3.2 函数的奇偶性与周期性 同步学案

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函数的性质（奇偶性与周期性）学案
一．学习目标
理解函数的奇偶性、周期性的概念；函数的奇偶性与周期性通常与单调性进行组合，设置的题型是高中数学函数性质考查的热点。
二．基础知识
1.奇函数与偶函数的定义
(1)如果对于函数的定义域内的任意一个，都有都有，那么函数是奇函数；如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么函数是偶函数。
(2)图像特点：奇函数关于原点对称；偶函数关于轴对称；
理解：①奇偶函数的定义域内的任意自变量，均有其相反数存在，因此奇偶函数的必要条件是定义域关于原点对称。
②对于从图像角度来说，某个函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数；如果关于轴对称，则该函数是偶函数。
2.奇偶函数的常见性质结论
①如果一个奇函数在处有定义，即有意义，那么一定有；
②如果函数是偶函数，那么；
③奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性；
④在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。
3.常规结论的理解易错点
①对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性；
②奇函数与偶函数的定义域关于原点对称，因此，如果所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
4.函数周期性的概念
(1)对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期。
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．
注：并非所有的周期函数都含有最小正周期（如：常数函数）。
5.周期函数的常用结论
①若，则函数的周期为；
②若，则函数的周期为；
③若，则函数的周期为；
④若，则函数的周期为；
⑤若函数关于直线与对称，那么函数的周期为；
⑥若函数关于点(a,0)对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；
⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为。
注：函数的对称轴、对称中心、周期性上述三个结论条件，知二求一。
例如，若函数是偶函数，并且其周期为，则其图象必定关于直线对称；
三．思维辨析
1．判断
(1)若函数为奇函数，则一定有．(　　)
(2)若函数是偶函数，则函数关于直线对称．(　　)
(3)若函数是奇函数，则函数关于点中心对称．(　　)
(4)若函数为奇函数，则.（）
(5)若函数满足，则它的周期.(　　)
(6)若函数的周期，则．(　　)
(7)函数为R上的奇函数，且，则(　　)
2．下列四个函数中，为奇函数的是(　　)
A．
B．
C．
D．
3.在上的偶函数，则的值为________．
4.设定义在R上的函数满足，且当时，，则
________.
四．典例分析与性质总结
题型1：确定函数的奇偶性
例1：(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)
总结：
判断函数奇偶性的方法总结：
①定义法：先求定义域，确定与的关系得结论，判断函数的奇偶性有时可以用定义的等
价形式：，；
②图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的对称性分析其奇偶性；
③性质法：利用函数奇偶性的有关结论，由熟悉的简单的初等函数的奇偶性明确未知函数的奇偶性。
【解题心得】
判断函数的奇偶性要注意两点:
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.
(2)判断关系式是否成立.
题型2：分段函数的奇偶性
例2：已知函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【解题心得】
判断分段函数的奇偶性时，不知如何下手，突破方法是理解分段函数与函数奇偶性的含义，通常利用定义法判断分段函数的奇偶性；
首先分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系；
此时要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。
题型3：利用奇偶性求值
例3：已知函数()，若，则的值为(　　)
A．3
B．0
C．
D．
例4：若函数为偶函数，则
【方法归纳】
利用奇偶性求参数的值：(1)用待定系数法求解，根据奇偶性的定义或变形式得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(2)用特殊值求解，此法只用于选择、填空题。
(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．
(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足或偶函数满足列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值；特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据列式求解，若不能确定则不可用此法。
题型4：抽象函数的奇偶性
抽象函数的奇偶性性质应用是高中常见的题型，受到解析式不明确的影响，很多学生对于抽象函数的解决感到非常棘手；对于抽象函数，由于对于任意的满足定义域范围内的取值均满足题意条件，因此对于特定值也应满足相应题意条件。因此赋值法是解决此类抽象函数问题的有效方法。
例5：函数的定义域为，且满足对任意，有．
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果，,
