人教B版（2019）高中数学 必修第二册同步训练 知识手册word版含答案
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）高中数学 必修第二册同步训练 知识手册word版含答案 |  | |
| 格式 | DOC | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-27 10:23:26 | ||
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文档简介
知识手册 数学 必修第二册(人教B版)
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1 指数与指数函数
4．1.1 实数指数幂及其运算
[知识梳理]
知识点一 根式
1．a的n次方根的意义
一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为________________．
2．根式的意义和性质
当有意义时，叫做根式，________叫做根指数，a称为________．
根式的性质：
(1)()n＝________；
(2)＝
知识点二 实数指数幂
1．分数指数幂的意义
(1)正数的正分数指数幂的意义：a＝________＝________；
(2)正数的负分数指数幂的意义：
a＝；
(3)0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________．
2．有理指数幂的运算法则
(1)asat＝________(a>0，s，t∈Q)；
(2)(as)t＝________(a>0，s，t∈Q)；
(3)(ab)s＝________(a>0，b>0，s∈Q)．
思考辨析 判断正误
1．当n为偶数，a≥0时，≥0.( )
2．(－2)＝(－2).( )
3．a2·a＝a.( )
4．当n∈N＋时，()n都有意义．( )
4.1.2 指数函数的性质与图像(一)
[知识梳理]
知识点一 指数函数的定义
函数________称为指数函数，其中a为常数，________.
知识点二 指数函数的图像与性质
a＞1 0＜a＜1
图像
性质 定义域 ________
值域 ________
过定点 ________，即当x＝0
时，y＝________
单调性 在R上是
________ 在R上是
________
奇偶性 ________________
思考辨析 判断正误
1．y＝xx(x>0)是指数函数．( )
2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．( )
3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1)．( )
4．y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.( )
4.1.2 指数函数的性质与图像(二)
[知识梳理]
知识点一 比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的________来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过________来判断．
知识点二 解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的________求解；
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的________求解；
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图像求解．
知识点三 指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有________的单调性；当04.2 对数与对数函数
4．2.1 对数运算
[知识梳理]
知识点一 对数的概念
对数的概念：
在表达式ab＝N(a＞0且a≠1，N∈(0，＋∞)中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为________________，记作b＝________，其中a称为对数的________，N称为对数的________．
常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数称为________，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为________，log10N可简记为________，logeN简记为________．
知识点二 对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝________.
对数恒等式：a＝________；logaax＝________(a>0，且a≠1)．
知识点三 对数的性质
1．1的对数为________．
2．底的对数为________．
3．零和负数________．
思考辨析 判断正误
1．若3x＝2，则x＝log32.( )
2．因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以logaa＝1.( )
3．logaN>0(a>0且a≠1，N>0)．( )
4．若ln N＝，则N＝e.( )
4.2.2 对数运算法则
[知识梳理]
知识点一 对数运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝____________；
(2)logaMα＝________(α∈R)；
(3)loga＝____________.
知识点二 换底公式
1．logab＝____________(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论：
(1)logaN＝________(N>0且N≠1；a>0且a≠1)；
(2)loganbm＝________(a>0且a≠1，b>0，n≠0)；
(3)logab·logbc·logcd＝________(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
预习小测 自我检验
1．计算：log84＋log82＝________.
2．计算：log510－log52＝________.
3．(1)lg＝________；
(2)已知ln a＝0.2，则ln＝________.
4.＝________.
4．2.3 对数函数的性质与图像(一)
[知识梳理]
知识点一 对数函数的概念
一般地，函数y＝________(a>0，且a≠1)称为对数函数．
知识点二 对数函数的图像与性质
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图像
定义域 ________
值域 ________
单调性 ____________ ______________
共点性 图像过定点________，即当x＝1时，y＝0
函数值 特点 当x∈(0,1)时，y∈________；当x∈[1，＋∞)时，y∈________ 当x∈(0,1)时，y∈________；当x∈[1，＋∞)时，y∈________
对称性 函数y＝logax与y＝logx的图像关于________对称
思考辨析 判断正误
1．y＝log2x2是对数函数．( )
2．函数y＝loga(x－1)(a＞0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．( )
3．对数函数的图像一定在y轴右侧．( )
4．当0＜a＜1时，若x＞1，则y＝logax的函数值都大于零．( )
4.2.3 对数函数的性质与图像(二)
[知识梳理]
知识点 不同底的对数函数图像的相对位置
一般地，对于底数________的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数________的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴．
预习小测 自我检验
1．函数y＝log4.3x的值域是________．
2．函数y＝lg(x＋1)的图像大致是________．
3．已知y＝ax在R上是增函数，则y＝logax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)
4．函数y＝logax＋1过定点________．
4.3 指数函数与对数函数的关系
[知识梳理]
知识点 指数函数与对数函数的关系
1．反函数
(1)反函数的概念
一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中________y的值，只有________x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数．
(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数记作________．
(3)反函数的性质
y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的________相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的________相同，y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线________对称．
2．指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)____________．
(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像关于________对称．
预习小测 自我检验
1．函数y＝x＋2(x∈R)的反函数为________．
2．函数y＝f(x)过点(1,2)，则f－1(x)过点________．
3．函数y＝log3x的反函数的值域为________．
4．函数g(x)是函数f(x)的反函数，若f(x)＝x且x∈(0，＋∞)，则函数g(x)的定义域为________．
4.4 幂函数
[知识梳理]
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数y＝________称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二 幂函数的图像和性质
1．幂函数的图像
在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图像如图．
2．五个幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) ________
值域 R ________ R ________ ________
奇偶性 ______ ______ ______ ______ ______
单调性 在R
上是
______ 在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数 在R
上是
______ 在________上是________ 在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是________
公共点 (1,1)
思考辨析 判断正误
1．y＝－是幂函数．( )
2．当x∈(0,1)时，x2>x3.( )
3．y＝x与y＝x定义域相同．( )
4．若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( )
4.5 增长速度的比较
[知识梳理]
知识点一 函数的平均变化率
函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率为＝__________.它的实质是函数值的改变量与自变量的改变量之比，也可理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加________个单位. 因此可以用平均变化率来比较函数值变化的快慢．
知识点二 三种常见函数模型的增长差异
函数 性质 y＝ax
(a>1) y＝logax
(a>1) y＝kx
(k>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 ______ ______ ______
图像的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于“平缓” 随x的增大匀速上升
增长速度 y＝ax的增长速度________y＝kx，y＝kx的增长速度________y＝logax
增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有________
思考辨析 判断正误
1．函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．( )
2．函数y＝logx衰减的速度越来越慢．( )
3．能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，称为指数型的函数模型，也常称为“爆炸型”函数．( )
4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>2x(a>1)．( )
4.6 函数的应用(二)
[知识梳理]
知识点一 几类已知函数模型
函数模型 函数解析式
指数型函 数模型 f(x)＝____________(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函 数模型 f(x)＝____________(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数 型模型 f(x)＝________(a，b为常数，a≠0)
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
1．________——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．________——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3．________——求解数学模型，得出数学模型；
4．________——将数学结论还原为实际问题．
思考辨析 判断正误
1．在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( )
2．利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．( )
3．用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( )
第五章 统计与概率
第五章 统计与概率
5.1 统 计
5．1.1 数据的收集
第1课时 总体与样本、简单随机抽样
[知识梳理]
知识点一 总体与样本
1．总体：所考察问题涉及的对象全体．
2．个体：总体中的________叫做个体．
3．样本：抽取的部分对象叫做样本．
4．样本容量：一个样本中包含的个体________叫做样本容量．
5．随机抽样：满足每一个个体__________且被抽到的机会是________的抽样．
知识点二 普查与抽样调查
调查方法 特点 普查 抽样调查
优点 ①所取得的资料更加全面、系统；
②调查特定时段的总体的信息 ①迅速、及时；
②节约人力、物力、财力，对个体信息的了解更详细
缺点 耗费大量的人力、物力、财力 获取的信息不够全面、系统
适用范围 总体容量不大，要获取详实、系统、全面的信息 ①大批量检验；②破坏性检验；③不必要普查等
知识点三 简单随机抽样
1．定义：从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机的抽取个体称为简单随机抽样．
2．常用方法：____________________.
