9.9积的乘方-沪教版（上海）七年级数学上册课件（32张）

(共32张PPT)
9.9积的乘方
温故而知新，不亦乐乎。
?
幂的意义:
a·a·
…
·a
n个a
an
=
同底数幂的乘法运算法则：
am
·
an
=
?
am+n
（m,n都是正整数）
幂的乘方运算法则:
?
(am)n=
(m、n都是正整数)
amn
①
a3·a4·
a
=
（
）
②（a3）5
=
（
）
③
3×a2×5
=
(
）
　
a8
a15
15a2
同底数幂相乘
幂的乘方
乘法交换律、结合律
正确写出得数，并说出是属于哪一种幂的运算。
第一幕
序曲
下列两题有什么特点？
(1)
(2)
底数为两个因式相乘，积的形式.
这种形式为积的乘方。
我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？
积的乘方
同理：
（乘方的意义）
（乘法交换律、结合律）
（同底数幂相乘的法则）
根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行计算：
(ab)
n=
(ab)·
(ab)·
···
·(ab)
n个ab
=(a·a·
···
·a)·(b·b·
···
·b)
n个a
n个b
=anbn.
证明：
思考：积的乘方(ab)n
=?
猜想：
由此可得：(ab)n=anbn
(n为正整数).
(ab)n=anbn
(n为正整数)
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别_____，再把所得的幂________.
(ab)n
=
anbn
（n为正整数）
想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)n
=
anbncn
（n为正整数）
乘方
相乘
★积的乘方法则
★积的乘方公式的推广
公
式
的
拓
展
三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质?
怎样用公式表示?
(abc)n=an·bn·cn
怎样证明
?
?
有两种思路______
一种思路是利用乘法结合律，把三个因式积的乘方转化成两个因式积的乘方、再用积的乘方法则;
另一种思路是仍用推导两个因式的积的乘方的方法：乘方的意义、乘法的交换律与结合律.
方法提示
?
试用第一种方法证明:
(abc)n=[(ab)·c]n
=(ab)n·cn
=
an·bn·cn.
计算：
(1)
(2a)3
；
(2)
(-5b)3
；
(3)
(xy2)2
；
(4)
(-2x3)4.
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
=
8a3.
=-125b3.
=x2y4.
=16x12.
23·a3
(-5)3·b3
x2·(y2)2
(-2)4·(x3)4
解题技巧：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
例1
【练习】计算：(1)(－5ab)3；
(2)－(3x2y)2；
(3)(－3ab2c3)3；
(4)(－xmy3m)2.
(4)(－xmy3m)2＝(－1)2·x2m·y6m＝x2my6m.
解：(1)(－5ab)3＝(－5)3·a3·b3＝－125a3b3.
(2)－(3x2y)2＝－32·x4·y2＝－9x4y2.
(3)(－3ab2c3)3＝(－3)3·a3·b6·c9＝－27a3b6c9.
例题解析
例题解析
【例2】计算：
(1)(3x)2
;
(2)(-2b)5
;
(3)(-2xy)4
;
(4)(3a2)n
.
=32x2
=
9x2
;
(1)
(3x)2
解：
(2)
(-2b)5
=
(-2)5b5
=
-32b5;
(3)
(-2xy)4
=
(-2x)4
y4
=
(-2)4
x4
y4
(4)
(3a2)n
=
3n
(a2)n
=
3n
a2n
。
阅读
?
体验
?
=16x4
y4
；
计算：
(1)
－4xy2·(xy2)2·(－2x2)3；
(2)
(－a3b6)2＋(－a2b4)3.
解：(1)原式=－4xy2·x2y4·(－8x6)
=32x9y6.
(2)原式=a6b12+(－a6b12)
=0.
解题技巧：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．
例3
如何简便计算(0.04)2018×[(-5)2018]2?
=(0.22)2018
×
54036
=(0.2)4036
×
54036
=(0.2
×5)4036
=14036
(0.04)2018×[(-5)2018]2
=1.
解法一：
=(0.04)2018
×
[(-5)2]2018
=(0.04×25)2018
=12018
=1.
=
(0.04)2018
×(25)2018
(0.04)2018×[(-5)2018]2
解法二：
解题技巧：解此类题时，可通过恒等变形，逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n进行简便运算．
解：原式
【练习】计算：
2.下列运算正确的是（
）
A.
x.x2=x2
B.
(xy)2=xy2
C.(x2)3=x6
D.x2+x2=x4
C
1.计算
(-x2y)2的结果是（　　）
A．x4y2
B．-x4y2
C．x2y2
D．-x2y2
A
3.
计算：
(1)
82018×0.1252017=
________;
(2)
________;
(3)
(0.04)2018×[(-5)2018]2=________.
8
-3
1
(1)（ab2)3=ab6
(
)
×
×
×
(2)
(3xy)3=9x3y3
(
)
×
(3)
(-2a2)2=-4a4
(
)
(4)
-(-ab2)2=a2b4
(
)
4.判断：
(1)
(ab)8
;
(2)
(2m)3
;
(3)
(-xy)5;
(4)
(5ab2)3;
(5)
(2×102)2
;
(6)
(-3×103)3.
