2.2 函数的概念习题课 课件（41张PPT）

函数的概念及其表示习题课
问题1　请同学们浏览第2.1节 的内容，你能梳理一下本小节的学习过程吗？
复习引入
1．函数的概念及其构成要素
新知探究
新知探究
例1　求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝　　 ；
（2）f（x）＝ ；
（3）f（x）＝ ；
（4）f（x）＝ ．
追问　求解函数定义域的一般步骤是什么？
第一步：根据解析式有意义转化成不等式；
第二步：解不等式或不等式组求得原来函数的定义域．
新知探究
解：（1）要使该函数有意义，则需x－4≠0．
解得：x≠4．
所以函数f（x）的定义域为（－∞，4）∪（4，＋∞）．
例1　求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝　　 ；
（2）f（x）＝ ；
（3）f（x）＝ ；
（4）f（x）＝ ．
新知探究
例1　求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝　　 ；
（2）f（x）＝ ；
（3）f（x）＝ ；
（4）f（x）＝ ．
解：（2）要使该函数有意义，则需x2≥0．
解得：x∈R．
所以函数f（x）的定义域为R．
新知探究
例1　求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝　　 ；
（2）f（x）＝ ；
（3）f（x）＝ ；
（4）f（x）＝ ．
解：（3）要使该函数有意义，则需x2－3x＋2≠0．
解得：x≠1且x≠2．
所以函数f（x）的定义域为 {x|x≠1且x≠2}．
所以函数f（x）的定义域为（－∞，1）∪（1，4]．
解：（4）要使该函数有意义，则需
解得：
新知探究
例1　求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝　　 ；
（2）f（x）＝ ；
（3）f（x）＝ ；
（4）f（x）＝ ．

例2　下列哪一组中的函数f（x）与g（x）是同一个函数？
（1）f（x）＝x－1，g（x）＝ －1；
（2）f（x）＝x2，g（x）＝（ ）4；
（3）f（x）＝x2，g（x）＝ ．
新知探究
追问　判断两个函数是否相等的一般的步骤是什么？
第一步，求两个函数的定义域．
第二步，判断定义域是否相同．
若否，则不是相等函数，结束判断；
若是，则进行第三步．
第三步，化简两个函数的解析式，若解析式也相同，则为相等函数；若解析式不相同，则不是相等函数．
新知探究

（1）f（x）＝x－1，g（x）＝ －1；
解：第（1）组中，f（x）＝x－1的定义域为R，
所以不是同一个函数．
g（x）＝ －1的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，
新知探究
例2　下列哪一组中的函数f（x）与g（x）是同一个函数？

（2）f（x）＝x2，g（x）＝（ ）4；
解：第（2）组中，f（x）＝x2的定义域为R，
所以不是同一个函数．
g（x）＝（ ）4的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，
新知探究
例2　下列哪一组中的函数f（x）与g（x）是同一个函数？

（3）f（x）＝x2，g（x）＝ ．
解：第（3）组中，二者的定义域均为R，
所以f（x）＝x2与g（x）＝ 是同一个函数．
新知探究
且　　＝x2，因此解析式也相同，
例2　下列哪一组中的函数f（x）与g（x）是同一个函数？

（1）任给u∈A，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断v＝f（u）是否为函数并说明理由；
（2）任给v∈B，对应关系g使方程①的解v与u对应，判断u＝g（v）是否为函数并说明理由．
新知探究
例3　给定数集A＝R，B＝（－∞，0]，方程
u2＋2v＝0， ①

追问1　判断某个给定的对应关系是否函数的依据是什么？
判断的依据是函数的概念．
具体内容是：
对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．
新知探究

例3　给定数集A＝R，B＝（－∞，0]，方程
u2＋2v＝0， ①
（1）任给u∈A，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断v＝f（u）是否为函数并说明理由；
解：（1）根据u2＋2v＝0，可得v＝－ ，
任给u∈A，根据对应关系v＝－ ，
在数集B中都能找到唯一的元素v＝－ 与之对应，所以是函数．
新知探究