3．抽签法的优缺点：
(1)优点：________.
(2)缺点：当总体的容量________时，费时、费力又不方便；如果抽取之前____________，可能导致抽取的样本不具有代表性．
4.
思考辨析 判断正误
1．在简单随机抽样中，第一次抽到的可能性最小．( )
2．有同学说：“随机数表只有一张，并且读数时只能按照从左向右的顺序读取，否则产生的随机样本就不同了，对总体的估计就不准确了”．( )
3．为了分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，则样本的容量是100. ( )
4．从50个零件中一次性抽取5个进行质量检验是简单随机抽样．( )
第2课时 分层抽样
[知识梳理]
知识点 分层抽样的概念
一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成____________、________的几部分时，每一部分可称为________，在各层中按层在总体中所占________进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样)．
思考辨析 判断正误
1．分层抽样是等可能抽样．( )
2．分层抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样．( )
3．在分层抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( )5.1.2 数据的数字特征
[知识梳理]
知识点一 最值、平均数、中位数、众数
1．一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数________的情况. 一般地，最大值用max表示，最小值用________表示．
2．平均数
如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝，简记为＝i.
3．中位数
把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于________位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．
4．百分位数
设一组数据按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的________，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数．特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是________(即最大值)．
5．众数
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，重复出现次数________的数据称为这组数的众数，一组数据的众数可以是________，也可以是________．
知识点二 极差、方差、标准差
1．极差
一组数据中____________________________称为这组数据的极差．
2．方差
标准差的平方s2叫做方差．
s2＝(xi－)2.
其中，xi是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
3．标准差
标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，一般用s表示．
s＝.
思考辨析 判断正误
1．数据5,4,4,3,5,2的众数为4.( )
2．数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半．( )
3．方差与标准差具有相同的单位．( )
4．一组数据10,11,9,8,6,12,4的25%分位数是6.( )
5.1.3 数据的直观表示
第1课时 柱形图、折线图、扇形图、茎叶图
[知识梳理]
知识点一 统计图表
1．柱形图
柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图中每一个矩形都是________的．
2．折线图
用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应点，然后用直线段顺次连接相邻点，得到一条折线，用这条折线表示样本数据情况，这种表述和分析数据的统计图称为________．
3．扇形图
用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为________(也称为饼图、饼形图)．
4．茎叶图
(1)概念：
统计中有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图．它的思路是将数据中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位上的数作为________，将变化大的位上的数作为________，即“叶”是从“茎”的旁边生长出来的数．茎叶图通常用来记录两位数的数据，把两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按________的顺序从上往下排列．
(2)用茎叶图表示数据有两个突出特点
其一，统计图上没有信息的损失，所有的原始数据都可以从这个茎叶图中得到；
其二，茎叶图可以随时记录，方便表示与比较．
但是，当数据量很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．
知识点二 四种统计图表的比较
1．当数据量很大时一般选用________，它能更直观地反映数据分布的大致情况，并能清晰地表示出各个区间的具体数目，但是________会损失数据的部分信息．
2．折线图能够表现出数据的________，但不能直观反映数据的________．
3．扇形统计图可以直观地反映出各种情况所占的________，但是看不出________________．
4．茎叶图可以动态地表现数据的分布特征，但不适合数据量比较大的情况．
思考辨析 判断正误
1．茎叶图没有数据信息的缺失，所有的原始数据都可以从该图中得到．( )
2．对于两位数的茎叶图，中间的数字表示十位数，旁边的数字表示个位数．( )
3．如图所示是从一批产品中抽样得到的数据的柱形图，由图可看出数据出现机会最大的范围是(8.3,8.4)．( )
4．如图所示的两组数据中，波动比较大的是b组．( )
第2课时 频数分布直方图与频率分布直方图
[知识梳理]
知识点 频率分布表及频率分布直方图
1．频率分布表编制的方法步骤：
2.
思考辨析 判断正误
1．频率分布直方图的纵轴表示频率．( )
2．频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．( )
3．频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数．( )
4．频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.( )
5.1.4 用样本估计总体
[知识梳理]
知识点一 用样本的数字特征估计总体的数字特征
利用随机抽样得到样本，从样本数据得到的分布、平均数和标准差(通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体真正的分布、平均数和标准差，而只是总体的一个估计，但这个估计是合理的，特别是当样本容量很大时，它们确实反映了总体的信息．
n个样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)，则有n＝______________.
设样本的元素为x1，x2，…，xn，样本的平均数为，则样本方差的算术平方根即为样本的标准差，即s＝ .
知识点二 用样本的分布来估计总体的分布
众数 众数是最高长方形的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值
中位数 (1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；
(2)表示样本数据所占频率的等分线
平均数 (1)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；
(2)平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点
思考辨析 判断正误
1．用样本估计出的总体中位数一定是样本数据中的某个数．( )
2．在一组样本数据中，众数一定是唯一的．( )
3．标准差越大，数据的稳定性越强．( )
4．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为2.( )
5.3 概率
5．3.1 样本空间与事件
[知识梳理]
知识点一 样本点和样本空间
1．随机试验
把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验)．
2．样本点
随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点．
3．样本空间
(1)定义：由所有________组成的集合称为样本空间．
(2)表示：样本空间常用大写希腊字母________表示．
知识点二 随机事件
1．事件发生
如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个____________．而且：若试验的结果是A中的元素，则称A________(或出现等)；否则，称A不发生(或不出现等)．
2．不可能事件、必然事件、随机事件
事件 必然事件 ____________________
不可能事件 ____________________
随机事件 ____________________
一般地，不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母____________，…来表示．特别地，只含有一个样本点的事件称为________．
知识点三 随机事件发生的概率
事件A发生可能性大小可以用该事件发生的________(也简称为事件A的________)来衡量，概率越大，代表____________，通常用________来表示．
规定：P(?)＝____；P(Ω)＝____.
预习小测 自我检验
1．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚点数和为20”的事件是________事件．
2．先后抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为________________________．
3．下列事件：
①长度为3,4,5的三条线段首尾依次相连构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③下周六是晴天．
其中，是随机事件的有________．
4．不可能事件的概率为________，必然事件的概率为________.
5.3.2 事件之间的关系与运算
[知识梳理]
知识点一 事件的包含与相等
定义 表示法 图示
包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B________，则称A包含于B(或B包含A) ______(或
______)
相等关系 A?B且B?A A＝B
知识点二 事件的和与积
定义 表示法 图示
和 由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并) ______
(或______)
积 由事件A，B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交) ______(或
______)
知识点三 事件的互斥与对立
定义 表示法 图示
互 斥 若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥 ________(或__________)
对 立 由样本空间Ω中所有不属于事件A的样本点组成的事件称为A的对立事件 事件A的对立事件记为
如果B＝，则称A与B相互对立．
知识点四 互斥事件的概率加法公式
1．互斥事件的概率加法公式：当A与B互斥(即AB＝?)时，有P(A＋B)＝__________.
2．一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝________________.
3．P(A)＋P()＝____.
思考辨析 判断正误
1．同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则M?N.( )
2．若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．( )
3．若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．( )
4．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B一定是对立事件．( )
5．3.3 古典概型
[知识梳理]
知识点一 古典概率模型的特征
如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是________(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都________(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为________．
知识点二 古典概型的概率公式
对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个样本点组成的．如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的样本点数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝＝.
