苏科版八年级上册 2.5 等腰三角形的分类讨论 解题技巧（word版含部分答案）

等腰三角形的分类讨论
遇角需讨论
解法说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有明确顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。
已知一个等腰三角形的一个内角是40°，则它的顶角等于
。
分析：分两种情况：当40°的内角为顶角时；当40°的角为底角时，利用三角形的内角和结合等腰三角形的性质计算求解。
解：①当40°的内角为顶角时，这个等腰三角形的顶角为40°。
②当40°的角为底角时，则该等腰三角形的另一个底角为40°，顶角＝180°-40°-40°＝100°
故答案为40°或100°。
强化练习
1.在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为
。
2.已知等腰三角形的一个内角为75°，则这个等腰三角形的顶角为
。
二、遇边需讨论
解法说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下进行分类讨论。
已知
ABC是等腰三角形，若它的周长为18，一条边的长为4，则它的腰长为
。
分析：由于已知的长为4的边，没有说明是底还是腰，所以腰分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理。
解：①：当腰长为4时，底长为：18-4×2＝10，4＋4＜10，不能构成三角形；
②当底长为4时，腰长为：（18-4）÷2＝7，能构成三角形；
故答案为：7.
强化练习
已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于
。
已知
ABC是等腰三角形，若它的周长为18，一条边的长为4，则它的腰长为
。
一个等腰三角形的周长为25，一边长为5，则另外两边长分别为
。
一个等腰三角形的周长是21，其中两边之差为6，则腰长为
。
等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是
。
三．遇中线需讨论
例3.▲ABC中，AB＝BC，▲ABC的中线AM将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为
。
分析：设AB＝BC＝2X，AC＝Y，则AM＝CM＝X，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答。
解：设AB＝BC＝2X，AC＝Y，则AM＝CM＝X
∵BC上的中线AD将这个三角形的周长分为15和12两部分，
∴有两种情况
①当3X＝15，且X＋Y＝12
，解得X＝5，Y＝7，
此时AB＝BC＝10，AC＝7，能构成三角形，
∴AC＝7；
②当X＋Y＝15，且3X＝12时，解X＝4，Y＝11，
此时AB＝BC＝8，AC＝11，能构成三角形
∴AC＝11
综上所述，AC的长为7或11.
强化练习
1.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9和12两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
2.若直角三角形的两边长分别为1和2，则斜边上的中线长为
。
遇高需讨论
顶角为锐角的等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该三角形的底角为
。
分析：根据题意，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，分两种情况讨论:
①：当一腰上的高在三角形内部时
②：当一腰上的高在三角形外部时
解：①
∵三角形ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°
∴在直角▲ABD中，∠A＝90°-50°＝40°
∴∠C＝∠ABC＝70°
②
∵三角形ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°
∴在直角▲ABD中，∠BAD＝40°
∵∠BAD＝∠ABC＋∠C，∠ABC＝∠C
∴∠C＝∠ABC＝20°（舍）
课后强化
等腰三角形的一条高与一腰的夹角为40°，则等腰三角形的一个底角为
。
等腰三角形的一条高与一腰的夹角为60°，则等腰三角形的一个底角为
。
等腰三角形的一条高与一腰的夹角为36°，则等腰三角形的一个底角为
。