人教B版（2019）高中数学 必修第二册同步训练 6.2.1　向量基本定理word版含答案

6.2.1　向量基本定理

必备知识基础练 进阶训练第一层
知识点一 共线向量基本定理及应用
1.已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　)
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.
A．①② B．①③
C．② D．③④
2．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
3．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个平行的向量，则k＝________.
知识点二 基底的理解与应用
4.若{e1，e2}是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(　　)
A．{e1－e2，e2－e1} B.
C．{2e2－3e1,6e1－4e2} D．{e1＋e2，e1－e2}
5．如图，在△ABC中，P为BC边上一点，且＝.
(1)用基底{，}表示＝________；
(2)用基底{，}表示＝________.
6．如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，则＝________.(以＝e1，＝e2为基底)
知识点三 平面向量基本定理的应用
7.已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)·，实数λ∈(1,2)，则(　　)
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，M，B四点一定共线
8．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
9．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，则实数t＝________.

关键能力综合练 进阶训练第二层
一、选择题
1．设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(　　)
A．{e1＋e2，e1－e2} B．{3e1－2e2,4e2－6e1}
C．{e1＋2e2，e2＋2e1} D．{e2，e1＋e2}
2．设{e1，e2}为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　)
A．2 B．－3
C．－2 D．3
3．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是(　　)
A.＋＋ B. ＋＋
C. ＋＋ D．3＋
4．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
5．若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝(　　)
A. B.
C. D.
6．(探究题)在△ABC中，设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A. B.
C. D．1
二、填空题
7．?ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，则＝________.
8．设{e1，e2}是平面内的一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可表示为另一组向量a，b的线性组合，则e1＋e2＝________a＋________b.
9．(探究题)在△ABC中，点D在BC边上，且＝4，＝r＋s，则3r＋s的值为________．
三、解答题
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．

学科素养升级练 进阶训练第三层
1．(多选题)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，那么下列说法中不正确的是(　　)
A．λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D．若实数λ，μ使得λe1＝μe2，则λ＝μ＝0
2．如图，过△ABC的重心G作一直线分别交AB，AC于D，E，连接AG并延长交BC于点F，若＝x，＝y(xy≠0)，则＋的值为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
3．(学科素养—运算能力)如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
6．2.1　向量基本定理
必备知识基础练
1．解析：由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；∵λa－μb＝0，∴λa＝μb，故②可以；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．
答案：A
2．解析：设BC中点为点M，则＝，则有＝＋λ，即＝λ，所以P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心．
答案：C
3．解析：∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，
∴k2e1＋e2＝m(2e1＋3e2)，∴
即3k2＋5k－2＝0，∴k＝或－2.
答案：或－2
4．解析：对于选项A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项B,2e1＋e2＝2，所以(2e1＋e2)∥，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项C,2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D，显然e1＋e2与e1－e2不共线，故该组向量能作为该平面的基底．
答案：D
5．解析：(1)∵＝＋，＝ ＝ ， ＝－，
∴＝＋(－)＝＋－
＝ ＋ .
(2)＝＋＝＋ .
答案：(1) ＋　(2) ＋
6．解析：＝－＝e1－e2，
因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
所以＝＝(e1－e2)，
所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.
答案：e1＋e2
7．解析：由题意得－＝λ(－)，即＝λ.
又λ∈(1,2)，所以点B在线段AM上．故选B.
答案：B
8．解析：设＝a, ＝b，
则＝a＋b, ＝a＋b.
又∵＝a＋b，∴ ＝(＋)，即λ＝μ＝.
∴λ＋μ＝.
答案：
9．解析：如图，∵a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，
∴存在实数λ使t(a＋b)－b＝λ，即(t－λ)a＝b.
又∵a，b不共线，
∴t－λ＝0且－λ－t＝0，解得t＝.
答案：
关键能力综合练
1．解析：因为B中3e1－2e2和4e2－6e1为平行向量，所以不能作为一组基底．故选B.
答案：B
2．解析：根据题意得＝e1－ke2，＝－＝3e1－3e2－2e1＋e2＝e1－2e2，∵A，B，D三点共线，
∴＝λ，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，
所以∴k＝2.
答案：A
3．解析：设D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，根据点M是△ABC的重心， ＋＋＝( ＋＋)＝(＋＋＋＋＋)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与共线．
答案：C
4．解析：∵＝λ＋，∴－＝λ，即＝λ.
∴点P，A，C共线．∴点P一定在AC边所在的直线上．
答案：B
5．解析：3e2－2e1＝ －＝ － ＝ ＝.
答案：C
6．解析：解法一：设＝t(0≤t≤1)，则＝＝(＋)＝＋＝＋t＝＋(－)＝＋，所以λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝.
解法二：(特殖值法)设M为BC的中点，所以＝＝×(＋)＝＋，
所以λ＝μ＝，故λ＋μ＝.
答案：A
7．解析：
＝＝
＝－＝－
＝a－b.
答案：a－b
8．解析：设e1＋e2＝λa＋μb，
则e1＋e2＝λe1＋2λe2＋(－μe1)＋μe2，整理得
e1＋e2＝(λ－μ)e1＋(2λ＋μ)e2，
又e1与e2不共线，则解得
答案：　－
9．解析：∵＋＝，＝4，∴＝，
即＝－，∴r＝，s＝－，∴3r＋s＝.
答案：
10．解析：(1)证明：设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴?
∴c＝2a＋b.
学科素养升级练
1．解析：由平面向量基本定理可知，AD正确．对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B不正确．对于C，当两向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无穷多个，故C不正确．故选BC.
答案：BC
2．解析：因为D，G，E三点共线，所以＝λ，
又＝x，＝y，
＝＝＝＋.
故可得，y－x＝λ，
整理得，－x＝λ，y＝λ，消去λ得＋＝3.
答案：B
3．解析：如图所示．以OC为对角线，作平行四边形OECF，且OA，OB在这个四边形的两邻边上．
∵∠COF＝∠EOF－∠EOC＝120°－30°＝90°.
在Rt△COF中，||＝2，∠OCF＝30°，
∴CF＝＝4.
∴OF＝2.又||＝||＝1.
∴＝4，＝2.
∴＝＋＝4＋2.
由平面向量基本定理可得λ＝4，μ＝2.
∴λ＋μ＝6.