思考辨析 判断正误
1．任何一个事件都是一个基本事件．( )
2．从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．( )
3．古典概型中每一个基本事件出现的可能性相等．( )
4．古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的．( )
5.3.4 频率与概率
[知识梳理]
知识点一 用频率估计概率
在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为，此时也有______________．
知识点二 频率与概率的关系
概率可以通过________来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．
思考辨析 判断正误
1．某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．( )
2．在大量重复试验中，频率会接近于概率．( )
3．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则若他投100次，一定有50次投中．( )
5.3.5 随机事件的独立性
[知识梳理]
知识点 相互独立事件的概念与性质
1．定义：设A，B为两个事件，当________________时，就称事件A与B相互独立(简称独立)．
2．性质：当事件A，B相互独立时，____与，与____，与也相互独立．
3．n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An相互独立的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”．
4．独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)×P(B)；
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
思考辨析 判断正误
1．不可能事件与任何一个事件相互独立．( )
2．必然事件与任何一个事件相互独立．( )
3．“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．( )
5.4 统计与概率的应用
[知识梳理]
知识点 概率的应用
概率是描述随机事件发生__________的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1(包含0,1)之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件(概率接近0)________发生，而大概率事件(概率接近1)则________发生．
思考辨析 判断正误
1．事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件．( )
2．某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8个人能被治愈．( )
3．平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的多，所以这次比赛应选小明参加．( )
4．若某个班级内有40名学生，从中抽出10名学生去参加某项活动，每名学生被抽到的概率为，由于只有被抽到与不被抽到两种情况，所以不被抽到的概率为.( )
第六章 平面向量初步
第六章 平面向量初步
6.1 平面向量及其线性运算
6．1.1 向量的概念
[知识梳理]
知识点一 向量及其表示
1．定义
既有________又有________的量叫做向量．
2．有向线段
具有________和________的线段叫做有向线段．其方向是由________指向________，以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的________，记作||.
3．向量的长度
||(或|a|)表示向量(或a)的________，即长度(也称模)．
4．向量的表示法
(1)向量可以用________来表示，有向线段的长度表示向量的________，箭头所指的方向表示向量的方向．
(2)向量也可以用黑体斜体小写字母如a，b，c…来表示．
知识点二 向量的有关概念
名称 定义 表示方法
零向量 始点和终点相同的向量 0
单位向量 模等于1的向量
相等向量 大小相等且________相同的向量 若a等于b，记作a＝b
向量平行或共线 两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行，两个向量平行也称为两个向量共线 a与b平行或共线，记作a∥b
思考辨析 判断正误
1．如果||>||，那么>.( )
2．若a，b都是单位向量，则a＝b.( )
3．若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同．( )
4．零向量的大小为0，没有方向．( )
6.1.2 向量的加法
[知识梳理]
知识点 向量求和法则及运算律
图示 几何意义
三角形法则
平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为a与b的____(也称为向量a与b的和向量)，记作______，即a＋b＝＋＝______
平行四边形法则
平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为＝，因此＝＋＝________
交换律 a＋b＝__________
结合律 (a＋b)＋c＝____________
思考辨析 判断正误
1．任意两个向量的和仍然是一个向量．( )
2．|a＋b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是a∥b.( )
3．任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( )
4．||＋||＝||.( )
6.1.3 向量的减法
[知识梳理]
知识点 向量减法
1．向量减法
定义 平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，记作x＝________
向量减法的三角形法则
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，注意到＋＝，因此向量就是向量a和b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝________
结论 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|
2.相反向量
定义 把与a大小________，方向________的向量，叫做a的相反向量，记作________
性质 (1)零向量的相反向量仍是________，于是－0＝0；(2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝____；(3)若a＋b＝0，则a＝______，b＝______
思考辨析 判断正误
1．相反向量就是方向相反的向量．( )
2．向量与是相反向量．( )
3．－＝，－(－a)＝a.( )
4．两个相等向量之差等于0.( )
6.1.4 数乘向量
[知识梳理]
知识点 数乘向量
1．定义：一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是________，记作λa，当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λa|＝|λ||a|.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向________．当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
2．数乘向量的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向____________．
3．数乘向量的运算律
设λ，μ为实数，则
(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(2)λ(μa)＝(λμ)a；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
思考辨析 判断正误
1．实数λ与向量a的积还是向量．( )
2．对于非零向量a，向量－6a与向量2a方向相反．( )
3．若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.( )
4．若λa＝0，则a＝0.( )
6.1.5 向量的线性运算
[知识梳理]
知识点一 向量的线性运算
向量的________、________和________以及它们的混合运算，通常叫做向量的线性运算．
知识点二 向量共线
一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有________，从而A，B，C三点一定共线．
预习小测 自我检验
1．下列各式计算正确的有( )
(1)(－7)6a＝－42a；
(2)7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
(3)a－2b＋a＋2b＝2a；
(4)4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．在△ABC中，M是BC的中点，则＋等于( )
A. B.
C．2 D.
3．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A．k＝0 B．k＝1
C．k＝2 D．k＝
4．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
6.2 向量基本定理与向量的坐标
6．2.1 向量基本定理
[知识梳理]
知识点一 共线向量基本定理
1．定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一实数λ，使得________．
2．说明：(1)b＝λa时，通常称为b能用a表示．
(2)唯一性，当b＝λa时，λ唯一．
3．作用：如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ.
知识点二 平面向量基本定理
如果平面内的两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一实数对(x，y)，使得__________．不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}称为该平面上向量的一组________．
思考辨析 判断正误
1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( )
2．零向量可以作为基向量．( )
3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( )
4．若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
[知识梳理]
知识点 直线上向量的坐标及其运算
1．直线上向量的坐标
名称 定义
数轴 在直线l上指定一点O作为原点，以________为正方向，________为单位长度建立数轴
a在轴l上的坐标 如果a＝xe, 则______叫做向量a在轴l上的坐标
2.直线上向量的坐标运算
法则(或公式) 文字语言 符号语言
直线上两个向量相等 直线上两个向量相等的充要条件是它们的__________ 设a＝x1e，b＝x2e，则a＝b?________
直线上求两个向量的和 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的________ 设a＝x1e，b＝x2e，
则a＋b＝________
直线上两点间的距离
AB＝||＝|x2－x1|
数轴上的中点坐标公式
设A(x1)，B(x2)，M(x)是线段AB的中点，则x＝
思考辨析 判断正误
1．单位向量e的长度为1.( )
2．直线上的0坐标不存在．( )
3．直线上向量的坐标就是终点的坐标．( )
4．直线上向量的坐标就是B点坐标减去A点坐标．( )
6．2.3 平面向量的坐标及其运算
[知识梳理]
知识点一 平面向量的坐标
1．向量垂直
平面上两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，就称向量a与b________，记作a______b．规定零向量与任意向量都垂直．
2．正交基底
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的________．
3．向量的坐标
给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝________.
知识点二 向量的直角坐标运算
向量的加、减法 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝____________，a－b＝____________，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差．
实数与向量的积 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．
向量的数乘、加、减混合运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，u，v∈R，则ua±vb＝________________
向量的模 若a＝(x，y)，则|a|＝________
知识点三 平面上两点之间的距离公式与中点坐标公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则AB＝||＝____________________，线段AB的中点坐标为________________．
知识点四 向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?____________.
