华东师大版八年级上册 数学 13.3.2等腰三角形的判定课件(共20张PPT)

等腰三角形的判定
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1、等腰三角形是怎样定义的？
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
复习
①等腰三角形是轴对称图形。
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称为“三线合一”).
②等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 。
2、等腰三角形有哪些性质？
D
A
B
C
既是性质又是判定
3
把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果------那么-----”形式。
逆命题:
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.
如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等.
它是真命题吗?
4
A
B
C
D
1
2
已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC。
你还有其他证法吗?
证明:
过点A作∠BAC的平分线AD，交BC于点D，
则∠1=∠2。
在△BAD和△CAD中
如果一个三角形有两个角相等,
那么这两个角所对的边也相等。
∠B=∠C
∠1=∠2
AD=AD (公共边)
∴ AB= AC (全等三角形的对应边相等)
∴ △BAD ≌ △CAD (AAS)
5
A
B
C
D
已知：如图，在ΔABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC。
证明:
过点A作AD⊥BC,垂足为D.
∴ ∠ADB=∠ADC（垂直的定义）
在△ABD和△ACD中
∠ADB=∠ADC
∠B=∠C
AD=AD (公共边)
∴ AB=AC (全等三角形的对应边相等)
∴ △ABD ≌ △ACD (AAS)
∵ AD⊥BC
6
A
B
C
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个
角所对的边也相等。
几何语言：
在△ABC中，
∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角对等边)
等腰三角形的判定定理：
(简写成“等角对等边”)
注意：在同一个三角形中应用哟！
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下列两个图形是否是等腰三角形？
750
300
400
400
巩固练习：
75°
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例1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于
三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
A
B
C
D
E
1
2
如图，∠CAE是⊿ABC的外角，
∠1=∠2，AD∥BC。
求证：
已知：
AB=AC。
∵AD∥BC（已知）
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠B=∠C（等量代换）
∴AB=AC（等角对等边）
证明：
9
例2、如图,上午10 时，一艘轮船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离。
解：∵∠NBC=∠A+∠C , ∠A = 40°
∴∠C=∠NBC- ∠A= 80°- 40°= 40°
∴ ∠C = ∠A
∴ BA=BC（等角对等边）
∵AB=20×（12-10）=40 （海里）
∴BC=AB=40（海里）
答：从B处到达灯塔C的距离为40海里。
80°
40°
N
B
A
C
北
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思考题
？
一个三角形满足什么条件就是等边三角形?
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
证明：∵∠A=∠B，
∴BC=AC(等角对等边)
又∵∠A=∠C，
∴BC=AB(等角对等边)
∴AB=BC=CA，
即△ABC是等边三角形。
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C
B
A
已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C。
求证：△ABC是等边三角形。
三个角都相等的三角形是等边三角形。
12
证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(等边对等角)
∴∠A=60°(三角形内角和定理)
∴∠A=∠B =∠C=60°
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)
已知: 在△ABC中，AB=AC，∠B=60°．
求证: △ABC是等边三角形。
第一种情况：有一个底角是60°；
A
C
B
60°
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
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证明:∵AB=AC，∠A=60,
∴∠C=∠B=60°(等边对等角)
∴∠A=∠B=∠C =60°，
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)
第二种情况：顶角是60°；
已知: 如图,在△ABC中AB=AC,∠A=60°。
求证: △ABC是等边三角形。
A
C
B
60°
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
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2、三个角都相等的三角形是等边三角形。
3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
1、三边都相等的三角形是等边三角形。(定义)
一般三角形
等边三角形
A
B
C
等腰三角形
等边三角形
A
B
C
∵AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
∵ ∠B=600 AB=BC
∴△ABC是等边三角形
∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
∴ AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
等边三角形的判定定理
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B
A
C
D
将两个含有30°的三角尺如图摆放在一起,
你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边
BC与斜边AB之间的数量关系吗?
探究
结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
由题意： AB=AD ，∠B=600 ，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ AB=AD =AD
∵AC⊥BD
∴BC＝DC（三线合一）
∴BC＝ BD
∴BC＝ AB
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B
A
D
C
已知：如图，AD ∥BC，BD平分∠ABC, 求证：AB=AD.
证明：∵ AD ∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∵ BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD
练习
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如图：在△ABC中，已知D为BC边的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE=DF，那么 AB=AC吗？
练习
解： AB =AC;
理由： ∵点 D为BC边的中点，
∴ DB=DC,
∵ DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴ △DEB和 △ DFC为直角三角形。
在Rt △DEB和 Rt △ DFC中，
DE=DF
DB=DC
∴ Rt△DEB ≌ △DFC (HL)
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等)
∴ AB= AC (等角对等边)
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思考
思考：若添加一个条件，使得△ABC是等边三角形，不再添加字母和线段，看你能说出多少个不同的添加。
如图：在△ABC中，已知D为BC边的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE=DF，那么AB=AC吗？
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课堂小结
名称
图形
概念
性质
判定

等
腰
三
角
形
A
B
C
有两边相等的三角形是等腰三角形
等边对等角
三线合一
轴对称图形
等角对等边
两边相等
两腰相等
谢 谢