5.计算：
解：(1)原式=a8b8.
(2)原式=
23
·m3=8m3.
(3)原式=(-x)5
·y5=-x5y5.
(4)原式=53
·a3
·(b2)3=125a3b6.
(5)原式=22
×(102)2=4
×104.
(6)原式=(-3)3
×(103)3=-27
×109=-2.7
×1010.
（1）
2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7;
（2）(3xy2)2+(-4xy3)
·
(-xy)
;
（3）(-2x3)3·(x2)2.
解：原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7
=
2x9-27x9+25x9
=
0.
解：原式=9x2y4
+4x2y4=13x2y4.
解：原式=
-8x9·x4
=-8x13.
6.计算：
7.如果（an·bm·b)3=a9b15，求m，n的值.
?
（an）3·（bm）3·b3=a9b15,
?
a3n
·b3m·b3=a9b15
,
?
a3n
·b3m+3=a9b15,
?
3n=9
，3m+3=15，
?n=3，m=4.
解：∵（an·bm·b)3=a9b15,
思考：
(-a)n=
-an(n为正整数），对吗？
当n为奇数时，
(-a)n=
-an(n为正整数）
当n为偶数时，
(-a)n=an(n为正整数）
(体现了分类的思想）
例题解析
例题解析
【例3】地球可以近似地看做是球体，如果用V,
r
分别代表球的体积和半径，那么
。
地球的半径约为6×103
千米，它的体积大约是多少立方千米（π取3.14）
解：
阅读
?
体验
?
=
×(6×103)3
=
×
63×109
≈
9.05×1011
(千米3)
注意
运算顺序
!
即它的体积大约是
9.05×1011
立方千米
试一试
1、口答：(1)(ab)6=（
）
(2)(-a)3
=
（
）
　　　　
(3)(-2x)4
=
（
）
(4)(ab)3
=
（
）
(5)(-xy)7
=
（
）
(6)(-3abc)2
=（
）
　　　
　
(7)[(-5)3]2
=（
）
(8)[(-t)5]3
=（
）
２、下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
(1)(ab2)2=ab4;
(2)(3cd)3=9c3d3;
　　(3)(-3a3)2=
-9a6;
(4)(-x3y)3=
-
x6y3;
　
　　（5)(a3+b2)3=a9+b6
×
×
×
×
×
公
式
的
反
向
使
用
试用简便方法计算:
(ab)n
=
an·bn
（m,n都是正整数）
反向使用:
an·bn
=
(ab)n
(1)
23×53
;
(2)
28×58
;
(3)
(-5)16
×
(-2)15
;
(4)
24
×
44
×(-0.125)4
;
=
(2×5)3
=
103
=
(2×5)8
=
108
=
(-5)×[(-5)×(-2)]15
=
-5×1015
;
=
[2×4×(-0.125)]4
=
14
=
1
.
巧用法则
计算：(　
)５×３５
解法1:原式=
解法2:原式=
原来积的乘方法则可以逆用
即
anbn
=(ab)n
第四幕
我也来试试
二、计算:
一、脱口而出：
(1)
a6y3=(
)3;
(2)81x4y10=(
)2
（四）、综合尝试，巩固知识。
计算：(1)(-3x)3·(5x2y);
(2)(3xy2)2+(-xy3)·(-4xy)
解：(1）(-3x)3·(5x2y)
=(-27x3)·(5x2y)
=
-135x5y
（2）(3xy2)2+(-xy3)·(-4xy)
=9x2y4+4x2y4
=13x2y4
整式的混合运算的关键：①理清运算顺序；
②用准法则。
点评：运算时要分清是什么运算，不要将运算性质“张冠李戴”
本节课你的收获是什么？
小结
｛
幂的意义:
a·a·
…
·a
n个a
an
=
同底数幂的乘法运算法则：
am
·
an=am+n
积的乘方运算法则:
(ab)n=anbn
积的乘方=
反向使用am
·
an
=am+n、(am)n
=amn
可使某些计算简捷。
每个因式分别乘方后的积
知识留恋，课后韵味
幂的运算性质
性质
am·an=am+n
(am)n=amn
(ab)n=anbn
(
m，n都是正整数)
逆用
am
·
an
=am+n
(am)n
=amn
an·bn
=
(ab)n
注意
运用积的乘方法则时，公式中的a，b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆用（混合运算要注意运算顺序）
课堂总结
（3）若x3=
-8a6b9，则x=______
-
2a2b3
（1）若(a2b3
)n+1
=
a6b3m，那么m+n=____
5
1、填空题：
(2)
如果(－3x
y
)
=
ax
y
，则a=
,
n=
.
3
n
2
6
8
(4)
2x4y8
=
(
)2
9
4
±√2x2y4
挑战自我，超越梦想：
2、已知x+2y-3=0,
求(2x×4y)2的值？
3、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，
n为正整数，求[(a+b+1)2
]n·[
-
(cd)3
]n的值。
4、若Xa=2,
xb=3,
求(x2a+b)2的值.
64
144
(-
1)3n