思考辨析 判断正误
1．在基底确定的条件下，给定一个向量，它的坐标是唯一的有序实数对，所以给定一对实数，它表示的向量也是唯一的．( )
2．两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
3．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b等价于＝.( )
6.3 平面向量线性运算的应用
[知识梳理]
知识点一 向量在平面几何中的应用
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点二 向量在物理中的应用
(1)力向量
力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．
(2)速度向量
一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．
思考辨析 判断正误
1．若∥，则直线AB与CD平行．( )
2．求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．( )
3．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝5.( )
4．若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为等腰梯形．( )
参考答案参 考 答 案
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4．1 指数与指数函数
4．1.1 实数指数幂及其运算
[知识梳理]
知识点一 1.a的n次方根
2．n 被开方数 (1)a (2)a |a|
知识点二 1.(1)()m (3)0 没有意义
2．(1)as＋t (2)ast (3)asbs
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.× 3.× 4.×
4．1.2 指数函数的性质与图像(一)
[知识梳理]
知识点一 y＝ax a＞0且a≠1
知识点二 R (0，＋∞) (0,1) 1 增函数 减函数 非奇非偶函数
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.√ 4.×
4．1.2 指数函数的性质与图像(二)
[知识梳理]
知识点一 (1)单调性 (3)中间值
知识点二 (1)单调性 (2)单调性
知识点三 (1)相同 (2)相同 相反
4．2 对数与对数函数
4．2.1 对数运算
[知识梳理]
知识点一 以a为底N的对数 loga N 底数 真数 常用对数 自然对数 lg N ln N
知识点二 x N x
知识点三 1.0 2.1 3.没有对数
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.√ 3.× 4.×
4．2.2 对数运算法则
[知识梳理]
知识点一 (1)logaM＋logaN
(2)αlogaM
(3)logaM－logaN
知识点二 1. 2.(1)
(2)logab (3)logad
[预习小测 自我检验]
1．答案：1
2．答案：1
3．答案：(1) (2)0.8
4．答案：2
4．2.3 对数函数的性质与图像(一)
[知识梳理]
知识点一 logax
知识点二 (0，＋∞) R 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 (1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.√ 4.×
4．2.3 对数函数的性质与图像(二)
[知识梳理]
知识点 a>1 0[预习小测 自我检验]
1．答案：R
2．解析：由底数大于1可排除①、②，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图像向左平移1个单位长度(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)．
答案：③
3．答案：增
4．答案：(1,1)
4．3 指数函数与对数函数的关系
[知识梳理]
知识点 1.(1)任意一个 唯一的
(2)y＝f－1(x)
(3)值域 定义域 y＝x
2．(1)互为反函数 (2)y＝x
[预习小测 自我检验]
1．解析：由y＝x＋2(x∈R)，得x＝y－2(y∈R)．互换x，y，得y＝x－2(x∈R)．
答案：y＝x－2
2．解析：∵y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于y＝x对称，
∴y＝f－1(x)过点(2,1)．
答案：(2,1)
3．解析：反函数的值域为原函数的定义域(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
4．解析：∵当x∈(0，＋∞)时，x∈(0,1)，
∴函数f(x)＝x，x∈(0，＋∞)的值域为(0,1)，
又f(x)与g(x)互为反函数，
故g(x)的定义域为(0,1)．
答案：(0,1)
4．4 幂函数
[知识梳理]
知识点一 xα
知识点二 2.{x|x≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 增函数 增函数 [0，＋∞) 增函数 减函数
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.√ 3.× 4.√
4．5 增长速度的比较
[知识梳理]
知识点一
知识点二 增函数 增函数 增函数 快于 快于
ax>kx>logax
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.√ 3.√ 4.×
4．6 函数的应用(二)
[知识梳理]
知识点一 bax＋c blogax＋c axn＋b
知识点二 1.审题 2.建模 3.求模 4.还原
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.√ 3.×
第五章 统计与概率
5．1 统 计
5．1.1 数据的收集
第1课时 总体与样本、简单随机抽样
[知识梳理]
知识点一 2.每个对象 4.数目 5.都可能被抽到 均等
知识点三 2.抽签法、随机数表法
3．(1)简单易行 (2)非常大 搅拌得不均匀
4．随机数表
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.√ 4.×
第2课时 分层抽样
[知识梳理]
知识点 有明显差别的 互不重叠 层 比例
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.√ 3.×
5．1.2 数据的数字特征
[知识梳理]
知识点一 1.最极端 min 3.最中间 4.最小整数 xn
5．最多 一个 多个
知识点二 1.最大值减去最小值所得的差
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.√ 3.× 4.√
5．1.3 数据的直观表示
第1课时 柱形图、折线图、扇形图、茎叶图
[知识梳理]
知识点一 1.等宽 2.折线图 3.扇形图 4.(1)“茎” “叶” 从小到大
知识点二 1.柱形图 柱形图 2.变化趋势 分布情况 3.比例 具体数据的多少
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.√ 3.× 4.×
第2课时 频数分布直方图与频率分布直方图
[知识梳理]
知识点 1.找出最值，计算极差 合理分组，确定区间 整理数据 作出有关图示
2．样本分组 频率与组距的比值 各小长方形的面积 等于1
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.√ 3.× 4.√
5．1.4 用样本估计总体
[知识梳理]
知识点一 x1＋x2＋…＋xn
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.× 4.√
5．3 概率
5．3.1 样本空间与事件
[知识梳理]
知识点一 3.(1)样本点 (2)Ω
知识点二 1.非空真子集 发生 2.每次试验中一定会发生 每次试验中一定不发生 可能发生也可能不发生 A，B，C 基本事件
知识点三 概率 概率 越有可能发生 P(A) 0 1
[预习小测 自我检验]
1．答案：不可能
2．答案：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)
3．答案：②③
4．答案：0 1
5．3.2 事件之间的关系与运算
[知识梳理]
知识点一 一定发生 A?B B?A
知识点二 A＋B A∪B AB A∩B
知识点三 AB＝? A∩B＝?
知识点四 1.P(A)＋P(B)
2．P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
3．1
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.× 3.√ 4.×
5．3.3 古典概型
[知识梳理]
知识点一 有限的 相等 古典概型
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.√ 4.√
5．3.4 频率与概率
[知识梳理]
知识点一 0≤P(A)≤1
知识点二 频率
[思考辨析 判断正误]
1.× 2.√ 3.×
5．3.5 随机事件的独立性
[知识梳理]
知识点 1.P(AB)＝P(A)P(B)
2．A B
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.√ 3.√
5．4 统计与概率的应用
[知识梳理]
知识点 可能性大小 很少 经常
[思考辨析 判断正误]
1．× 提示：不可能事件是指一定不会发生的事件，而发生的概率很小，不代表一定不发生．
2．× 提示：概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．
3．√ 4.×
第六章 平面向量初步
6．1 平面向量及其线性运算
6．1.1 向量的概念
[知识梳理]
知识点一 1.大小 方向 2.方向 长度 起点 终点 长度 3.大小
4．(1)有向线段 大小
知识点二 方向
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.√ 4.×
6．1.2 向量的加法
[知识梳理]
知识点 和 a＋b ＋
b＋a a＋(b＋c)
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.× 3.× 4.×
6．1.3 向量的减法
[知识梳理]
知识点 1.a－b 2.相等 相反 －a 零向量 0 －b －a
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.√ 3.√ 4.×
6．1.4 数乘向量
[知识梳理]
知识点 1.一个向量 相同 相反
2．放大或缩小
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.√ 3.× 4.×
6．1.5 向量的线性运算
[知识梳理]
知识点一 加法 减法 数乘向量
知识点二 公共点A
[预习小测 自我检验]
1．解析：(1)(3)(4)正确，(2)错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.
答案：C
2．解析：如图，作出平行四边形ABEC，因为M是BC的中点，所以M也是AE的中点，由题意知，＋＝＝2，故选C.
答案：C
3．解析：当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.