且在上是增函数，求的取值范围．
题型5：利用奇偶性求解析式
例6：若函数是定义在全体实数值内的奇函数，当时，，求解的解析式。
【解题心得】
利用奇偶性求解析式：关键是将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于的方程(组)，从而得到的解析式。
题型6：利用奇偶性图像特征求解不等式
例7：已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域是，且它们在上的图
象如图所示，求不等式的解集。
[解析]　
信息提取
信息解读
是偶函数
偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称
是奇函数
定义域是，且它们在上的图象如图所示
题干已给出上的图象，可根据奇偶性的图象特征补上上的图象
不等式
此分式不等式可等价转化为分子、分母相乘的不等式，最终还是判断与在定义域内的正负值情况
逻辑推理
解分式不等式时，由图象直接判断；时，根据奇偶性补全图象后判断，然后取并集，得到分式不等式的解集
【方法归纳】
画函数图象：根据奇偶函数的图象特征可画出另一对称区间上的图象，进而利用整个定义域上的图象解不等式或判断单调性。
题型7：周期函数求值或范围
例8：已知是定义在R上的偶函数，对任意有，则等于(　)
A．0
B．3
C．4
D．6
【解题心得】
函数周期性的判定与应用：
(1)判定：判断函数的周期性只需证明(T≠0)即可；
(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若是函数的周期，则(且)也是函数的周期。
五．函数性质的综合问题
1.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在实际应用中常常将它们综合在一起，其中奇偶性多与单调性结合，而周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值。
2.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题。
题型1：奇偶性与单调性结合
偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数。
例9：已知奇函数的定义域为，且在区间上递减，求满足的实数的取值范围．
【易错分析】
解决本题要注意函数的定义域为，即且。
题型2：奇偶性与周期性结合问题
例10：已知是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则＝(　　)
A.
B.
C．
D．
题型3：奇偶性、周期性与单调性结合问题
例11：已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数，判断、、的大小关系。
【方法归纳】
函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．解决函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用函数在已知区间上的奇偶性和单调性求解。
六．变式演练与提高
1.函数满足，且当时，，则(　　)
A.
B.
C．
D．
2.若函数为奇函数，=（）
A．
B．
C．
D．0
3.若函数是偶函数，定义域为，则________，________.
4.设是定义在R上的周期为3的函数，当时，
则(　　)
A．0
B．1
C.
D．
5.已知奇函数在R上是增函数；若，，，则的大小关系为(
)
A．
B．
C．
D．
6.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上对于任意两个不相等的实数恒有
成立，若实数a满足，则a的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
7.已知是定义在R上的偶函数，在区间上为增函数，且，则不等式的
解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
七．反思总结
①判断函数的奇偶性，首先应该判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件；或是定义域上的恒等式；
②利用函数奇偶性可以解决以下问题：求函数值、求解析式、求解析式中的参数值、画函数图像，确定函数单调性；
③奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或应用定义的等价形式；
④函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一：特别注意“奇函数若在处有定义,则一定有；偶函数一定有”在解题中的应用；
⑤注意：既不是为奇函数的充分条件，也不是必要条件。
⑥函数满足的关系，表明的是函数的对称性
函数满足的关系，表明的是函数的周期性，在使用时候不要混淆。
八．课后作业
1.若对任意，函数满足，且，则
________.
2.已知函数的定义域为R；当时，；当时，；当时，，则(　　)
A．
B．
C．0
D．2
3.已知函数对任意，都有，的图象关于点(1,0)对称，且，则(　　)
A．0
B．
C．
D．
4.函数是周期为2的奇函数，当时，，则________.
5.已知是定义在R上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是________．
6.设定义在R上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，；则____.
九．参考答案
（三．思维辨析）
1.答案(1)×　(2)√　(3)√　
(4)√
(5)×　(6)√　(7)√
解析　由奇函数定义可知，奇函数在处有定义，即有意义，那么一定有；周期性是一个整体性的性质，不能仅仅根据几个孤立的数值确定周期性。
2.解析　
由函数奇偶性的定义知，B、C中的函数为偶函数，D中的函数为非奇非偶函数，只有A中的函数为奇函数，故选A.