（2）任给v∈B，对应关系g使方程①的解v与u对应，判断u＝g（v）是否为函数并说明理由．
解：（2）根据u2＋2v＝0，可得u＝± ，
任给v∈B且v≠0，根据对应关系u＝± ，
在数集A中都能找到两个元素u＝± 与之对应，所以不是函数．
新知探究
例3　给定数集A＝R，B＝（－∞，0]，方程
u2＋2v＝0， ①

追问2　结合v＝f（u）和u＝g（v）的图象验证你的判断，其中v＝f（u）和u＝g（v）的图象分别如图1和图2．
图1
o
u
v
图2
o
u
v
根据图1，在横轴上任取一点u＝u0，
过该点作横轴的垂线，与曲线有且
仅有一个交点（u0，v0）（如图），
即对于任意的u0∈R，
u0
u0 ,v0
新知探究
所以v＝f（u）是函数．
按照对应关系①有唯一的v0与之对应，
图2
o
u
v
图1
o
u
v

追问2　结合v＝f（u）和u＝g（v）的图象验证你的判断，其中v＝f（u）和u＝g（v）的图象分别如图1和图2．
新知探究
v0 ,v0
v0 ,-u0
v0
根据图2，在横轴负半轴上任取一点v＝v0，
过该点作横轴的垂线，与曲线有两个交点
（v0，u0）、（v0，－u0）（如图），
即对于任意的v0∈（－∞，0），
所以u＝g（v）不是函数．
按照对应关系①有两个值与之对应，
u0
u0 ,v0

追问3　根据方程u2＋2v＝0，写出一个对应关系h使它成为u关于v的函数．
u＝－ 或u＝ ．
新知探究
2．求函数的解析式
新知探究

例4　（1）已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，
f（x＋1）－f（x）＝2x，求f（x）的解析式；
（2）已知f（x＋1）＝x2－3x＋2，求f（x）；
（3）已知函数f（x）对于任意的x都有
f（x）＋2f（－x）＝3x－2，求f（x）．
新知探究

解：（1）由f（x）是二次函数，设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
由f（0）＝1，得c＝1，
则f（x＋1）－f（x）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1－（ax2＋bx＋1）
＝2ax＋a＋b＝2x
这个式子对于任意x∈R均成立，
所以2a＝2，a＋b＝0，可得a＝1，b＝－1，
解析式为f（x）＝x2－x＋1．
新知探究
例4　（1）已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，
f（x＋1）－f（x）＝2x，求f（x）的解析式；
例4　（2）已知f（x＋1）＝x2－3x＋2，求f（x）；
将x＝t－1代入f（x＋1）＝x2－3x＋2，
得f（t）＝（t－1）2－3（t－1）＋2＝t2－5t＋6，
则解析式为f（x）＝x2－5x＋6．
解：（2）方法一：令x＋1＝t，则x＝t－1．
新知探究
例4　（2）已知f（x＋1）＝x2－3x＋2，求f（x）；
解：（2）方法二：
新知探究
x2－3x＋2＝（x＋1）2－2x－1－3x＋2＝（x＋1）2－5x＋1
＝（x＋1）2－5（x＋1）＋5＋1＝（x＋1）2－5（x＋1）＋6，
即f（x＋1）＝（x＋1）2－5（x＋1）＋6，
则解析式为f（x）＝x2－5x＋6．
解：（3）因为对于任意的x都有f（x）＋2f（－x）＝3x－2 ……②，
所以f（－x）＋2f（－（－x））＝3×（－x）－2，
即2f（x）＋f（－x）＝－3x－2 ……③，
2×③－②得：3f（x）＝－9x－2，
则解析式为f（x）＝－3x－ ．
新知探究
例4　（3）已知函数f（x）对于任意的x都有
f（x）＋2f（－x）＝3x－2，求f（x）．

第（1）题中的方法叫待定系数法．
适用于当函数类型给定，且函数某些性质已知时求函数解析式的题型．
第（2）题中的方法一叫换元法．
适用于已知函数f（g（x））的表达式，求f（x）的解析式的题型．
具体做法是：
令g（x）＝t，并反解出x，
然后x把代入f（g（x））的表达式中，求出f（t），从而求出f（x）；
新知探究
总结提升：