∴n＝2m，此时，m，n共线．
答案：D
4．解析：因为＋＋＝，
所以＋＋＋＝0，
即－2＝，所以与共线．
答案：B
6．2 向量基本定理与向量的坐标
6．2.1 向量基本定理
[知识梳理]
知识点一 1.b＝λa
知识点二 c＝xa＋yb 基底
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.× 4.√
6．2.2 直线上向量的坐标及其运算
[知识梳理]
知识点 1.e的方向 e的模 x 2.坐标相等 x1＝x2 坐标的和 (x1＋x2)e
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.× 3.× 4.√
6．2.3 平面向量的坐标及其运算
[知识梳理]
知识点一 1.垂直 ⊥ 2.正交分解 3.(x，y)
知识点二 (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2)
(λx，λy) (ux1±vx2，uy1±vy2)
知识点三
知识点四 x1y2＝x2y1
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.×
6．3 平面向量线性运算的应用
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.√ 3.√ 4.√
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1 指数与指数函数
4．1.1 实数指数幂及其运算
[知识梳理]
知识点一 根式
1．a的n次方根的意义
一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为________________．
2．根式的意义和性质
当有意义时，叫做根式，________叫做根指数，a称为________．
根式的性质：
(1)()n＝________；
(2)＝
知识点二 实数指数幂
1．分数指数幂的意义
(1)正数的正分数指数幂的意义：a＝________＝________；
(2)正数的负分数指数幂的意义：
a＝；
(3)0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________．
2．有理指数幂的运算法则
(1)asat＝________(a>0，s，t∈Q)；
(2)(as)t＝________(a>0，s，t∈Q)；
(3)(ab)s＝________(a>0，b>0，s∈Q)．
思考辨析 判断正误
1．当n为偶数，a≥0时，≥0.( )
2．(－2)＝(－2).( )
3．a2·a＝a.( )
4．当n∈N＋时，()n都有意义．( )
4.1.2 指数函数的性质与图像(一)
[知识梳理]
知识点一 指数函数的定义
函数________称为指数函数，其中a为常数，________.
知识点二 指数函数的图像与性质
a＞1 0＜a＜1
图像
性质 定义域 ________
值域 ________
过定点 ________，即当x＝0
时，y＝________
单调性 在R上是
________ 在R上是
________
奇偶性 ________________
思考辨析 判断正误
1．y＝xx(x>0)是指数函数．( )
2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．( )
3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1)．( )
4．y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.( )
4.1.2 指数函数的性质与图像(二)
[知识梳理]
知识点一 比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的________来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过________来判断．
知识点二 解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的________求解；
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的________求解；
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图像求解．
知识点三 指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有________的单调性；当0
4．2.1 对数运算
[知识梳理]
知识点一 对数的概念
对数的概念：
在表达式ab＝N(a＞0且a≠1，N∈(0，＋∞)中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为________________，记作b＝________，其中a称为对数的________，N称为对数的________．
常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数称为________，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为________，log10N可简记为________，logeN简记为________．
知识点二 对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝________.
对数恒等式：a＝________；logaax＝________(a>0，且a≠1)．
知识点三 对数的性质
1．1的对数为________．
2．底的对数为________．
3．零和负数________．
思考辨析 判断正误
1．若3x＝2，则x＝log32.( )
2．因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以logaa＝1.( )
3．logaN>0(a>0且a≠1，N>0)．( )
4．若ln N＝，则N＝e.( )
4.2.2 对数运算法则
[知识梳理]
知识点一 对数运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝____________；
(2)logaMα＝________(α∈R)；
(3)loga＝____________.
知识点二 换底公式
1．logab＝____________(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论：
(1)logaN＝________(N>0且N≠1；a>0且a≠1)；
(2)loganbm＝________(a>0且a≠1，b>0，n≠0)；
(3)logab·logbc·logcd＝________(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
预习小测 自我检验
1．计算：log84＋log82＝________.
2．计算：log510－log52＝________.
3．(1)lg＝________；
(2)已知ln a＝0.2，则ln＝________.
4.＝________.
4．2.3 对数函数的性质与图像(一)
[知识梳理]
知识点一 对数函数的概念
一般地，函数y＝________(a>0，且a≠1)称为对数函数．
知识点二 对数函数的图像与性质
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0
定义域 ________
值域 ________
单调性 ____________ ______________
共点性 图像过定点________，即当x＝1时，y＝0
函数值 特点 当x∈(0,1)时，y∈________；当x∈[1，＋∞)时，y∈________ 当x∈(0,1)时，y∈________；当x∈[1，＋∞)时，y∈________
对称性 函数y＝logax与y＝logx的图像关于________对称
思考辨析 判断正误
1．y＝log2x2是对数函数．( )
2．函数y＝loga(x－1)(a＞0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．( )
3．对数函数的图像一定在y轴右侧．( )
4．当0＜a＜1时，若x＞1，则y＝logax的函数值都大于零．( )
4.2.3 对数函数的性质与图像(二)
[知识梳理]
知识点 不同底的对数函数图像的相对位置
一般地，对于底数________的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数________的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴．
预习小测 自我检验
1．函数y＝log4.3x的值域是________．
2．函数y＝lg(x＋1)的图像大致是________．
3．已知y＝ax在R上是增函数，则y＝logax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)
4．函数y＝logax＋1过定点________．
4.3 指数函数与对数函数的关系
[知识梳理]
知识点 指数函数与对数函数的关系
1．反函数
(1)反函数的概念
一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中________y的值，只有________x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数．
(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数记作________．
(3)反函数的性质
y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的________相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的________相同，y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线________对称．
2．指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)____________．
(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像关于________对称．
预习小测 自我检验
1．函数y＝x＋2(x∈R)的反函数为________．
2．函数y＝f(x)过点(1,2)，则f－1(x)过点________．
3．函数y＝log3x的反函数的值域为________．
4．函数g(x)是函数f(x)的反函数，若f(x)＝x且x∈(0，＋∞)，则函数g(x)的定义域为________．
4.4 幂函数
[知识梳理]
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数y＝________称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二 幂函数的图像和性质
1．幂函数的图像
在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图像如图．
2．五个幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) ________
值域 R ________ R ________ ________
奇偶性 ______ ______ ______ ______ ______
单调性 在R
上是
______ 在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数 在R
上是
______ 在________上是________ 在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是________
公共点 (1,1)
思考辨析 判断正误
1．y＝－是幂函数．( )
2．当x∈(0,1)时，x2>x3.( )
3．y＝x与y＝x定义域相同．( )
4．若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( )
4.5 增长速度的比较
[知识梳理]
知识点一 函数的平均变化率
函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率为＝__________.它的实质是函数值的改变量与自变量的改变量之比，也可理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加________个单位. 因此可以用平均变化率来比较函数值变化的快慢．
知识点二 三种常见函数模型的增长差异
函数 性质 y＝ax
(a>1) y＝logax
(a>1) y＝kx
(k>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 ______ ______ ______
图像的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于“平缓” 随x的增大匀速上升
增长速度 y＝ax的增长速度________y＝kx，y＝kx的增长速度________y＝logax
增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有________
思考辨析 判断正误
1．函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．( )
2．函数y＝logx衰减的速度越来越慢．( )
3．能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，称为指数型的函数模型，也常称为“爆炸型”函数．( )
4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>2x(a>1)．( )
4.6 函数的应用(二)
[知识梳理]
知识点一 几类已知函数模型
函数模型 函数解析式
指数型函 数模型 f(x)＝____________(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函 数模型 f(x)＝____________(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数 型模型 f(x)＝________(a，b为常数，a≠0)
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
1．________——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．________——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3．________——求解数学模型，得出数学模型；
4．________——将数学结论还原为实际问题．
思考辨析 判断正误
1．在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( )
2．利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．( )
3．用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( )
第五章 统计与概率
第五章 统计与概率
5.1 统 计
5．1.1 数据的收集
第1课时 总体与样本、简单随机抽样
[知识梳理]
知识点一 总体与样本
1．总体：所考察问题涉及的对象全体．
2．个体：总体中的________叫做个体．
3．样本：抽取的部分对象叫做样本．
4．样本容量：一个样本中包含的个体________叫做样本容量．
5．随机抽样：满足每一个个体__________且被抽到的机会是________的抽样．
知识点二 普查与抽样调查
调查方法 特点 普查 抽样调查
优点 ①所取得的资料更加全面、系统；
②调查特定时段的总体的信息 ①迅速、及时；
②节约人力、物力、财力，对个体信息的了解更详细
缺点 耗费大量的人力、物力、财力 获取的信息不够全面、系统
适用范围 总体容量不大，要获取详实、系统、全面的信息 ①大批量检验；②破坏性检验；③不必要普查等
知识点三 简单随机抽样
1．定义：从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机的抽取个体称为简单随机抽样．
2．常用方法：____________________.
