12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质-人教版八年级数学上册课件（20张）

(共20张PPT)
第十二章
全等三角形
12.3
角的平分线的性质
第1课时
角的平分线的性质
温故知新
1、角的平分线的定义的定义
2、点到直线的距离
3、三角形全等的判定
从角的顶点引出一条能把这个角分成两个完全相等的角的射线，叫做角的平分线。
过直线外一点作这条直线的垂线段，垂线段的长度叫做点到直线的距离。
SSS、SAS、ASA、AAS、HL
新知引入
1、在纸上画一个角，怎样才能得到这个角的平分线？
思考
2、如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
3、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
A
B
C
(E)
D
证明：在△ABC和△ADC中
AB=AD
BC=DC
AC=AC
∴
△ABC≌
△ADC
（SSS）
∴∠BAC=∠DAC
∴AE是∠BAD的平分线
你能从角平分仪的使用中总结出作已知角的平分线的方法吗？
新知引入
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于
点M，交OB于点N.
?
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
A
M
C
N
O
B
分析：
(1)已知了什么？让你干什么？
（已知了一个角，作角平分线）
(3)在平分角的仪器中，与角不重合的另外两条边相等，怎样在作图中体现这个步骤呢？
（在角的内部取两段等长的线段）
(4)找到这个交点后怎么办？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合,且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个步骤呢?
（在角的两边上截取相同的长度）
新知讲授
思考：如图，任作一个角∠AOB的角平分线OC。在OC上任取一点P，
过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE
并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试试。
通过以上测量，你发现了角平分线的什么性质？
P
A
O
B
C
D
E
猜想：角平分线上所有的点到角两边的距离是相等的
下面证明这个命题
分析：（1）首先要知道命题已知什么，求证什么。
命题都可以改写成“如果
那么
”的形式.
已知
“一个点在角平分线上”
求证
“这个点到角两边的距离相等”
（2）画图，并用符号表示已知和求证。
新知讲授
(+题设)
(+结论)
（+题设）
（+结论）
已知：∠AOC=
∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别
为D，E.
求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：∵
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴
∠PDO=
∠PEO=90
°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=
∠PEO，
∠AOC=
∠BOC，
OP=
OP，
∴
△PDO
≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
新知讲授
应用：
∵OP
是∠AOB的平分线
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD
=
PE
P
A
O
B
C
D
E
角平分线上的点到角两边的距离相等
新知讲授
角平分线的性质
注意：使用该定理时必须满足“一个平分线两个垂直”这三个条件
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，
即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
新知讲授
归纳
练一练：（1）∵
如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
(2)∵
如上右图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）.
∴
=
,
(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
牛刀小试
A
B
C
D
E
F
证明：
∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB,
DF⊥AC
∴
DE=DF,
∠DEB=∠DFC=90
°.
在Rt△BDE
和
Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴
Rt△BDE
≌
Rt△CDF(HL).
∴
EB=FC.
例题讲解
例1、已知在△ABC中，
AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB,
DF⊥AC，垂足分别为E，F.
求证：EB=FC.
例2、如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，
PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
例题讲解
A
B
C
P
变式、如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交
BC于点P，若PC＝4,
AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______
（2）求△APB的面积.
（3）求?PDB的周长.
D
4
举一反三
?
2.△ABC中,
∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是
.
A
B
C
D
3
E
1.
如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，
DE
=DF，
∠EDB=
60°，则
∠EBF=
度，BE=
.
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
学以致用
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（
）
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
学以致用
4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
D
B
C
E
A
D
解:
过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
解得AC＝3.
F
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
学以致用
A
5.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
(1)哪条线段与DE相等？为什么？
(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长.
解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)在Rt△CDB和Rt△EDB中，
DC=DE
DB=DB，
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
∴BE＝BC=8.
∴
AE＝AB-BE=2.
∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.
学以致用
B
D
E
C
6.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB
于E,且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵
AD∥BC，
∴
MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵
AP平分∠BAD,
PM⊥AD
,
PE⊥AB，
∴
PM=
PE.
同理，
PN=
PE.
∴
PM=
PN=
PE=3.
∴
MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
学以致用
7.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC，DF⊥CG，垂
足分别为E，F.求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，
DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
CD=CD
DE=DF
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
学以致用