人教B版（2019）高中数学 必修第二册同步训练 4.5　增长速度的比较word版含答案

4.5　增长速度的比较

必备知识基础练 进阶训练第一层
知识点一 函数的平均变化率
1.已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)
A．4 B．0.41
C．0.1 D．4.41
2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)
A．1
B．－1
C．2
D．－2
3．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a的值为(　　)
A．－3 B．2
C．3 D．－2
4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是________.
知识点二 几类函数模型增长差异的比较
5.四人赛跑，假设他们走过的路fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时
间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　)
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
6．下列四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xn＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
7．当2A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x
C．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x
8．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．

关键能力综合练 进阶训练第二层
一、选择题
1．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为(　　)
A．6.3 B．36.3
C．3.3 D．9.3
2．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)
A．k1＞k2 B．k1＜k2
C．k1＝k2 D．不确定
3．四个函数在第一象限中的图像如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是(　　)
A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝，d：y＝2－x
B．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝
C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝，d：y＝2－x
D．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝
4．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
5．(易错题)下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A．y＝ex B．y＝100ln x
C．y＝x10 D．y＝100·2x
6．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
二、填空题
7．工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份该产品的产量分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份该产品的产量为________万件．
8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝ekt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．
9．(探究题)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________．
①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．
三、解答题
10．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，分别计算这四个函数在区间[2,4]上的平均变化率，并比较它们的大小．

学科素养升级练 进阶训练第三层
1．(多选题)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法正确的是(　　)
A．前三年产量增长的速度越来越快
B．前三年产量增长的速度越来越慢
C．第三年后这种产品停止生产
D．第三年后产量保持不变
2．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝3x，h(x)＝ln x，这三个函数在区间[a，a＋1](a>1)上的平均变化率的大小为________．
3．(学科素养—数学抽象)如果函数y＝f(x)在区间I上是减函数，而函数在区间I上是增函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓减函数”，区间I叫做“缓减区间”．求函数f(x)＝x2－2x＋1区间的缓减区间．
4．5　增长速度的比较
必备知识基础练
1．解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.
答案：B
2．解析：＝＝－1.
答案：B
3．解析：根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.
答案：C
4．解析：Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.
∴k3>k2>k1>k4.
答案：③
5．解析：显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x.故选D.
答案：D
6．解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较．对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．故选D.
答案：D
7．解析：解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2>2x>log2x.
解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.
答案：B
8．解析：从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
答案：y2
关键能力综合练
1．解析：S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速率＝＝＝6.3.故选A.
答案：A
2．解析：k1＝＝＝2x0＋Δx；
k2＝＝＝2x0－Δx.
因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．
答案：D
3．解析：a，c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.
答案：C
4．解析：由题干中的图像可知，该函数模型应为指数函数模型．
答案：A
5．解析：通过函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y＝kx(k>0)的图像观察可得y＝ax的增长速度大于y＝kx的增长速度，y＝kx的增长速度大于y＝logax的增长速度，∴A，D最快．
又∵y＝ex中底数e>2.
∴y＝ex的增长速度大于y＝100×2x，∴选A.
答案：A
6．解析：画出函数的图像，如图所示，当x∈(4，＋∞)，指数函数的图像位于二次函数图像上方，二次函数图像位于对数函数图像上方，故g(x)>f(x)>h(x)．
答案：B
7．解析：由题意有
解得
∴y＝－2×0.5x＋2，
∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75
8．解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e，解得k＝2ln 2，y(5)＝e(2ln 2)·5＝e10ln 2＝210＝1 024(个)．
答案：2ln 2　1 024
9．解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故①②错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故③正确，④错误．
答案：③
10．解析：＝＝6，＝＝6，＝＝36.＝＝28.所以在区间[2,4]上的平均变化率由大到小依次为>>＝.
学科素养升级练
1．解析：由t∈[0,3]的图像联想到幂函数y＝xa(0答案：BC
2．解析：因为＝＝2a＋1，
＝＝3，
＝＝ln，
又因为a>1，所以2a＋1>2×1＋1＝3，
ln因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小．
答案：f(x)>g(x)>h(x)
3．解析：对于f(x)＝x2－2x＋1，对称轴为x＝2，
在区间(－∞，2]上是减函数．
对于y＝＝＋－2，令g(x)＝＋，
所以g(x)为奇函数，令0则g(x1)－g(x2)＝＋－＝(x1－x2)＋－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝(x1－x2)·，当x1，x2∈(0，]上时，x1－x2<0，x1x2－2<0，
所以g(x1)－g(x2)>0，
所以g(x1)>g(x2)，g(x)为减函数．
当x1，x2∈[，＋∞)时，x1－x2<0，x1x2－2>0，
所以g(x1)－g(x2)<0，g(x)为增函数，
又g(x)为奇函数，所以在[－，0)上是减函数，在(－∞，－]上是增函数，所以y＝在(－∞，－]和[，2]上是增函数，故函数f(x)的缓减区间为(－∞，－]和[，2]．