3．抽签法的优缺点：
(1)优点：________.
(2)缺点：当总体的容量________时，费时、费力又不方便；如果抽取之前____________，可能导致抽取的样本不具有代表性．
4.
思考辨析 判断正误
1．在简单随机抽样中，第一次抽到的可能性最小．( )
2．有同学说：“随机数表只有一张，并且读数时只能按照从左向右的顺序读取，否则产生的随机样本就不同了，对总体的估计就不准确了”．( )
3．为了分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，则样本的容量是100. ( )
4．从50个零件中一次性抽取5个进行质量检验是简单随机抽样．( )
第2课时 分层抽样
[知识梳理]
知识点 分层抽样的概念
一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成____________、________的几部分时，每一部分可称为________，在各层中按层在总体中所占________进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样)．
思考辨析 判断正误
1．分层抽样是等可能抽样．( )
2．分层抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样．( )
3．在分层抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( )5.1.2 数据的数字特征
[知识梳理]
知识点一 最值、平均数、中位数、众数
1．一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数________的情况. 一般地，最大值用max表示，最小值用________表示．
2．平均数
如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝，简记为＝i.
3．中位数
把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于________位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．
4．百分位数
设一组数据按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的________，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数．特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是________(即最大值)．
5．众数
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，重复出现次数________的数据称为这组数的众数，一组数据的众数可以是________，也可以是________．
知识点二 极差、方差、标准差
1．极差
一组数据中____________________________称为这组数据的极差．
2．方差
标准差的平方s2叫做方差．
s2＝(xi－)2.
其中，xi是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
3．标准差
标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，一般用s表示．
s＝.
思考辨析 判断正误
1．数据5,4,4,3,5,2的众数为4.( )
2．数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半．( )
3．方差与标准差具有相同的单位．( )
4．一组数据10,11,9,8,6,12,4的25%分位数是6.( )
5.1.3 数据的直观表示
第1课时 柱形图、折线图、扇形图、茎叶图
[知识梳理]
知识点一 统计图表
1．柱形图
柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图中每一个矩形都是________的．
2．折线图
用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应点，然后用直线段顺次连接相邻点，得到一条折线，用这条折线表示样本数据情况，这种表述和分析数据的统计图称为________．
3．扇形图
用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为________(也称为饼图、饼形图)．
4．茎叶图
(1)概念：
统计中有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图．它的思路是将数据中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位上的数作为________，将变化大的位上的数作为________，即“叶”是从“茎”的旁边生长出来的数．茎叶图通常用来记录两位数的数据，把两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按________的顺序从上往下排列．
(2)用茎叶图表示数据有两个突出特点
其一，统计图上没有信息的损失，所有的原始数据都可以从这个茎叶图中得到；
其二，茎叶图可以随时记录，方便表示与比较．
但是，当数据量很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．
知识点二 四种统计图表的比较
1．当数据量很大时一般选用________，它能更直观地反映数据分布的大致情况，并能清晰地表示出各个区间的具体数目，但是________会损失数据的部分信息．
2．折线图能够表现出数据的________，但不能直观反映数据的________．
3．扇形统计图可以直观地反映出各种情况所占的________，但是看不出________________．
4．茎叶图可以动态地表现数据的分布特征，但不适合数据量比较大的情况．
思考辨析 判断正误
1．茎叶图没有数据信息的缺失，所有的原始数据都可以从该图中得到．( )
2．对于两位数的茎叶图，中间的数字表示十位数，旁边的数字表示个位数．( )
3．如图所示是从一批产品中抽样得到的数据的柱形图，由图可看出数据出现机会最大的范围是(8.3,8.4)．( )
4．如图所示的两组数据中，波动比较大的是b组．( )
第2课时 频数分布直方图与频率分布直方图
[知识梳理]
知识点 频率分布表及频率分布直方图
1．频率分布表编制的方法步骤：
2.
思考辨析 判断正误
1．频率分布直方图的纵轴表示频率．( )
2．频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．( )
3．频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数．( )
4．频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.( )
5.1.4 用样本估计总体
[知识梳理]
知识点一 用样本的数字特征估计总体的数字特征
利用随机抽样得到样本，从样本数据得到的分布、平均数和标准差(通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体真正的分布、平均数和标准差，而只是总体的一个估计，但这个估计是合理的，特别是当样本容量很大时，它们确实反映了总体的信息．
n个样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)，则有n＝______________.
设样本的元素为x1，x2，…，xn，样本的平均数为，则样本方差的算术平方根即为样本的标准差，即s＝ .
知识点二 用样本的分布来估计总体的分布
众数 众数是最高长方形的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值
中位数 (1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；
(2)表示样本数据所占频率的等分线
平均数 (1)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；
(2)平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点
思考辨析 判断正误
1．用样本估计出的总体中位数一定是样本数据中的某个数．( )
2．在一组样本数据中，众数一定是唯一的．( )
3．标准差越大，数据的稳定性越强．( )
4．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为2.( )
5.3 概率
5．3.1 样本空间与事件
[知识梳理]
知识点一 样本点和样本空间
1．随机试验
把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验)．
2．样本点
随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点．
3．样本空间
(1)定义：由所有________组成的集合称为样本空间．
(2)表示：样本空间常用大写希腊字母________表示．
知识点二 随机事件
1．事件发生
如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个____________．而且：若试验的结果是A中的元素，则称A________(或出现等)；否则，称A不发生(或不出现等)．
2．不可能事件、必然事件、随机事件
事件 必然事件 ____________________
不可能事件 ____________________
随机事件 ____________________
一般地，不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母____________，…来表示．特别地，只含有一个样本点的事件称为________．
知识点三 随机事件发生的概率
事件A发生可能性大小可以用该事件发生的________(也简称为事件A的________)来衡量，概率越大，代表____________，通常用________来表示．
规定：P(?)＝____；P(Ω)＝____.
预习小测 自我检验
1．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚点数和为20”的事件是________事件．
2．先后抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为________________________．
3．下列事件：
①长度为3,4,5的三条线段首尾依次相连构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③下周六是晴天．
其中，是随机事件的有________．
4．不可能事件的概率为________，必然事件的概率为________.
5.3.2 事件之间的关系与运算
[知识梳理]
知识点一 事件的包含与相等
定义 表示法 图示
包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B________，则称A包含于B(或B包含A) ______(或
______)
相等关系 A?B且B?A A＝B
知识点二 事件的和与积
定义 表示法 图示
和 由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并) ______
(或______)
积 由事件A，B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交) ______(或
______)
知识点三 事件的互斥与对立
定义 表示法 图示
互 斥 若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥 ________(或__________)
对 立 由样本空间Ω中所有不属于事件A的样本点组成的事件称为A的对立事件 事件A的对立事件记为
如果B＝，则称A与B相互对立．
知识点四 互斥事件的概率加法公式
1．互斥事件的概率加法公式：当A与B互斥(即AB＝?)时，有P(A＋B)＝__________.
2．一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝________________.
3．P(A)＋P()＝____.
思考辨析 判断正误
1．同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则M?N.( )
2．若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．( )
3．若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．( )
4．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B一定是对立事件．( )
5．3.3 古典概型
[知识梳理]
知识点一 古典概率模型的特征
如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是________(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都________(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为________．
知识点二 古典概型的概率公式
对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个样本点组成的．如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的样本点数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝＝.
