人教版数学八年级上册 14.1 整式的乘法同步练习+学案（Word版 含答案）

14.2
整式的乘法
一、教学目标
1掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、整式的乘法法则及运算规律。
2注意在乘法运算的基础上理解同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算公式，从而熟练地掌握和应用整式的乘法。
二、重难点提示
重点：同底数幂的乘法及幂的乘方、积的乘方的运算。
难点：整式的乘法。
【思维导图】
知识脉络图
能力提升类
例1
计算：
（1）－（）4×（）3；
（2）y·y2m·y2m＋1；
（3）（a＋b－c）2·（c－a－b）3；
（4）（x＋2）n－1·（2＋x）n＋1－（x＋2）2n．
解析：观察底数，若有不同的，设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算。
答案：（1）原式＝－（）4＋3＝－（）7；
（2）原式＝y1＋2m＋2m＋1＝y4m＋2；
（3）原式＝（a＋b－c）2[－（a＋b－c）]3＝－（a＋b－c）2＋3＝－（a＋b－c）5；
（4）原式＝（x＋2）2n－（x＋2）2n＝0．
点评：①三个或三个以上的同底数幂相乘时可以直接性计算；②当题中幂的底数不同时，必须利用乘法或乘方的意义变形，将其化成同底数幂后，再按法则进行计算。
例2
计算下列各式。
（1）（－3x2y）2·（－xyz）·xz2；
（2）[－0.3（a－b）][4（a－b）n－1]·[－（a＋b）2n]；
（3）5a3b·（－3b）2＋（－6ab）2·（－ab）－ab3×（－4a）2．
解析：运用单项式的乘法法则时，先把系数相乘作为积的系数，相同字母相乘作为积的一个因式，只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
答案：（1）原式＝9x4y2·（－xyz）·xz2＝[9×（－）×]（x4·x·x）·（y2·y）·（z·z2）＝－x6y3z3；
（2）原式＝[－0.3×4×（－）][（a－b）·（a－b）n－1]·（a＋b）2n＝（a－b）n（a＋b）2n；
（3）原式＝5a3b·9b2－36a2b2·ab－ab3·16a2＝45a3b3－36a3b3－16a3b3＝－7a3b3．
点评：①数字系数连同它的符号写在积的最前面；②相同字母的幂相乘是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；③单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
例3
当a＝－时，求代数式（2a－b）（2a＋b）＋（2a－b）（b－4a）＋2b（b－3a）的值。
解析：先将代数式化简，再求值。
答案：原式＝4a2＋2ab－2ab－b2＋2ab－8a2－b2＋4ab＋2b2－6ab＝－4a2．
当a＝－时，原式＝－4a2＝－4×（－）2＝－1．
点评：解此类问题时先将代数式化简，再将字母的值代入，可以减少计算量。
综合运用类
例4：若（am＋1bn＋2）·（a2n－1b2m）＝a5b3，则m＋n的值为（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
－3
解析：先将等式左边按同底数幂的乘法法则进行计算，再构建方程组，求出m、n．左边＝am＋1＋2n－1bn＋2＋2m＝am＋2nb2m＋n＋2．由题意得，由①＋②得3m＋3n＝6，∴m＋n＝2，故选B．
答案：B
点评：①解方程组时，用到整体思想；②构建方程（组）解题是数学中常用的方法。
例5
用简便方法计算下列各题。
（1）（－）3×38；
（2）（－8）2010×（－）2011；
（3）（8）10×（－）9×．
解析：（1）将化为（）2，从而有（－）3＝－（）6，然后逆向运用积的乘方运算；
（2）先处理符号，应注意8×＝1；（3）注意到8与互为倒数，逆用公式和乘法的交换律、结合律可解决问题。
答案：（1）（－）3×38＝－（）6×38＝－（）6×36×32＝－（×3）6×32＝－9；
（2）（－8）2010×（－）2011＝（－8）2010×（－）2010×（－）＝[（－8）×（－）]2010×（－）＝－；（3）（8）10×（－）9×＝（）9××（－）9×＝[（）9×（－）9]×（×）＝－（×）9×＝－．
点评：①利用互为倒数的两数之积为1简化计算是常用技巧之一；②符号问题是计算中必须注意的问题；③逆用幂的运算法则，有时能将较复杂的问题简单化。