第（2）题中的方法二叫凑配法．
适用于已知函数f（g（x））的解析式，且f（g（x））的表达式可变形为关于g（x）的形式．
具体做法是：
将式子两端的g（x）看成一个整体代换为函数的自变量，从而求出f（x）；
在这两种方法中，都要注意函数的定义域，方法一中函数的定义域为新元t的取值范围；方法二中函数的定义域为g（x）的值域．
新知探究
总结提升：

第（3）题中的方法叫方程组法．
具体做法是：
适用于当函数f（x）满足形如af（x）＋bf（－x）＝g（x）（a≠b且ab≠0）或af（x）＋bf（ ）＝g（x）（a≠b且ab≠0）等关系时．
我们可以用－x或 代替关系式中的x，将得到的新式子与原关系式联立方程组，经消元后将f（x）从方程组中解出来．
新知探究
总结提升：

3．分段函数
新知探究
例5　函数f（x）＝[x]的函数值，表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2．当x∈（－2.5，3]时，写出函数f（x）的解析式，并画出函数f（x）的图象．
新知探究
解：
函数f（x）的图象如图．

追问1　设函数g（x）＝x－[x]，x∈（－2.5，3]，写出函数g（x）的解析式，并画出函数g（x）的图象．
函数g（x）的图象如图．
解：
新知探究

追问2　求函数f（x）与g（x）的值域．
函数f（x）的值域为{－3，－2，－1，0，1，2，3}，
函数g（x）的值域为[0，1）．
新知探究

追问3　求方程g（x）＝0.5的解集．
当－2.5＜x＜－2时，令g（x）＝0.5，则x＋3＝0.5，
解得x＝－2.5，－2.5?（－2.5，－2），此时方程无解；
当－2＜x＜－1时，令g（x）＝0.5，则x＋2＝0.5，
解得x＝－1.5，－1.5∈[－2，－1），此时方程的解为x＝－1.5；
同理可以求得其他区间内的解．
综上，方程g（x）＝0.5的解集为{－1.5，－0.5，0.5，1.5，2.5}．
新知探究

（1）对应关系f是函数的核心要素，只要满足：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么f：A→B就为从集合A到集合B的一个函数；
它的表现形式多种多样：文字语言、解析式、表格、图象、方程等，可以根据需要灵活选择．
归纳小结
问题2　回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：
（1）你能谈谈对函数的对应关系的认识吗？
（2）你能谈谈函数图象在解决问题中的作用吗？

问题2　回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：
（1）你能谈谈对函数的对应关系的认识吗？
（2）你能谈谈函数图象在解决问题中的作用吗？
（2）函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．
归纳小结

1．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
2．函数y＝ 定义域是______________________．
目标检测
A．y＝|x|，u＝ B．y＝ ，s＝（ ）2
C．y＝ ，m＝n＋1 D．y＝ ，y＝
3．f（x）＝ 若f（x）＝10，则x＝___________．
A
[－1，2）∪（2，＋∞）
－3
1
2
3

4．某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆300个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆的单词的基础上增加50个新单词的记忆量．
该同学记忆的单词总量y是关于记忆天数x的函数吗？如果是，你能用哪些方法表示这个函数；如果不是，请你说明理由．
目标检测
解：用x表示记忆天数，用y表示记忆的单词总量，
那么y＝50x＋250，x∈A，
其中A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．
该同学记忆的单词总量y是关于记忆天数x的函数．
4
原因如下：

4．某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆300个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆的单词的基础上增加50个新单词的记忆量．
该同学记忆的单词总量y是关于记忆天数x的函数吗？如果是，你能用哪些方法表示这个函数；如果不是，请你说明理由．
目标检测
解：对于数集A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中的任一个天数x，
根据对应关系y＝50x＋250，
在数集B＝{300，350，400，450，500，550，600，650，700，750}中，
4
都有唯一的单词总量y与之对应．

目标检测
用解析法可将该函数表示为
y＝50x＋250，x∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}记忆天数x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
记忆的单词总量y
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
用图象法可将该函数表示为右图．
用列表法可将该函数表示为
再见