人教B版（2019）高中数学 必修第二册同步训练 6.1.1　向量的概念word版含答案

6.1.1　向量的概念

必备知识基础练 进阶训练第一层
知识点一 向量的有关概念
1.下列结论中正确的是(　　)
A．对任一向量a，|－a|>0总是成立的
B．模为0的向量的方向是不确定的
C．向量就是有向线段
D．任意两个单位向量的方向相同
2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．一个人从A点出发向西走了5米到C，又向南走了5米到达B点，求此人从A到B的位移．
知识点二 相等向量与共线向量
4.下列关于向量的说法正确的个数是　 (　　)
①始点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②始点相同，相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的始点与终点一定共线．
A．3 B．2
C．1 D．0
5．给出下列命题：
①若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
②若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；
③若a＝b，b＝c，则a＝c，
其中正确的是________．(填序号)
6．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出模与的模相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
知识点三 向量的表示及应用
7.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
8．一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||.

关键能力综合练 进阶训练第二层
一、选择题
1．下列各命题中，正确命题的个数为(　　)
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若＝，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若0∥a，0∥b，则a∥b.
A．4 B．3
C．2 D．1
2．在⊙O中，以O点为始点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是(　　)
A．方向 B．大小
C．大小和方向 D．以上均不对
3．设O是△ABC的外心，则，，是(　　)
A．相等向量 B．模相等的向量
C．平行向量 D．起点相同的向量
4．如图，已知D，E，F是正三角形ABC三边的中点，由A，B，C，D，E，F六点中的两点构成的向量中与(除外)共线的向量个数为(　　)
A．2 B．4
C．5 D．7
5．(易错题)两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b(假定两列火车始终沿同一直线行驶)，则下列说法中错误的是(　　)
A．a与b为平行向量 B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量 D．a与b为相等的向量
6．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为(　　)
A. B.
C．1 D．2
二、填空题
7．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的始点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．
8．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量的个数是________．
9．(探究题)如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________.
三、解答题
10．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
(1)分别找出与， 相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与的模相等的向量．

学科素养升级练 进阶训练第三层
1．(多选题)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是(　　)
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰好为的模的倍
D.与不共线
2．设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合．若a∈W，且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模．则称a是W的极大向量．有下列命题：
①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；
②给定平面内两个不共线向量a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量c＝－a－b，使得W＝{a，b，c}中的每个元素都是极大向量；
③若W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．
其中真命题的序号是________.
3．(情境命题—生活情境)一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿正东方向前行1 m，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1 m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1 m，按此方法继续操作下去．
(1)按适当的比例作图说明当α＝45时，至少需操作几次时赛车的位移为0；
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．
6．1.1　向量的概念
必备知识基础练
1．解析：若向量a为零向量，则|－0|＝0，故A错误；模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，B正确；有向线段是向量的几何表示，是个图形，而向量是带方向的量，不是有向线段，C错误；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，D错误．
答案：B
2．解析：一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．
答案：D
3．解析：如下图，位移为向西南方向走了5米．
4．解析：始点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；始点相同，相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的始点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．
答案：C
5．解析：由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取a＝0，则对于任意的向量b，都有a∥b，知①错误；两个模相等的向量互相平行，方向可能相反，知②错误；由两个向量相等的概念可知③正确．
答案：③
6．解析：(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF∥BC，EF＝BC.
又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，.
(2)模与模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有，.
7．解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量b与向量a平行，且长度相等，且以B为终点(作图略)．
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略)．
8．解析：(1)向量，，如图所示．
(2)由题意，可知与方向相反，故与共线，
∵||＝||，∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，∴||＝||＝200 km.
关键能力综合练
1．解析：①|a|＝|b|只说明两向量大小相等，不能得出两向量同向，故此命题不正确；②由＝可得||＝||且∥，由于∥，A，B，C，D可能在同一条直线上，故此命题不正确；③正确；④0与任意向量平行，命题不正确．
答案：D
2．解析：由于⊙O半径的确定性，因此该向量的长度(大小)是确定的．
答案：B
3．解析：因为O是△ABC的外心，所以||＝||＝||.
答案：B
4．解析：与共线的向量有：，，，，，，.
答案：D
5．解析：根据题意，依次分析选项可知A，B，C均成立，对于D，a与b为反向的共线向量，则a和b不相等，D错误．
答案：D
6．解析：因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.如图．
答案：C
7．解析：这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.
答案：3π
8．解析：找出与AC平行的直线，确定长度为2的线段，共有，，，，，，，，故共有8个．
答案：8
9．解析：根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.
答案：
10．解析：(1) ＝， ＝.
(2)与共线的向量有：， ， .
(3)与的模相等的向量有：，，， ， ， ， .
学科素养升级练
1．解析：与相等的向量只有，故A说法正确；在菱形ABCD中，AC＝ AB＝BC＝CD＝DA，每一条线段可得方向相反的两个向量，它们的模都相等，故有5×2－1＝9(个)，故B说法正确；计算得DO＝DA，所以BD＝DA，即||＝||，故C说法正确；由AD∥BC知与共线，故D说法错误．故选ABC.
答案：ABC
2．解析：①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a，b，c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W1＝{a1，a2，a3}, W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．
答案：②③
3．解析：(1)如右图可知操作8次可使赛车的位移为零，此时α＝＝45.
(2)若使赛车能回到出发点，则赛车的位移为零，由第(1)问作图可知，所作图形需是内角为(180－α)度的正多边形，故n(180－α)＝(n－2)180，得α＝，又n是不小于3的整数，所以当n＝10即α＝36时需操作10次可回到出发点；当n＝12即α＝30时需操作12次可回到出发点.