3.解析　
由题意得，，所以
又为偶函数，，故而；综上。
4.解析
∵，∴函数的周期.
又当时，，所以，，
所以，
；故.
（四．典例分析与性质总结）
例1：解析：
注意定义域的限制；根据函数奇偶性的定义以及函数的图像即可求解；
(1)为奇函数；
(2)是非奇非偶函数（定义域不对称）
(3)是偶函数；
(4)由得定义域为，∴，
∵
∴为偶函数
(5)当时，，则，
当时，，则，
综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数．
(6)由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数．
例2：解析：
(1)设，则，所以.
又为奇函数，所以，于是时，，所以.
(2)要使在上单调递增；
结合的图象(如图所示)；知
所以，
故实数的取值范围是．
例3：解析：
设，显然为奇函数，又，
所以，从而.故选B.
例4：解析：
方法一：由题意得，所以
，解得.
方法二：由为偶函数，得为奇函数，
则有
即，所以，解得。
例5：解析：
(1)∵对于任意，有，
∴令，得，
∴
(2)为偶函数．
证明：令，有，
∴.
令，有，∴，
∴为偶函数．
(3)依题设有，
由(2)知，是偶函数，∴?．
又在上是增函数．∴，解得且.
∴的取值范围是．
例6：解析：
∵是定义在R上的奇函数，∴.
又当时，，
又是奇函数，∴，则，
所以
例7：解析：
第一步　根据奇偶性补全函数和在整个定义域上的图象．
是偶函数，是奇函数，根据函数图象的奇偶性画出，在上的图象如图所示．
第二步　将分式不等式等价转化．
等价于
第三步　根据图象，分别解两个不等式组．
由图可知，时，或，
，时，；
第四步　根据求解结果取并集．
可求得其解集是．
例8：解析：
∵是定义在R上的偶函数，∴，
∴，∴，
。
例9：解析：
∵的定义域为，∴；解得.①
又为奇函数，且在上递减，∴在上递减；
∴，即，解得.②
综合①②可知，；即实数的取值范围是。
例10：解析：
由题可知，所以；
又当时，，所以
[答案]　D
例11：解析：
∵满足，∴，
∴函数是以8为周期的周期函数，则，，．
由是定义在R上的奇函数，且满足，得．
∵在区间上是增函数，在R上是奇函数，∴在区间上是增函数，
∴，即．
[答案]　D
（六．变式演练与提高）
1.解析：
选A　∵，∴函数的周期为2.∴
2.解析：
方法一：∵函数为奇函数，
∴∴.故选B.
方法二：当时，，，∴，
即，∴
∴.故选B.
3.解析：
因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，解得.
又函数为偶函数，结合偶函数图象的特点(图略)，易得
4.解析：
选D　因为是周期为3的周期函数，所以，故选D
5.解析：
∵在R上是奇函数，
∴
又在R上是增函数，且，
∴，
∴故选C
6.解析：
根据题意，函数在区间上有恒成立，则函数在区间上
是减函数；
又函数为偶函数，则等价于，
即，解得
7.解析：
由已知在R上为偶函数，且，
∴等价于
又在上为增函数，
∴，解得或，故选C.
（八．课后作业）
1.解析：
由，得；
令，即，所以函数的周期是2；
令，得，.
2.解析：
由题意知当时，，则．又当时，，
∴；
又当时，，∴，∴.故选D.
3.解析：
由题可知，函数对任意，都有，∴函数的周期T＝12。
把的图象向左平移1个单位得的图象，关于点对称，因此函数为奇函数；
∴，故选B.
4.解析：
由函数是周期为2的奇函数，得，
又当时，，
所以；
故
5.解析：
∵是奇函数，∴当时，.作出函数的大致图象如图中实线所示，结合图象可知是R上的增函数，由，得，解得.
答案：
6.解析：
依题意知：函数为奇函数且周期为2，则
答案：
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