思考辨析 判断正误
1．任何一个事件都是一个基本事件．( )
2．从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．( )
3．古典概型中每一个基本事件出现的可能性相等．( )
4．古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的．( )
5.3.4 频率与概率
[知识梳理]
知识点一 用频率估计概率
在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为，此时也有______________．
知识点二 频率与概率的关系
概率可以通过________来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．
思考辨析 判断正误
1．某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．( )
2．在大量重复试验中，频率会接近于概率．( )
3．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则若他投100次，一定有50次投中．( )
5.3.5 随机事件的独立性
[知识梳理]
知识点 相互独立事件的概念与性质
1．定义：设A，B为两个事件，当________________时，就称事件A与B相互独立(简称独立)．
2．性质：当事件A，B相互独立时，____与，与____，与也相互独立．
3．n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An相互独立的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”．
4．独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)×P(B)；
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
思考辨析 判断正误
1．不可能事件与任何一个事件相互独立．( )
2．必然事件与任何一个事件相互独立．( )
3．“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．( )
5.4 统计与概率的应用
[知识梳理]
知识点 概率的应用
概率是描述随机事件发生__________的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1(包含0,1)之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件(概率接近0)________发生，而大概率事件(概率接近1)则________发生．
思考辨析 判断正误
1．事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件．( )
2．某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8个人能被治愈．( )
3．平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的多，所以这次比赛应选小明参加．( )
4．若某个班级内有40名学生，从中抽出10名学生去参加某项活动，每名学生被抽到的概率为，由于只有被抽到与不被抽到两种情况，所以不被抽到的概率为.( )
第六章 平面向量初步
第六章 平面向量初步
6.1 平面向量及其线性运算
6．1.1 向量的概念
[知识梳理]
知识点一 向量及其表示
1．定义
既有________又有________的量叫做向量．
2．有向线段
具有________和________的线段叫做有向线段．其方向是由________指向________，以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的________，记作||.
3．向量的长度
||(或|a|)表示向量(或a)的________，即长度(也称模)．
4．向量的表示法
(1)向量可以用________来表示，有向线段的长度表示向量的________，箭头所指的方向表示向量的方向．
(2)向量也可以用黑体斜体小写字母如a，b，c…来表示．
知识点二 向量的有关概念
名称 定义 表示方法
零向量 始点和终点相同的向量 0
单位向量 模等于1的向量
相等向量 大小相等且________相同的向量 若a等于b，记作a＝b
向量平行或共线 两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行，两个向量平行也称为两个向量共线 a与b平行或共线，记作a∥b
思考辨析 判断正误
1．如果||>||，那么>.( )
2．若a，b都是单位向量，则a＝b.( )
3．若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同．( )
4．零向量的大小为0，没有方向．( )
6.1.2 向量的加法
[知识梳理]
知识点 向量求和法则及运算律
图示 几何意义
三角形法则
平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为a与b的____(也称为向量a与b的和向量)，记作______，即a＋b＝＋＝______
平行四边形法则
平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为＝，因此＝＋＝________
交换律 a＋b＝__________
结合律 (a＋b)＋c＝____________
思考辨析 判断正误
1．任意两个向量的和仍然是一个向量．( )
2．|a＋b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是a∥b.( )
3．任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( )
4．||＋||＝||.( )
6.1.3 向量的减法
[知识梳理]
知识点 向量减法
1．向量减法
定义 平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，记作x＝________
向量减法的三角形法则
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，注意到＋＝，因此向量就是向量a和b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝________
结论 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|
2.相反向量
定义 把与a大小________，方向________的向量，叫做a的相反向量，记作________
性质 (1)零向量的相反向量仍是________，于是－0＝0；(2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝____；(3)若a＋b＝0，则a＝______，b＝______
思考辨析 判断正误
1．相反向量就是方向相反的向量．( )
2．向量与是相反向量．( )
3．－＝，－(－a)＝a.( )
4．两个相等向量之差等于0.( )
6.1.4 数乘向量
[知识梳理]
知识点 数乘向量
1．定义：一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是________，记作λa，当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λa|＝|λ||a|.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向________．当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
2．数乘向量的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向____________．
3．数乘向量的运算律
设λ，μ为实数，则
(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(2)λ(μa)＝(λμ)a；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
思考辨析 判断正误
1．实数λ与向量a的积还是向量．( )
2．对于非零向量a，向量－6a与向量2a方向相反．( )
3．若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.( )
4．若λa＝0，则a＝0.( )
6.1.5 向量的线性运算
[知识梳理]
知识点一 向量的线性运算
向量的________、________和________以及它们的混合运算，通常叫做向量的线性运算．
知识点二 向量共线
一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有________，从而A，B，C三点一定共线．
预习小测 自我检验
1．下列各式计算正确的有( )
(1)(－7)6a＝－42a；
(2)7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
(3)a－2b＋a＋2b＝2a；
(4)4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．在△ABC中，M是BC的中点，则＋等于( )
A. B.
C．2 D.
3．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A．k＝0 B．k＝1
C．k＝2 D．k＝
4．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
6.2 向量基本定理与向量的坐标
6．2.1 向量基本定理
[知识梳理]
知识点一 共线向量基本定理
1．定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一实数λ，使得________．
2．说明：(1)b＝λa时，通常称为b能用a表示．
(2)唯一性，当b＝λa时，λ唯一．
3．作用：如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ.
知识点二 平面向量基本定理
如果平面内的两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一实数对(x，y)，使得__________．不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}称为该平面上向量的一组________．
思考辨析 判断正误
1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( )
2．零向量可以作为基向量．( )
3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( )
4．若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
[知识梳理]
知识点 直线上向量的坐标及其运算
1．直线上向量的坐标
名称 定义
数轴 在直线l上指定一点O作为原点，以________为正方向，________为单位长度建立数轴
a在轴l上的坐标 如果a＝xe, 则______叫做向量a在轴l上的坐标
2.直线上向量的坐标运算
法则(或公式) 文字语言 符号语言
直线上两个向量相等 直线上两个向量相等的充要条件是它们的__________ 设a＝x1e，b＝x2e，则a＝b?________
直线上求两个向量的和 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的________ 设a＝x1e，b＝x2e，
则a＋b＝________
直线上两点间的距离
AB＝||＝|x2－x1|
数轴上的中点坐标公式
设A(x1)，B(x2)，M(x)是线段AB的中点，则x＝
思考辨析 判断正误
1．单位向量e的长度为1.( )
2．直线上的0坐标不存在．( )
3．直线上向量的坐标就是终点的坐标．( )
4．直线上向量的坐标就是B点坐标减去A点坐标．( )
6．2.3 平面向量的坐标及其运算
[知识梳理]
知识点一 平面向量的坐标
1．向量垂直
平面上两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，就称向量a与b________，记作a______b．规定零向量与任意向量都垂直．
2．正交基底
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的________．
3．向量的坐标
给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝________.
知识点二 向量的直角坐标运算
向量的加、减法 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝____________，a－b＝____________，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差．
实数与向量的积 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．
向量的数乘、加、减混合运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，u，v∈R，则ua±vb＝________________
向量的模 若a＝(x，y)，则|a|＝________
知识点三 平面上两点之间的距离公式与中点坐标公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则AB＝||＝____________________，线段AB的中点坐标为________________．
知识点四 向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?____________.