思维拓展类
例6
计算（1＋＋＋）（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋）．
解析：很显然，本题不能直接计算，注意到算式中有相同的部分，因此，可把相同的部分看成一个整体，化简后再求值。
答案：设b＝＋＋＋，a＝＋＋．原式＝(1+a)b－（1＋b）×a＝ab＋b－a－ab=b-a＝。
点评：这是一道规律探索型的题目，运用了整体思想来解，把哪一部分看成整体呢？本题有多种不同的解法，应根据难易程度选择合适的一种。
例7
已知x2＋x－1＝0，求x3－2x＋2012的值。
解析：巧变已知条件，进行有关计算。
答案：由x2＋x－1＝0，得x2＝1－x，x2＋x＝1．∴x3－2x＋2012＝x·x2－2x＋2012＝x（1－x）－2x＋2012＝x－x2－2x＋2012＝－（x2＋x）＋2012＝－1＋2012＝2011．
点评：先利用整体代换、转化等思想巧变已知条件，再进行有关计算。
例8
从前有一个狡猾的地主，他把一块长x米的正方形土地租给张老汉种植，有一天，他对张老汉说：“我给你换一块地吧，换的这块和原来那一块相比，虽然一边减少了5米，但另一边我给你增加5米，你没有吃亏，怎么样？”张老汉一听，觉得没有吃亏，就答应了，回到家中，他把这件事告诉了邻居，邻居一听，说：“张老汉你吃亏了！”张老汉非常吃惊。同学们，你能告诉张老汉这是为什么吗？
解析：把两块地的面积比较一下就清楚了。
答案：正方形土地的面积是x2，换的那一块的面积是（x＋5）（x－5）＝x2－25，x2－（x2－25）＝25，即换地以后面积缩小了25平方米，所以张老汉吃亏了。
点评：这是一道应用题，把它转化成数学问题后，用整式的乘法和减法来解决。
例9
如图所示，张华的爸爸承包了一块宽为m的长方形土地，准备在这块土地上种四种不同的蔬菜，其中长为a的一块种香菜，长为b的一块种菠菜，长为c的一块种芹菜，余下长为d的一块种白菜。你能用几种方法来表示这块菜地的面积？从不同的表示方法中，你能得到什么结论？
解析：应用多项式表示长方形的长，再结合长方形的面积公式推导。
答案：四种。方法1：（a＋b）m＋（c＋d）m；方法2：am＋（b＋c＋d）m；方法3：m（a＋b＋c＋d）；方法4：ma＋mb＋mc＋md．得到结论：m（a＋b＋c＋d）＝ma＋mb＋mc＋md．
点评：本题中由方法3、方法4，可得m（a＋b＋c＋d）＝ma＋mb＋mc＋md，从这两种不同的表示方法中，能验证单项式与多项式相乘的运算法则。
【方法技巧】
一、逆向变换法
在求一些字母的值时，常逆用幂的运算法则，先把代数式转化为同底数幂的乘法或幂的乘方、积的乘方等形式，再求字母的值。
二、整体代换思想
在求代数式的值时，运用整体代换常可以使问题得到转化。
三、转化思想
本讲内容是转化思想的体现，多项式乘以多项式、单项式乘以多项式都可以转化为单项式乘以单项式，而单项式乘以单项式又可转化为幂的运算。
【同步练习】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1.
下列计算错误的是（
）
A.
5a3－a3＝4a3
B.
2m·3n＝6m＋n
C.
（a－b）3·（b－a）2＝（a－b）5
D.
（a－b）n·（b－a）＝－（a－b）n＋1
2.
如果（ax－b）（x＋2）＝x2－4，那么（
）
A.
a＝1，b＝－2
B.
a＝－1，b＝－2
C.
a＝1，b＝2
D.
a＝－1，b＝2
3.
若（x2＋3x＋2）（x＋a）的结果中不含常数项，则a的值为（
）
A.
－2
B.
0
C.
－
D.
4
下列各式正确的是（
）
A.
（－a）2＝a2
B.
（－a）3＝a3
C.
︱－a2︱＝－a2
D.
︱－a3︱＝a3
5.
一个长方形的长是2xcm，宽比长的一半少4cm，若将长方形的长和宽都增加3cm，则该长方形的面积增加了（
）
A.
9
B.
9x－3
C.
2x2＋x－3
D.
－7x－3
6.
下列说法中，正确的个数有（
）
（1）n为正偶数时，一定有等式（－2）n＝2n成立；
（2）等式（－4）m＝4m，无论m为何值时都不成立；
（3）三个等式（－x2）3＝x6，（－x3）2＝x6，[－（－x2）]3＝x6都不成立；
（4）两个等式（－3x2y3）m＝－3mx2my3m，（－3x2y3）n＝3nx2ny3n都一定不成立。
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
二、填空题
7.
