人教B版（2019）高中数学 必修第二册同步训练 4.4　幂函数word版含答案

4.4　幂函数

必备知识基础练 进阶训练第一层
知识点一 幂函数的概念及图像
1.下列函数为幂函数的是(　　)
①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xn(n为常数)；④y＝(x－1)3；⑤y＝；⑥y＝x2＋.
A．①③⑤ B．①②⑤
C．③⑤ D．只有⑤
2．如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
3．如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图像和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图像经过的部分是④⑧，则f(x)可能是(　　)
A．y＝x2 B．y＝
C．y＝x D．y＝x－2
4．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)x的图像不过原点，则m的取值范围为(　　)
A．－1≤m≤2 B．m＝－1或m＝2
C．m＝1 D．m＝1或m＝2
知识点二 幂函数的性质
5.下列函数中既是偶函数又在(－∞，0)上是增函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x－2 D．y＝x
6．函数y＝x－2在区间上的最大值是(　　)
A. B.
C．4 D．－4
7．若幂函数的图像过点(2，)，则它的单调递减区间是________．
8．比较下列各题中两个值的大小：
(1)与；(2)3与3.3；
(3)与；(4)0.20.6与0.30.4；
(5)9与.

关键能力综合练 进阶训练第二层
一、选择题
1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
2．下列命题：
①幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图像不可能在第四象限；
③n＝0，函数y＝xn的图像是一条直线；
④幂函数y＝xn当n>0时，是增函数；
⑤幂函数y＝xn当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
正确的命题为(　　)
A．①④ B．④⑤
C．②③ D．②⑤
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是(　　)
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
4．(易错题)已知y＝(m2－3m－3)x是幂函数，则m的值为(　　)
A．4 B．－1
C．－1或4 D．3
5．已知幂函数f(x)＝xn的图像过点，且f(a＋1)A．(－3,1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
6．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图像可能是(　　)
二、填空题
7．已知点在幂函数y＝f(x)的图像上，则f(x)的解析式是________，f＝________.
8．已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的解析式为________．
9．(探究题)已知函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
10．已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)的图像与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，试确定f(x)的解析式．

学科素养升级练 进阶训练第三层
1．(多选题)已知幂函数f(x)的图像经过点，则幂函数f(x)具有的性质是(　　)
A．在其定义域上为增函数
B．在(0，＋∞)上为减函数
C．奇函数
D．定义域为R
2．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(x)的最小值为________．
3．(学科素养—逻辑推理)已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
4．4　幂函数
必备知识基础练
1．解析：①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y＝2x是指数函数；④y＝(x－1)3的底数是 x－1 而不是x，故不是幂函数；⑥y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．
答案：C
2．解析：根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图像当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.
答案：B
3．解析：∵函数y＝xα的图像过④⑧部分，
∴函数y＝xα在第一象限内单调递减，
∴α<0，故排除A，C.
对于B，又x＝2时，y＝，1>>，
∴函数y＝的图像经过⑧部分，
当x＝时，y＝，1<<2，
∴函数y＝的图像经过④部分，
∴B符合题意．对于D，当x＝2时，y＝，<，
∴排除D.故选B.
答案：B
4．解析：依幂函数为y＝xα的形式知m2－3m＋3＝1.
又其图像不过原点，则指数m2－m－2≤0.
由可得得
故m＝1或m＝2.
答案：D
5．解析：y＝x＝，这个函数是偶函数，很明显这个函数在(0，＋∞)上单调递增，故在(－∞，0)上是减函数；y＝x＝为非奇非偶函数；y＝x－2是偶函数，也是(－∞，0)上的增函数；y＝x＝这个函数是非奇非偶函数．故选C.
答案：C
6．解析：易知y＝x－2在上单调递减，所以当x＝时，函数y＝x－2的最大值是－2＝4.
答案：C
7．解析：设f(x)＝xα，由2α＝，
∴α＝，即f(x)＝x，
∴f(x)的减区间为(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
8．解析：(1)∵函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，
又>，∴>.
(2)∵y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.3，
∴3>3.3.
(3)∵＝.
函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，>，
∴<，∴<.
(4)由幂函数的单调性知0.20.6<0.30.6，又0.30.6<0.30.4，∴0.20.6<0.30.4.
(5)∵9＝<<，
∴9<.
关键能力综合练
1．解析：y＝x＝的定义域、值域都是R，y＝x的定义域、值域也为R，y＝x＝的定义域、值域都为(0，＋∞)，y＝x＝的定义域为R，而值域为[0，＋∞)．
答案：D
2．解析：y＝x－1不过点(0,0)，∴①错误，排除A；当n＝0时，y＝xn的图像为直线y＝1去掉(0,1)点，③错误，排除C；y＝x2不是增函数，④错误，排除B；故选D.
答案：D
3．解析：当α＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y＝x的定义域是R且为奇函数；当α＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数．当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.
答案：A
4．解析：由m2－3m－3＝1得m＝4或m＝－1.
又∵m－1为幂指数，要使式子m－1有意义需m≥0，∴m＝4.
答案：A
易错分析：本题往往忽视条件m－1对m的要求而错选C.
5．解析：因为幂函数f(x)＝xn的图像过点，所以2n＝，即2n＝2－2，解得n＝－2.因此f(x)＝x－2是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．由f(a＋1)2，解得a<－3或a>1.故选B.
答案：B
6．解析：选项A中，幂函数的指数a<0，则y＝ax－应为减函数，A错误；选项B中，幂函数的指数a>1，则y＝ax－应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－在y轴上的截距为正，D错误．
答案：C
7．解析：设幂函数y＝f(x)＝xα，α为常数；
把点的坐标代入解析式，
得α＝，解得α＝3，
所以幂函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x3.
f＝3＝－.
答案：f(x)＝x3　－
8．解析：因为幂函数f(x)＝x (m∈Z)为偶函数，所以－m2＋2m＋3为偶数．又f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以－m2＋2m＋3＞0，所以－1＜m＜3.又m∈Z，－m2＋2m＋3为偶数，所以m＝1，故所求解析式为f(x)＝x4.
答案：f(x)＝x4
9．解析：若a≤0时，a－3>1，则a<－2.若a＞0时，a>1，则a>1，所以a<－2或a>1.
答案：a<－2或a>1
10．解析：由是偶数，解得m＝－1,1,3.
当m＝－1和3时，f(x)＝x0＝1(x≠0)；
当m＝1时，f(x)＝x－4.
学科素养升级练
1．解析：设幂函数f(x)＝xa(a为常数)，
因为幂函数图像过点，
所以f(x)＝x－，所以由f(x)的性质知，
f(x)是奇函数，定义域为{x|x∈R，且x≠0}，
在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递减函数．
答案：BC
2．解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2与y＝x－2的图像，如图所示，则
f(x)＝
∴f(x)在x＝－1与x＝1处均取得最小值1，即f(x)min＝1.
答案：1
3．解析：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴m2＋m为偶数，
∴函数f(x)＝x (m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，
并且函数y＝f(x)在其定义域上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，)，
∴＝2，即2＝2，
∴m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0.
∴m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
∴f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．
由f(2－a)>f(a－1)，得
解得1≤a<.
故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为1≤a<.