人教版八年级上册数学课时跟踪训练：12.3角平分线的性质（Word版 含解析）

课时跟踪训练：12.3角平分线的性质
一．选择题
1．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（　　）
A．AD平分BC
B．AD平分∠CAB
C．AD平分∠CDB
D．AD⊥BC
2．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（　　）
A．等于3
B．大于3
C．小于3
D．无法确定
4．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果△ADE的周长为6cm，AC＝4cm，那么AD等于（　　）
A．2cm
B．4cm
C．3cm
D．6cm
5．如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（　　）
A．64
B．48
C．32
D．42
6．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
7．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（　　）
A．PQ＜m
B．PQ＞m
C．PQ≤m
D．PQ≥m
8．已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（　　）
A．∠A的平分线上
B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上
D．AB边的中线上
9．如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周长为（　　）cm．
A．12
B．14.1
C．16.2
D．7.05
10．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是15，AB＝9，BC＝6，则DE的长为（　　）
A．1
B．3
C．2
D．4
二．填空题
11．如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE上．若AD＝5，BE＝2，则AB的长是　
　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为　
　．
13．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，，连接BE，，则CE＝　
　．
14．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到∠AOB两边距离相等的点是　
　点．
15．如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是　
　
三．解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．
（1）求∠B的度数．
（2）若DE＝5，求BC的长．
17．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
18．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；
（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．
19．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，∠ABD的角平分线与AC交于点E，连接DE．
（1）求证：点E到DA、DC的距离相等；
（2）求∠BED的度数．
20．在四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，点F在线段CE上运动．
（1）如图1，已知∠A＝∠D＝90°
①若BF平分∠ABC，则∠BFC＝　
　°
②若∠BFC＝90°，试说明∠DEC＝∠ABC；
（2）如图2，已知∠A＝∠D＝∠BFC，试说明BF平分∠ABC．
参考答案
一．选择题
1．解：过D点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、F，
∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点D，
∴ED＝GD，GD＝DF，
∴ED＝DF，
∴AP平分∠CAB．
故选：B．
2．解：（1）证明：作PH⊥AB于H，
∵AP是∠CAB的平分线，
∴∠PAE＝∠PAH，
在△PEA和△PHA中，
，
∴△PEA≌△PHA（AAS），
∴PE＝PH，
同理，PF＝PH，
∴PE＝PF，
∴（1）正确；
（2）与（1）可知：PE＝PF，
又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，
∴点P在∠COD的平分线上，
∴（2）正确；
（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，
又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，
∴∠O+∠EPF＝180°，
即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，
由（1）知：△PEA≌△PHA，
∴∠EPA＝∠HPA，
同理：∠FPB＝∠HPB，
∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，
即∠O+2∠APB＝180°，
∴∠APB＝90°﹣，
∴（3）错误；
故选：C．
3．解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB于H，
∴OH＝OD＝3，
∵点E是射线OB上的一个动点，
∴点E与H点重合时，PE有最小值，最小值为3．
故选：A．
4．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，
∴CE＝DE，
∵△ADE的周长为6cm，
∴AE+DE+AD＝6cm，即AC+AD＝6cm，
∵AC＝4cm，
∴AD＝6cm﹣4cm＝2cm，
故选：A．
5．解：连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，
∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，
∵△ABC的周长是16，
∴AB+BC+AC＝16，
∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM
＝
＝×AC×4++
＝2（AC+BC+AB）
＝2×16＝32，
故选：C．
6．解：作DE⊥OB于E，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴DE＝DP＝4，