计算（2ab2）3－（－9ab2）·（－ab2）2的值为__________。
8.
x4y6z8＝（__________）2．
9.
若（ax＋3y）（x－y）的展开式中不含xy项，则a的值为__________。
10.
柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状如图：第一层有2×3听罐头，第二层有3×4听罐头，第三层有4×5听罐头，……。根据这堆罐头排列的规律，第n（n为正整数）层有__________听罐头（用含n的式子表示）。
三、综合运用
11.
先化简，再求值。
（－3x2）（x2－2x－3）＋3x（x3－2x2－3x）＋2000，其中x＝1999．
12.
计算0.252011×42012－（23）671×0.52012．
13.
解方程（2x＋3）（5x＋7）＝2（5x＋6）（x＋1）．
14.
︱a＋b－1︱＋（a－b－3）2＝0，求3a2（a3b2－2a）－4a（－a2b）2的值。
15.
甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x＋a）·（3x＋b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2＋11x－10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2－9x＋10．
（1）你能求出a、b的值吗？
（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果。
四、拓广探索
16.
一个三位数，其十位数字比个位数字大1，百位数字又比十位数字大2，另外有一个两位数，其十位数字与该三位数的个位数字相同，都可用a表示，其个位数字比十位数字小3，请把这两个数的积用含a的代数式表示出来，并把此代数式化简。若a＝4，把这两个数表示出来，并求出它们的积。
【答案】
一、选择题
1.
B
2.
C
解析：（ax－b）（x＋2）＝ax2＋2ax－bx－2b＝x2－4，所以，即a＝1，b＝2．
3.
B
解析：只有第一个多项式中的2与第二个多项式中的a相乘才能产生常数项，故2a＝0，所以a＝0．
4.
A
解析：选项B中（－a）3＝－a3；选项C中︱－a2︱＝a2；选项D中︱－a3︱＝．
5.
B
解析：根据题意，（2x＋3）（x－4＋3）－2x（x－4）＝9x－3，故选B．
6.
A
解析：只有（1）是正确的。（2）中m是正偶数时（－4）m＝4m成立，m是正奇数时不成立；（3）中（－x3）2＝x6，[－（－x2）]3＝x6成立；（4）中第一个等式，当m是正奇数时成立，m是正偶数时不成立；第二个等式，当n是正奇数时不成立，n是正偶数时成立。
二、填空题
7.
17a3b6
8.
x2y3z4
9.
3
解析：（ax＋3y）（x－y）＝ax2－axy＋3xy－3y2＝ax2＋（3－a）xy－3y2，因为其展开式中不含xy项，所以3－a＝0，即a＝3．
10.
n2＋3n＋2
解析：第1层：2×3；第2层：3×4；第3层：4×5；…；第n层：（n＋1）（n＋2）．（n＋1）（n＋2）＝n2＋3n＋2．
三、综合运用
11.
解：原式＝－3x4＋6x3＋9x2＋3x4－6x3－9x2＋2000＝2000，无论x为何值，原式恒等于2000．
12.
解：原式＝0.252011×42011×4－22013×0.52012＝（0.25×4）2011×4－（2×0.5）2012×2＝4－2＝2．
13.
解：去括号得：10x2＋14x＋15x＋21＝10x2＋10x＋12x＋12，合并同类项得：29x＋21＝22x＋12，移项合并后解得：x＝－．
14.
解：由︱a＋b－1︱＋（a－b－3）2＝0得，解得．3a2（a3b2－2a）－4a（－a2b）2＝3a5b2－6a3－4a5b2＝－6a3－a5b2＝－80．
15.
解：（1）由题意，得（2x－a）（3x＋b）＝6x2－（3a－2b）x－ab＝6x2＋11x－10；（2x＋a）（x＋b）＝2x2＋（a＋2b）x＋ab＝2x2－9x＋10．∴，∴．（2）（2x－5）（3x－2）＝6x2－19x＋10．
四、拓广探索
16.
解：两位数：十位数字是a，个位数字是a－3，所以这个两位数是10a＋（a－3），即11a－3；三位数：个位数字是a，十位数字是a＋1，百位数字是a＋1＋2＝a＋3，所以这个三位数是a＋10（a＋1）＋100（a＋3），即111a＋310．这两个数的积是（11a－3）（111a＋310）＝1221a2＋3410a－333a－930＝1221a2＋3077a－930．当a＝4时，这个两位数是41，这个三位数是754．它们的积是30914．