思考辨析 判断正误
1．在基底确定的条件下，给定一个向量，它的坐标是唯一的有序实数对，所以给定一对实数，它表示的向量也是唯一的．( )
2．两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
3．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b等价于＝.( )
6.3 平面向量线性运算的应用
[知识梳理]
知识点一 向量在平面几何中的应用
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点二 向量在物理中的应用
(1)力向量
力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．
(2)速度向量
一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．
思考辨析 判断正误
1．若∥，则直线AB与CD平行．( )
2．求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．( )
3．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝5.( )
4．若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为等腰梯形．( )
参考答案参 考 答 案
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4．1 指数与指数函数
4．1.1 实数指数幂及其运算
[知识梳理]
知识点一 1.a的n次方根
2．n 被开方数 (1)a (2)a |a|
知识点二 1.(1)()m (3)0 没有意义
2．(1)as＋t (2)ast (3)asbs
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.× 3.× 4.×
4．1.2 指数函数的性质与图像(一)
[知识梳理]
知识点一 y＝ax a＞0且a≠1
知识点二 R (0，＋∞) (0,1) 1 增函数 减函数 非奇非偶函数
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.√ 4.×
4．1.2 指数函数的性质与图像(二)
[知识梳理]
知识点一 (1)单调性 (3)中间值
知识点二 (1)单调性 (2)单调性
知识点三 (1)相同 (2)相同 相反
4．2 对数与对数函数
4．2.1 对数运算
[知识梳理]
知识点一 以a为底N的对数 loga N 底数 真数 常用对数 自然对数 lg N ln N
知识点二 x N x
知识点三 1.0 2.1 3.没有对数
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.√ 3.× 4.×
4．2.2 对数运算法则
[知识梳理]
知识点一 (1)logaM＋logaN
(2)αlogaM
(3)logaM－logaN
知识点二 1. 2.(1)
(2)logab (3)logad
[预习小测 自我检验]
1．答案：1
2．答案：1
3．答案：(1) (2)0.8
4．答案：2
4．2.3 对数函数的性质与图像(一)
[知识梳理]
知识点一 logax
知识点二 (0，＋∞) R 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 (1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.√ 4.×
4．2.3 对数函数的性质与图像(二)
[知识梳理]
知识点 a>1 0
1．答案：R
2．解析：由底数大于1可排除①、②，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图像向左平移1个单位长度(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)．
答案：③
3．答案：增
4．答案：(1,1)
4．3 指数函数与对数函数的关系
[知识梳理]
知识点 1.(1)任意一个 唯一的
(2)y＝f－1(x)
(3)值域 定义域 y＝x
2．(1)互为反函数 (2)y＝x
[预习小测 自我检验]
1．解析：由y＝x＋2(x∈R)，得x＝y－2(y∈R)．互换x，y，得y＝x－2(x∈R)．
答案：y＝x－2
2．解析：∵y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于y＝x对称，
∴y＝f－1(x)过点(2,1)．
答案：(2,1)
3．解析：反函数的值域为原函数的定义域(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
4．解析：∵当x∈(0，＋∞)时，x∈(0,1)，
∴函数f(x)＝x，x∈(0，＋∞)的值域为(0,1)，
又f(x)与g(x)互为反函数，
故g(x)的定义域为(0,1)．
答案：(0,1)
4．4 幂函数
[知识梳理]
知识点一 xα
知识点二 2.{x|x≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 增函数 增函数 [0，＋∞) 增函数 减函数
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.√ 3.× 4.√
4．5 增长速度的比较
[知识梳理]
知识点一
知识点二 增函数 增函数 增函数 快于 快于
ax>kx>logax
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.√ 3.√ 4.×
4．6 函数的应用(二)
[知识梳理]
知识点一 bax＋c blogax＋c axn＋b
知识点二 1.审题 2.建模 3.求模 4.还原
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.√ 3.×
第五章 统计与概率
5．1 统 计
5．1.1 数据的收集
第1课时 总体与样本、简单随机抽样
[知识梳理]
知识点一 2.每个对象 4.数目 5.都可能被抽到 均等
知识点三 2.抽签法、随机数表法
3．(1)简单易行 (2)非常大 搅拌得不均匀
4．随机数表
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.√ 4.×
第2课时 分层抽样
[知识梳理]
知识点 有明显差别的 互不重叠 层 比例
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.√ 3.×
5．1.2 数据的数字特征
[知识梳理]
知识点一 1.最极端 min 3.最中间 4.最小整数 xn
5．最多 一个 多个
知识点二 1.最大值减去最小值所得的差
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.√ 3.× 4.√
5．1.3 数据的直观表示
第1课时 柱形图、折线图、扇形图、茎叶图
[知识梳理]
知识点一 1.等宽 2.折线图 3.扇形图 4.(1)“茎” “叶” 从小到大
知识点二 1.柱形图 柱形图 2.变化趋势 分布情况 3.比例 具体数据的多少
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.√ 3.× 4.×
第2课时 频数分布直方图与频率分布直方图
[知识梳理]
知识点 1.找出最值，计算极差 合理分组，确定区间 整理数据 作出有关图示
2．样本分组 频率与组距的比值 各小长方形的面积 等于1
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.√ 3.× 4.√
5．1.4 用样本估计总体
[知识梳理]
知识点一 x1＋x2＋…＋xn
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.× 4.√
5．3 概率
5．3.1 样本空间与事件
[知识梳理]
知识点一 3.(1)样本点 (2)Ω
知识点二 1.非空真子集 发生 2.每次试验中一定会发生 每次试验中一定不发生 可能发生也可能不发生 A，B，C 基本事件
知识点三 概率 概率 越有可能发生 P(A) 0 1
[预习小测 自我检验]
1．答案：不可能
2．答案：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)
3．答案：②③
4．答案：0 1
5．3.2 事件之间的关系与运算
[知识梳理]
知识点一 一定发生 A?B B?A
知识点二 A＋B A∪B AB A∩B
知识点三 AB＝? A∩B＝?
知识点四 1.P(A)＋P(B)
2．P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
3．1
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.× 3.√ 4.×
5．3.3 古典概型
[知识梳理]
知识点一 有限的 相等 古典概型
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.√ 4.√
5．3.4 频率与概率
[知识梳理]
知识点一 0≤P(A)≤1
知识点二 频率
[思考辨析 判断正误]
1.× 2.√ 3.×
5．3.5 随机事件的独立性
[知识梳理]
知识点 1.P(AB)＝P(A)P(B)
2．A B
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.√ 3.√
5．4 统计与概率的应用
[知识梳理]
知识点 可能性大小 很少 经常
[思考辨析 判断正误]
1．× 提示：不可能事件是指一定不会发生的事件，而发生的概率很小，不代表一定不发生．
2．× 提示：概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．
3．√ 4.×
第六章 平面向量初步
6．1 平面向量及其线性运算
6．1.1 向量的概念
[知识梳理]
知识点一 1.大小 方向 2.方向 长度 起点 终点 长度 3.大小
4．(1)有向线段 大小
知识点二 方向
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.√ 4.×
6．1.2 向量的加法
[知识梳理]
知识点 和 a＋b ＋
b＋a a＋(b＋c)
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.× 3.× 4.×
6．1.3 向量的减法
[知识梳理]
知识点 1.a－b 2.相等 相反 －a 零向量 0 －b －a
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.√ 3.√ 4.×
6．1.4 数乘向量
[知识梳理]
知识点 1.一个向量 相同 相反
2．放大或缩小
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.√ 3.× 4.×
6．1.5 向量的线性运算
[知识梳理]
知识点一 加法 减法 数乘向量
知识点二 公共点A
[预习小测 自我检验]
1．解析：(1)(3)(4)正确，(2)错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.
答案：C
2．解析：如图，作出平行四边形ABEC，因为M是BC的中点，所以M也是AE的中点，由题意知，＋＝＝2，故选C.
答案：C
3．解析：当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.
∴n＝2m，此时，m，n共线．
答案：D
4．解析：因为＋＋＝，
所以＋＋＋＝0，
即－2＝，所以与共线．
答案：B
6．2 向量基本定理与向量的坐标
6．2.1 向量基本定理
[知识梳理]
知识点一 1.b＝λa
知识点二 c＝xa＋yb 基底
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.× 4.√
6．2.2 直线上向量的坐标及其运算
[知识梳理]
知识点 1.e的方向 e的模 x 2.坐标相等 x1＝x2 坐标的和 (x1＋x2)e
[思考辨析 判断正误]
1．√ 2.× 3.× 4.√
6．2.3 平面向量的坐标及其运算
[知识梳理]
知识点一 1.垂直 ⊥ 2.正交分解 3.(x，y)
知识点二 (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2)
(λx，λy) (ux1±vx2，uy1±vy2)
知识点三
知识点四 x1y2＝x2y1
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.× 3.×
6．3 平面向量线性运算的应用
[思考辨析 判断正误]
1．× 2.√ 3.√ 4.√