∴S△ODQ＝×3×4＝6．
故选：D．
7．解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，
∴点P到OB的距离等于m，
∵点Q是OB边上的一个动点，
∴PQ≥m．
故选：D．
8．解：作射线AM，
由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC，
∴AM平分∠BAC，
故选：A．
9．解：∵点P到△ABC三边的距离相等，
∴AP平分∠BAC，
∴∠DAP＝∠CAP，
∵DE∥AC，
∴∠DPA＝∠PAC，
∴∠DAP＝∠APD，
∴AD＝PD，
同理PE＝CE，
∴△BDE的周BD+DE+BE＝BD+PD+PE+BE＝BD+AD+BE+CE＝AB+BC＝14.1cm，
故选：B．
10．解：作DF⊥BC交BC的延长线于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
由题意得，×AB×DE+×BC×DF＝15，
即×9×DE+×6×DF＝15，
解得，DE＝2，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，
∴∠DAC＝∠FAC，∠FBC＝∠EBC，
在△ADC和△AFC中，
∵，
∴△ADC≌△AFC（AAS），
∴AD＝AF，
在△CBE≌△CBF中，
∵，
∴△CBE≌△CBF（AAS），
∴BE＝BF，
∴AB＝AF+BF＝AD+BE＝5+2＝7，
故答案为：7．
12．解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2，
∴△ABD的面积＝×5×2＝5．
故答案为5．
13．解：∵∠CBF＝∠BCE，
∴可以假设∠BCE＝4x，则∠CBF＝5x，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，设∠ADE＝∠EDC＝y，
∵AD∥BF，
∴∠A+∠ABF＝180°，
∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，
∴2y+13x＝180°①，
∵∠DEC＝115°，
∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65°
②，
由①②解得，
∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，
∴∠CFB＝90°，
∴BF⊥EC，
∴CE＝2BF，设BF＝m，则CE＝2m，
∵S△BCE＝?EC?BF＝，
∴×2m×m＝，
∴m＝或﹣（舍弃），
∴CE＝2m＝5，
故答案为5．
14．解：由图形可知，点M在∠AOB的角平分线上，
∴点M到∠AOB两边距离相等，
故答案为：M．
15．解：作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DN⊥AB，
∴DM＝DN，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝?AB?DN：?AC?DM＝AB：AC＝2：3，
设△ABC的面积为S，则S△ADC＝S，S△BEC＝S，
∵△OAE的面积比△BOD的面积大1，
∴△ADC的面积比△BEC的面积大1，
∴S﹣S＝1，
∴S＝10，
故答案为：10．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠2＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝∠1＝∠2＝30°；
（2）∵DE⊥AB，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝10，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝5，
∴BC＝CD+BD＝15．
17．解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积＝DF?AC＝×2×4＝4．
18．解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°
∴∠OBC＝30°，∠OCB＝20°，
∴∠COB＝180°﹣（30°+20°）＝130°；
（2）过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，
∵∠ABC＝60°，OB＝4
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝OB＝2，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴OE＝OF＝2，
∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝×2×AB+×2×AC+×2×BC
＝AB+BC+AC，
又∵△ABC的周长为16，
∴S△ABC＝16．
19．证明：（1）过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵BE平分∠ABD，
∴EH＝EF，
∵∠BAC＝130°，
∴∠FAE＝∠CAD＝50°，
∴EF＝EG，
∴EG＝EH，
∴ED平分∠CDG，
∴点E到DA、DC的距离相等；
（2）∵ED平分∠CDG，
∴∠HED＝∠DEG，
设∠DEG＝y，∠GEB＝x，
∵∠EFA＝∠EGA＝90°，
∴∠GEA＝∠FEA＝40°，
∵∠EFB＝∠EHB＝90°，∠EBF＝∠EBH，
∴∠FEB＝∠HEB，
∴2y+x＝80﹣x，
2y+2x＝80，
y+x＝40，
即∠DEB＝40°．
20．解：（1）①∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CE平分∠BCD，BF平分∠ABC，
∴∠CBF＝，∠BCF＝，
∴∠CBF+∠BCF＝＝90°，
∴∠BFC＝90°；
故答案为：90
②∵∠BFC＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCF，
∴∠CBF＝∠DEC，
由①知：AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠CBF＝∠ABC，
∴∠DEC＝∠ABC；
（2）如图2，延长BF交于点M，
∵∠BFC＝∠D，
∠BFC+∠CFM＝180°，
∴∠CFM+∠D＝180°，
∴∠FMD+∠DCF＝180°，
∵∠FMD+∠EMF＝180°，
∴∠DCF＝∠EMF，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠EMF，
∵∠EFM＝∠BFC，
∴∠FEM＝∠CBF，
∵∠CFB＝∠A，
同理得∠FEM＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠CBF
∴BF平分∠ABC．