2.4函数的基本性质习题课 课件(28张ppt)

函数的基本性质习题课

问题1　请同学们梳理第3.2节（课本P76～P85）的内容，回答以下几个问题：
复习引入
（1）函数的基本性质有哪些？你能依次从图象特征和代数符号的角度叙述这些性质吗？
（2）你能说说研究函数的性质的方法吗？

{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}函数的性质
单调性
最大（小）值
奇偶性
图象语言
在区间D上，图象从左到右是上升（下降）的，函数值随着自变量的增大而增大（减小）．
最高（低）点的纵坐标就是函数f（x）的最大（小）值．
图象关于原点（y轴）对称，则为奇（偶）函数．
符号语言
?x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2）），那么就称函数f（x）在区间D上单调递增（递减）．
如果存在实数M（m）满足：（1）?x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥m）；（2）?x0∈I，使得f（x0）＝M（m），那么就称M（m）是函数y＝f（x）的最大（小）值．
?x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－f（x）（f（－x）＝f（x）），那么函数就叫做奇（偶）函数．
（1）见表
复习引入

复习引入
（2）你能说说研究函数的性质的方法吗？
先观察具体函数图象，分析图象特征，
再结合解析式从代数的角度定量刻画函数性质，抽象出一般概念；
最后应用概念分析解决问题．
形成对函数性质的感性认识；
问题1　请同学们梳理第3.2节（课本P76～P85）的内容，回答以下几个问题：
1．单调性的应用
新知探究

新知探究
（1）根据函数单调性的定义证明函数y＝x＋ 在区间（3，＋∞）上单调递增；
（2）讨论函数y＝x＋ 在区间（0，＋∞）上的单调性；
（3）讨论函数y＝x＋ （k＞0）在区间（0，＋∞）上的单调性．
例1（习题3.2 P86第8题）
新知探究
证明：?x1，x2∈（3，＋∞），且x1＜x2，
有y1－y2＝（x1＋ ）－（x2＋ ）
＝（x1－x2）＋（ － ）
＝（x1－x2）＋
＝（x1－x2）－（1－ ）
＝（x1－x2）（ ）
例1（习题3.2 P86第8题）
（1）根据函数单调性的定义证明函数y＝x＋ 在区间（3，＋∞）上单调递增；
新知探究
证明：由x1，x2∈（3，＋∞），得x1＞3，x2＞3，
所以x1x2＞9，x1x2－9＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是（x1－x2）（ ）＜0，即y1＜y2．
所以，函数y＝x＋ 在区间（3，＋∞）上的单调递增．
（1）根据函数单调性的定义证明函数y＝x＋ 在区间（3，＋∞）上单调递增；
例1（习题3.2 P86第8题）

新知探究
（2）讨论函数y＝x＋ 在区间（0，＋∞）上的单调性；
解：当x1，x2∈（0，3）时，x1x2－9＜0，
在区间（3，＋∞）上单调递增．
则y1－y2＞0，即y1＞y2，
所以y＝x＋ 在区间（0，3）上单调递减．
综上，y＝x＋ 在区间（0，3）上单调递减，
例1（习题3.2 P86第8题）
新知探究
（3）讨论函数y＝x＋ （k＞0）在区间（0，＋∞）上的单调性．
解：函数y＝x＋ （k＞0）在区间（0， ]上单调递减，
在区间[ ，＋∞）上单调递增．
例1（习题3.2 P86第8题）

追问1　判断函数y＝x＋ （k＞0）在区间（0，＋∞）上是否存在最值并说明理由；
根据函数y＝x＋ （k＞0）的单调性，
可知该函数在x＝ 处取到最小值，最小值为2 ，无最大值．
新知探究

追问2　函数y＝x＋ （k＞0）在区间[2，3]上具有单调性，求k的取值范围；
解得：k≥9或0＜k≤4，
由该函数的单调性可知：3≤ 或2≥ ，
所以k的取值范围为（0，4]∪[9，＋∞）．
新知探究
追问3　你还能得到函数y＝x＋ （k＞0）的哪些性质？
（－∞，0）∪（0，＋∞），
函数y＝x＋ （k＞0）的定义域为
该函数为奇函数．
它在区间（0， ]上单调递减，
在区间[ ，＋∞）上单调递增；
在区间（－∞，－ ]上单调递增，
在区间[－ ，0）上单调递减．
新知探究
追问4　请你试着画出该函数y＝x＋ （k＞0）的图象．
根据函数性质画出与右图类似的图象．
新知探究
2．单调性与奇偶性的综合应用
新知探究

