人教版九年级数学上册 21.2.2公式法导学案（有答案）

第二十一章
一元二次方程
21.2解一元二次方程
21.2.2
公式法
学习目标：
1.了解求根公式的推导过程.（难点）
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
复习引入：
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?
导入新课：
问题：同学们在做游戏，用4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，看看谁的速度最快，大家都才解第一个方程呢，小丽突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？
讲授新课：★求根公式的推导
合作探究：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0).
问题：接下来能用直接开平方解吗？
而x取任何实数都不能使上式成立.因此，方程无实数根.
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0
(a≠0)
，当b2-4ac
≥0
时，将a，b，c
代入式子
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
注意：用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0);
2.b2-4ac≥0.
★公式法解方程
例1：
用公式法解方程
x2-4x-7=0
解：∵a=1,b=-4,c=7，
b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0.
，
例2、解方程
解：化简为一般式：
即：，
例3
解方程：（精确到0.001）.
,
例4
解方程：
x2-8x+20=0
,
因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.
公式法解方程的步骤要点归纳：
1.变形:
化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算:
b2-4ac的值;
4.判断：
若b2-4ac
≥0，则利用求根公式求出;若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
★一元二次方程根的判别式
一般来说我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“
Δ
”表示，即
Δ=
b2-4ac.
练一练：
按要求完成下列表格：
Δ的值
0
4
根的情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
根的判别式使用方法要点归纳：
1.化为一般式，确定a,b,c的值.
2.计算Δ的值，确定Δ的符号.
3.判别根的情况，得出结论
例5:已知一元二次方程x2+5x=16，下列判断正确的是(
B
)
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+5x-16=0.∵b2-4ac=5-4×1×（-16）=69＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
方法归纳：
判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
b2
-
4ac
>
0时,方程有两个不相等的实数根.
b2
-
4ac
=
0时,方程有两个相等的实数根.
b2
-
4ac
<
0时,方程无实数根.
例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(
B
)
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）x2+4x－4=0；（2）9x2=12x－4;
(3)
4y=8(y2+1)
解：（1）3x2+4x－3=0，a=1,b=4,c=－4,
∴b2－4ac=42－4×1×(－4)=32＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：9x2－12x+4=0,
∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
∴方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为：8y2－4y+8=0,
∴b2－4ac=(－4)2－4×8×8=－240＜0.
∴方程没有实数根．
当堂练习：
解方程：x2
+5x
–36
=
0.
解：这里
a=1,
b=
5,
c=
-36.
∵
b
2
-
4ac
=52
–
4
×
1×
(-36
)
=169>0,
即
x1
=
-9,
x2
=
4
2.
解方程（x
-
2)
(1
-
3x)
=
6.
解：去括号
，得
x
–2
-
3x2
+
6x
=
6,
化简为一般式
3x2
-
7x
+
8
=
0,
这里
a
=
3,
b
=
-7
,
c
=
8.
∵b2
-
4ac=(-7
)2
–
4
×
3
×
8
=
49–96
=
-
47
<
0,
∴原方程没有实数根.
3、
解方程：2x2
-x
+
3
=
0
解：
这里
a
=
2
,
b
=
-
,
c
=
3
.
∵
b2
-
4ac
=
27
-
4×2×3
=
3
>
0
,
∴
即
x1=
x2=
4.关于x的一元二次方程有两个实根，则m的取值范围是
.
解：
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
5.不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+
=0;
(3)
x2-x+1=0.
解：
（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,
∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）x2-x+=0,a=1,b=-1,c=.
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×=0.
∴方程有两个相等的实数根．
（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.
∴方程无实数根．
课堂小结