
5.如图，在 中， ，点H、E、F分别是边 、 、 的中点，若 ，则 的值为（?? ）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
二、填空题
6.已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为________.
7.如图，在 中， ， 、 、 分别为 、 、 的中点，若 ，则 ________. 【出处：21教育名师】
8.如图，四边形ABCD中_???AB???CD_，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为________．
9.如图，在△ABC中，AB=_AC??????BA_C的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为________.
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为32，则OH的长等于________.
三、解答题
11.如图，等腰△ABC，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD,AD=2，求BC的长.
12.如图所示,_???é????????AB_的高度时,先在地面上选择一点C,使∠ACB=15°.然后朝着旗杆方向前进到点D,测得∠ADB=30°,量得CD=13 m,求旗杆AB的高.
四、综合题
13.（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第103—104页的部分内容．
?
（1）定理证明：请根据教材图24.2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．
21·cn·jy·com
（2）定理应用：如图②，在 中， ，垂足为点D（点D在 上）， 是 边上的中线， 垂直平分 ．求证： ．

答案解析部分
一、单选题
1. B
解析：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故答案为：B．
【分析】利用三角形的三边关系定理进行判断，可得答案。
2. B
解析：∵四边形ABCD正方形，AC、BD为对角线，
∴∠MAE=∠EAP=45°，
根据题意MP⊥AC，故∠AEP=∠AEM=90°， ∴∠AME=∠APE=45°，
在三角形 与 中，
∴ ASA，
故①符合题意；
∴AE=ME=EP= MP，
同理，可证△PBF≌△NBF，PF=FN= NP，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PM⊥AC，PN⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，
∴四边形PEOF为矩形，
∴PF=OE，
∴OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO，
又∵ME=PE= MP，
FP=FN= NP，OA= AC，
∴ PM+PN=AC，
故②符合题意；
∵四边形PEOF为矩形，
∴PE=OF，
在直角三角形OPF中， ，
∴ ，
故③符合题意；
∵△BNF是等腰直角三角形，而P点是动点，无法保证△POF是等腰直角三角形，
故④不符合题意；
连接MO、NO，
在△OEM和△OEP中，
∴△OEM≌△OEP，OM=OP，
同理可证△OFP≌△OFN，OP=ON，
又∵∠MPN=90°，
OM=OP=ON，OP=12MO+NO，
根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，OP= MN，
∴MO+NO=MN，点 在 两点的连线上．
故⑤符合题意．
故答案为：B．
【分析】①根据题意及正方形的性质，即可判断 ；②根据 及正方形的性质，得ME=EP=AE＝ MP，同理可证PF=NF= NP，根据题意可证四边形OEPF为矩形，则OE=PF，则OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO，AO= AC，故证明 ；③根据四边形PEOF为矩形的性质，在直角三角形OPF中，使用勾股定理，即可判断；④△BNF是等腰直角三角形，而P点是动点，无法保证△POF是等腰直角三角形，故④可判断；⑤连接MO、NO，证明OP=OM=ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可证明．21世纪教育网版权所有
3. B
解析：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=4，
∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE= BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故答案为：B
【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．
4. D
解析：连接AC，交EF于点H，如图，
∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，
∴Rt△BCF中，EF＝ BC＝4，
∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，
∴H是AC的中点，F是AG的中点，
∴EH是△ABC的中位线，FH是△ACG的中位线，
∴ ， ，
而FH=EF-FH=4- ，
∴CG=3FH=3，
又∵CD＝AB＝5，
∴DG＝5﹣3＝2，
故答案为：D.
【分析】连接AC，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据三角形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长.www.21-cn-jy.com
5. B
解析：∵∠ACB＝90°，点H是边AB的中点，
∴AB＝2CH，
∵点E、F分别是边AC、BC的中点，
∴AB＝2EF
∴CH=EF
∵ ，
∴ =4
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可.
二、填空题
6. 8
解析：∵直角三角形斜边的长为16，
∴直角三角形斜边上的中线长是： ，
故答案为：8.
【分析】直接根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得出本题答案.
7. 5
解析：∵在 中， ， 、 、 分别为 、 、 的中点， ，则根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC＝10.根据题意判断DE为中位线，根据三角形中位线的性质，得DE∥AC且DE= AC，可得DE=5. 2-1-c-n-j-y
故答案为DE=5
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC的长度，再根据题意判断DE为中位线，根据中位线的性质即可求出DE的长度.21*cnjy*com
8.
解析：_???AD_的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF． 【版权所有：21教育】
∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，
∴OM＝ AD＝2，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGE＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝2，
∵CD＝4，
∴CG＝2，
∴OG＝2 ，GF＝ ，OF＝3 ，
∴ME≥OF﹣OM＝3 ﹣2，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3 ﹣2．
【分析】取AD的_??????O???è?????_OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．【来源：21cnj*y.co*m】
9. 5
解析：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=6，
∴∠ADB=90°，
∴AB= ，
∵E为AB的中点，
∴DE= AB=5，
故答案为：5.
【分析】首先根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可.www-2-1-cnjy-com
10. 4
解析：∵菱形ABCD的周长为32，∴AB=8，∵H为AD边中点，O为BD的中点，∴OH= AB=4.故答案为4.
【分析】利用菱形的四边相等，可求出AB的长，利用菱形的对角线互相垂直，可证△AOB是直角三角形，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出OH的长。21*cnjy*com
三、解答题
11. 解：∵ AB=AC
∴∠B＝∠C
∵∠C＝30°
∴∠B＝30°
∴∠BAC＝180°-∠B - ∠C = 120°
∵AB⊥AD
∴∠BAD＝90°
∴∠DAC＝30°
∴ AD ＝ CD
∵ AD =2
∴ CD =2
Rt△ABD中? AD=2? ∠B＝30°
∴ BD = 2AD = 4
∴ BC =? BD + CD = 4+2 =6
解析：_??¨???AB_C中，根据等腰三角形的性质，求出各内角的度数，结合AD⊥AD，可求△ADC各内角的度数，可得AD=DC，求出CD，然后在△ABD中，由含30°的直角三角形的特点可得BD的长度，则BC的长度可求.21教育名师原创作品
12. 解：在△CDA中，∠ACB=15°.
∴∠DAC+∠ACB =∠ADB =30°，可得∠DAC=∠15°;
∴∠DAC=∠ACB
∴AD=CD=13
又∵在Rt△ADB中，∠ADB=30°,
∴AB= AD=6.5m
答：旗杆AB的高为6.5m.
解析：根据三角形的外_è§???????DAC_=∠ADB-∠ACB=15°;得到AC=CD=13，然后根据直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半即可完成解答.
四、综合题
13. （1）解：延长CD到点E，使CD=DE，连接AE、BE，
∵DC是AB边上的中线，
∴AD=BD，
又∵CD=DE，
∴四边形EBCA为平行四边形，
又∵∠ACB为直角，
∴四边形EBCA为矩形，
∴AB=CE，
∴ ，
∴直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）?解：连接ED，
∵△ABC中， 是 边上的中线，
∴E为AB的中点，
又∵ ，
∴DE是直角三角形ABD斜边上的中线，
∴DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∵ 垂直平分 ，
∴DE=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵∠EDB=∠DEC+∠BCE，
∴∠EDB=2∠BCE，
∴ ．
解析：定理证明：延长CD到点E，使CD=DE，通过条件证明四边形EBCA为矩形，利用矩形的性质可得到结论；定理应用：连接ED，通过定理得到DE=BE，即∠B=∠EDB，然后通过 垂直平分 ，得到DE=DC，即∠DEC=∠BCE，利用三角形外角可证得结论．21教育网

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