新知探究
例2　已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（1＋x）．画出函数f（x）的图象，并求出函数的解析式．
新知探究
追问1　求f（－1）．
f（1）＝1×（1＋1）＝2，
又因为函数f（x）是奇函数，
所以f（－1）＝－f（1）＝－2．
追问2　求f（t）．
当t≥0时，f（t）＝t（1＋t）；
f（－t）＝－t×（1＋（－t））＝－t（1－t），
又因为函数f（x）是奇函数，
所以f（t）＝－f（－t）＝t（1－t）．
当t＜0时，－t＞0，

例2　已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（1＋x）．画出函数f（x）的图象，并求出函数的解析式．
解：当x≥0时，f（x）＝x（1＋x）；
当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝－x×（1＋（－x））＝－x（1－x），
且函数f（x）是奇函数，
所以f（x）＝－f（－x）＝x（1－x）．
综上，f（x）＝
图象如图实线部分．
新知探究

追问3　若函数f（x）是定义域为R的偶函数，其他条件不变，画出函数f（x）的图象，并求出函数的解析式．
当x≥0时，f（x）＝x（1＋x）；
当x＜0时，－x＞0，
f（－x）＝－x×（1＋（－x））＝－x（1－x），
又因为函数f（x）是偶函数，
所以f（x）＝f（－x）＝－x（1－x）＝x（x－1）．
图象如图实线部分．
综上，f（x）＝
新知探究

追问4　在例2与追问3中，分别判断在（－∞，0）上的单调性，据此你能得到奇函数和偶函数单调性的哪些特点？
例2中，函数在（－∞，0）上单调递增；
追问3中，函数在（－∞，0）上单调递减．
据此得到猜想：
奇函数在对称区间上单调性相同，
偶函数在对称区间上单调性相反．
新知探究

追问5　下面的命题是真命题吗？
已知函数f（x）是偶函数，而且在[a，b]上单调递减，则f（x）在[－b，－a]上单调递增．
如果是请你证明，如果不是，请你举出反例．
这是个真命题．
证明：?x1，x2∈[－b，－a]，且x1＜x2，
由－b≤x1＜x2≤－a，得a≤－x2＜－x1≤b，
由f（x）在[a，b]上单调递减，得f（－x2）＞ f（－x1），
新知探究

追问5　下面的命题是真命题吗？
已知函数f（x）是偶函数，而且在[a，b]上单调递减，则f（x）在[－b，－a]上单调递增．
如果是请你证明，如果不是，请你举出反例．
这是个真命题．
证明：即f（－x1）－f（－x2）＜0，
得f（x1）－f（x2）＝f（－x1）－f（－x2）＜0，
所以，函数f（x）在[－b，－a]上单调递增．
新知探究

（2）应用奇偶性和单调性的定义，我们可以解决什么问题？
（1）如果函数是奇函数，
如果函数是偶函数，
则在对称区间上的单调性是相同的；
则在对称区间上的单调性是相反的．
归纳小结
问题2　回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：
（1）奇偶性与单调性如何互相影响？

问题2　回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：
（1）奇偶性与单调性如何互相影响？
（2）应用奇偶性和单调性的定义，我们可以解决什么问题？
（2）利用单调性定义，
还可以用于判定图象未知的函数的单调性．
可以用于证明一些图象已知的函数的单调性，
利用奇偶性定义，可以判定奇偶性，
归纳小结
还可以解决对称区间上的函数求值问题．

1．已知f（x）＝ ，x∈R．
目标检测
（1）求证：f（x）在区间[－1，1]上单调递增；
（2）你还能得到函数的哪些性质？
答案：（1）?x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
因为x2－x1＞0，x1x2－1＜0，所以f（x1）－f（x2）＜0，
则f（x1）－f（x2）＝ ，
1

1．已知f（x）＝ ，x∈R．
目标检测
（1）求证：f（x）在区间[－1，1]上单调递增；
（2）你还能得到函数的哪些性质？
答案：（1）即f（x1）＜f（x2），
（2）①f（x）在区间（－∞，－1]和[1，＋∞）上单调递减；
②f（x）是奇函数；③值域为[－1，1]．
所以函数f（x）＝ 在区间[－1，1]上单调递增．
1

2．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x＜0时，f（x）＝x（x＋1），则当x＞0时，f（x）＝____________．
3．函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，4]上单调递减，则a的取值范围是______________．
目标检测
x（x－1）
（－∞，－5]
2
3
再见