北师大版数学九年级上册2.6 应用一元二次方程（第1课时 利用一元二次方程求解几何问题）课件（共20张PPT）

北师大版数学九年级上册
第二章 一元二次方程
2．6　应用一元二次方程
第1课时 利用一元二次方程求解几何问题
1．使学生会用一元二次方程解应用题．
2．进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识．
3．通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性．
学习目标
1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝5cm，
BC＝12cm，则AB＝_____cm.
2．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，
若BC＝10cm，则DE＝ _____ cm.
13
5
回顾旧知
3．用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个矩形长是多少？
解：设长为xcm，则宽为
解这个方程，得x1＝7，x2＝13.当x＝7cm时，
当x＝13cm时，
∴这个矩形的长为13cm.
知识模块　探究教材P52例1
(一)自主探究
还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？
（1）在这个问题中（如图），梯子顶端下滑1m时，梯子底端滑动的距离大于1m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
10m
8m
设梯子顶端下滑x米时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据勾股定理和图中的数据可列方程为______________________，
解这个方程得x1＝____，x2＝____．由实际问题可知x＝____．
(8－x)2＋(6＋x)2＝102
0
2
2
探究新知
（2）如果梯子长度是13m,梯子顶端与地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
设梯子顶端下滑x米时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据勾股定理和已知数据可列方程为______________________，解这个方程得x1＝_____，x2＝_____，由实际问题可知x＝_____．
(12－x)2＋(5＋x)2＝132
0
7
7
已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里,其中 )
例
如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200n?mile 处有
一目标B,在B的正东方向200n?mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品
送达军舰.
A
B
D
C
E
F
北
东
200
200
45°
(二)合作探究
∵AD=CD BF=CF
解：连接DF,
∴DF是△ABC的中位线
∵DF//AB且DF= AB
∵AB┴BC AB=BC=200
∴DF┴BC DF=100（海里）BF=100（海里）
A
B
D
C
E
F
北
东
200
?
200
45°
若设相遇时补给船的行程DE为x海里,则相遇时军舰的行程应为AB+BE=2 x海里.
EF=AB+BF-(AB+BE) =(300-2 x)海里
答:相遇时补给船航行了约118.4海里.
（不合题意，舍去）
整理得
解这个方程得
该部分是学习中的难点，要去审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决．在讲解过程中可逐步分解难点：
①审清题意；
②找准各条有关线段的长度关系；
③建立方程模型，之后求解．
解决实际应用问题的关键是审清题意，自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系．在分析题意遇到困难时，可设置问题串分解难点：
(1)要求DE的长，需要如何设未知数？
(2)怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？
(3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？
(4)选定Rt△DEF后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？
在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即：
速度等量：V军舰＝2×V补给船；时间等量：t军舰＝t补给船；
三边数量关系：EF2＋FD2＝DE2.
弄清图形中线段长表示的量：已知AB＝BC＝200海里，DE表示补给船的路程，AB＋BE表示军舰的路程．
在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段DE、EF的长，根据勾股定理列方程求解，并判断解的合理性．
练习
1．一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角形的面积是多少？
解：设较短直角边长为xcm，由题意，得：
x2＋(x＋1)2＝72，化简得：x2＋x－24＝0.
∴较长直角边长为
∴直角三角形面积＝
解这个方程得：
2．在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直)(如图1)，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？
图(1)
解：设道路宽为x米，
如图(2)利用平移知识可列方程为
(32－2x)(20－x)＝570，
化简得x2－36x＋35＝0，
解这个方程得x1＝1，x2＝35＞32(不合题意，舍去)，
∴道路宽应为1米．
图(2)
1．用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不可能是(　　)
A．375cm2　 B．500cm2　
C．625cm2　 D．700cm2
D
课堂练习
2．一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块耕地上沿东西和南北方向分别挖两条和四条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600m2，那么水渠的宽为(　　)
A．2m B．4m
C．1m D．3m
C
3．一个矩形的面积是48平方厘米，它的长比宽多8厘米，设矩形的宽x厘米，应满足方程______________．解方程求得x＝_____．
x(x＋8)＝48
4
4．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.
求该矩形草坪BC边的长．
解：设该矩形草坪BC边的长为x，则
得x1＝20(舍去)，x2＝12.
∴该矩形草坪BC边长为12米．
列方程解应用题的一般步骤是:
1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程;
4.解:解所列的方程;
5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.
总结新知