3.3 指数和指数函数习题课 课件(33张ppt)

指数和指数函数
习题课
1．化简：（式中的字母均是正数）
习题讲解
（1）
（2）
2．计算下列各式的值：
（1） 　　 （2）
习题讲解
问题1　进行指数运算时的运算依据是什么？在运算时需要注意什么？
进行指数运算的运算依据是实数指数幂的运算性质．在运算时，要尽量把根式写成指数幂的形式，并注意 与 的区别．
1．化简：（式中的字母均是正数）
习题讲解
（1）
（2）
解：（1）
1．化简：（式中的字母均是正数）
习题讲解
（1）
（2）
解：（2）
习题讲解
2．计算下列各式的值：
（1） 　　 （2）
解：（1）
（2）
3．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科，可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．例如计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：
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{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}α
5
6
7
8
…
14
15
…
27
28
29
2α
32
64
128
256
…
16 384
32 768
…
134 217 728
268 435 356
536 870 912
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现．比如计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字：64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加起来6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384．
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按照这样的方法计算16 384×32 768＝____________．
4．已知 ，则 ____________．
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问题2　指数运算中，对于同底数指数幂的乘除运算，反映在指数上有什么特点？由此可知，同底数指数幂的乘法运算，如果指数互为相反数，那么运算结果是什么？
同底数指数幂的乘除运算，反映在指数上为指数的相加减，这样就由二级运算乘除法，变成了一级运算加减法．特别地，如果同底数指数幂相乘，指数互为相反数，那么运算结果为该底数的0次幂，即结果为1．
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3．按照这样的方法计算16 384×32 768＝____________．
解：16 384对应14，32 768对应15，而14＋15＝29，查表可得第一行中的29对应第二行中的536 870 912，所以16 384×32 768＝536 870 912．
536 870 912
习题讲解
4．已知 ，则 ____________．
解：由 ，可得 ．
由 ，可得 ．
所以 ，则
－4
5．若函数 是指数函数，则a的值是__________．
习题讲解
6．某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为__________．
习题讲解
问题3　判断一个函数是否为指数函数的依据是什么？什么是指数型函数？怎样判断指数型函数是增长的还是衰减的？
判断依据是指数函数解析式的特征：①底数a＞0且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1．形如y＝kax的函数为指数型函数，其中k为常数．一般当k＞0时，若a＞1，则刻画指数增长变化规律，若0＜a＜1，则刻画指数衰减变化规律．
5．若函数 是指数函数，则a的值是__________．
习题讲解
解得a＝1（舍）或a＝3．所以a＝3．
解：因为 是指数函数，所以 ，
3
6．某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为__________．
习题讲解
当t＝1时，y＝20，所以20＝10ek，即ek＝2．
解：由题意可知，初始时有10个细菌，
1280
所以y＝10·2t，若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10·2t ＝1280．
7．若函数 （a＞0且a≠1）的图象恒过点 ，则m＋n＝____________．
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8．函数 （a＞1）的图象的大致形状是（ ）
A B C D
9．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9 ，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是（ ）
习题讲解
A．b＞a＞c　　B．c＞a＞b
C．c＞b＞a　　D．a＞b＞c
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问题4　我们在研究指数函数的图象和性质时，研究了它的哪些性质？
我们研究了指数函数的定义域、值域、单调性，并且还发现了指数函数恒过定点(0，1)．
7．若函数 （a＞0且a≠1）的图象恒过点 ，则m＋n＝____________．
习题讲解
解：由于指数函数 （a＞0且a≠1）的图象恒过定点 ，所以
（a＞0且a≠1）的图象可以看成是由指数函数
的图象先向左平移m个单位变成 ，此时的图象恒过点
然后再纵向拉伸2倍变成 ，此时的图象恒过点 ．最后再向下平移n个单位变成 ，此时的图象恒过点
由于 的图象恒过点 ，所以m＝1，n＝－2．
7．若函数 （a＞0且a≠1）的图象恒过点 ，则m＋n＝____________．
习题讲解
也可以考虑，指数函数 （a＞0且a≠1）之所以恒过定点 ，
是因为对于任意的a＞0且a≠1，都有 ．所以对于函数
，令 ，可得 ，即该函数恒过
点 ，所以m＝1，n＝－2．
因此m＋n＝－1．
－1
习题讲解
8．函数 （a＞1）的图象的大致形状是（ ）
A B C D
所以根据指数函数的图象性质，选C．
解：易知 ，且a＞1，
C
9．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9 ，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是（ ）
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A．b＞a＞c　　B．c＞a＞b
C．c＞b＞a　　D．a＞b＞c
解：因为指数函数 在其定义域上是减函数，
所以 ，即a＞b．
又因为 ， ，所以c＞a．
综上有c＞a＞b，选B．
B
10．求函数 的单调递增区间．
习题讲解
11．函数 的值域为____________．
12．若函数 （a＞0且a≠1），满足 ，则 的单调递减区间是____________．
习题讲解
问题5　在求解与指数函数相关的复合函数的问题时，应当注意什么？可以用什么样的方法，让问题的讨论变得简化？
需要充分考虑指数函数的定义域、值域、单调性，并且还要注意多个函数复合以后，所带来的定义域、值域、单调性的改变．可以采取换元的方法，将复合函数看成是指数函数与其它简单函数的复合，分层逐次讨论各个函数的性质．
10．求函数 的单调递增区间．
习题讲解
解：令 ，则 ．
因为 ，可得t的增区间为 ．
因为函数 在R上是增函数，
所以函数 的单调递增区间为 ．
习题讲解
解：令 ，则 ．
因为 ，可得t的值域为 ．
因为函数 在R上是减函数，
11．函数 的值域为____________．
当t＝1时， ，所以函数 的值域为 ．
习题讲解
解：由 ，得 ，
所以 ，即 ．
因为 在R上是减函数，
所以只需考虑 的单调递增区间，
12．若函数 （a＞0且a≠1），满足 ，则 的单调递减区间是____________．
令 ，则 ．
易知其单调递增区间为 ．
习题讲解
解：所以函数 的单调递减区间是 ．
12．若函数 （a＞0且a≠1），满足 ，则 的单调递减区间是____________．
归纳小结
问题6　在运用实数指数幂的运算性质 和
时，要注意什么？你能举个例子来说明吗？指数函数的解析式有什么特征？在解与指数函数相关的问题时，需要注意什么？
的使用条件为 ．例如 ，此时底数 ，如果利用该性质得到 ，这显然是错误的．
归纳小结
问题6　在运用实数指数幂的运算性质 和
时，要注意什么？你能举个例子来说明吗？指数函数的解析式有什么特征？在解与指数函数相关的问题时，需要注意什么？
的使用条件为 ．例如
，此时底数 ，如果利用该性质得到
，这显然是错误的．
归纳小结
问题6　在运用实数指数幂的运算性质 和
时，要注意什么？你能举个例子来说明吗？指数函数的解析式有什么特征？在解与指数函数相关的问题时，需要注意什么？
指数函数的解析式的特征为：①底数a＞0且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1．即 （a＞0且a≠1）．
归纳小结
问题6　在运用实数指数幂的运算性质 和
时，要注意什么？你能举个例子来说明吗？指数函数的解析式有什么特征？在解与指数函数相关的问题时，需要注意什么？
在解与指数函数相关的问题时，要注意其底数、值域都有特定的取值范围，即底数a＞0且a≠1，值域为 ．并且还要注意指数函数为单调函数，当0＜a＜1是为减函数，当a＞1时为增函数，并且恒过定点(0，1)．
再见