人教版
初二数学上册
12.3
角平分线的性质
培优训练
一、选择题（本大题共10道小题）
1.
如图，P为OC上一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．50°
2.
如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OB的距离是( )
A．4
B.
C．2
D．1
3.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是( )
A．3
B．4
C．5
D．7
4.
如图,OP平分∠AOB,点P到OA的距离为3,N是OB上的任意一点,则线段PN的长度的取值范围为
( )
A.PN<3
B.PN>3
C.PN≥3
D.PN≤3
5.
如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是
( )
A.3
B.-3
C.2
D.-2
6.
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,若BC=10
cm,BD?CD=3?2,则点D到AB的距离是
( )
A.6
cm
B.5
cm
C.4
cm
D.3
cm
7.
如图,利用尺规作∠AOB的平分线OC,其作法如下:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,与OA,OB分别交于点D,E;
(2)分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C;
(3)画射线OC,则射线OC就是∠AOB的平分线.
这样作图的原理是三角形全等的一种判定方法,这种判定方法是
( )
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
8.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝16，则△ABD的面积是( )
A．14
B．32
C．42
D．56
9.
如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧在∠CAB的内部交于点G,作射线AG交CD于点H.若∠C=140°,则∠AHC的大小是
( )
A.20°
B.25°
C.30°
D.40°
10.
如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为51和38,则△EDF的面积为
( )
A.6.5
B.5.5
C.8
D.13
二、填空题（本大题共5道小题）
11.
如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝2CD，DE⊥AB于点E.若DE＝5
cm，则BC＝________cm.
12.
如图，点O在△ABC的内部，且到三边的距离相等．若∠BOC＝130°，则∠A＝________°.
13.
如图,在△ABC中,E为AC的中点,AD平分∠BAC交BC于点D,AB︰AC=2︰3,AD与BE相交于点O.若△OAE的面积比△BOD的面积大1,则△ABC的面积是 .?
14.
如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11，PE=2，S△BPC=2，则S△ABC= .?
15.
如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．
三、解答题（本大题共3道小题）
16.
育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20
m，AC＝10
m，分别求一串红与鸡冠花两种花草的种植面积．
17.
如图，已知△ABC的周长是20
cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4
cm.求△ABC的面积．
18.
如图,已知AD∥BC,∠D=90°.
(1)如图①,若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P,CD经过点P,则P是线段CD的中点吗?为什么?
(2)如图②,若P是DC的中点,BP平分∠ABC,∠CPB=35°,求∠PAD的度数.人教版
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角平分线的性质
培优训练
一、选择题（本大题共10道小题）
1.
如图，P为OC上一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．50°
【答案】C [解析]
∵点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN，∴OC是∠AOB的平分线．
∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝60°.
2.
如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OB的距离是( )
A．4
B.
C．2
D．1
【答案】C [解析]
如图，过点P作PE⊥OB于点E.
∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD＝2.
3.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是( )
A．3
B．4
C．5
D．7
【答案】A
4.
如图,OP平分∠AOB,点P到OA的距离为3,N是OB上的任意一点,则线段PN的长度的取值范围为
( )
A.PN<3
B.PN>3
C.PN≥3
D.PN≤3
【答案】C [解析]
作PM⊥OB于点M.∵OP平分∠AOB,PE⊥OA,PM⊥OB,∴PM=PE=3.∴PN≥3.
5.
如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是
( )
A.3
B.-3
C.2
D.-2
【答案】A [解析]
如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵点D的坐标是(0，-3)，
∴OD=3.
∵AD是△OAB的角平分线，
∴ED=OD=3，
即点D到AB的距离是3.
6.
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,若BC=10
cm,BD?CD=3?2,则点D到AB的距离是
( )
A.6
cm
B.5
cm
C.4
cm
D.3
cm
【答案】C [解析]
∵BC=10
cm,BD?CD=3?2,
∴CD=×10=4(cm).
∵AD是角平分线,
∴点D到AB的距离等于CD,即点D到AB的距离为4
cm.故选C.
7.
如图,利用尺规作∠AOB的平分线OC,其作法如下:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,与OA,OB分别交于点D,E;
(2)分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C;
(3)画射线OC,则射线OC就是∠AOB的平分线.
这样作图的原理是三角形全等的一种判定方法,这种判定方法是
( )
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
【答案】A
8.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝16，则△ABD的面积是( )
A．14
B．32
C．42
D．56
【答案】B [解析]
如图，过点D作DH⊥AB于点H.
由作法得AP平分∠BAC.
∵DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝4.
∴S△ABD＝×16×4＝32.
9.
如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧在∠CAB的内部交于点G,作射线AG交CD于点H.若∠C=140°,则∠AHC的大小是
( )
A.20°
B.25°
C.30°
D.40°
【答案】A [解析]
由题意可得AH平分∠CAB.
∵AB∥CD,
∴∠C+∠CAB=180°,∠HAB=∠AHC.
∵∠ACD=140°,∴∠CAB=40°.
∵AH平分∠CAB,∴∠HAB=20°.
∴∠AHC=20°.
10.
如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为51和38,则△EDF的面积为
( )
A.6.5
B.5.5
C.8
D.13
【答案】A [解析]
如图,过点D作DH⊥AC于点H.∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,DH⊥AC,
∴DF=DH.
在Rt△DFE和Rt△DHG中,
∴Rt△DFE≌Rt△DHG.
在Rt△ADF和Rt△ADH中,
∴Rt△ADF≌△ADH.
设△EDF的面积为x.
由题意得,38+x=51-x,解得x=6.5,
∴△EDF的面积为6.5.
二、填空题（本大题共5道小题）
11.
如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝2CD，DE⊥AB于点E.若DE＝5
cm，则BC＝________cm.
【答案】15 [解析]
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE＝5
cm.∴BD＝2CD＝10
cm，则BC＝CD＋BD＝15
cm.
12.
如图，点O在△ABC的内部，且到三边的距离相等．若∠BOC＝130°，则∠A＝________°.
【答案】80 [解析]
∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.
∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－2(∠OBC＋∠OCB)＝180°－2(180°－∠BOC)＝80°.
13.
如图,在△ABC中,E为AC的中点,AD平分∠BAC交BC于点D,AB︰AC=2︰3,AD与BE相交于点O.若△OAE的面积比△BOD的面积大1,则△ABC的面积是 .?
【答案】10 [解析]
如图,过点D作DM⊥AC于点M,DN⊥AB于点N.
∵AD平分∠BAC,DM⊥AC,DN⊥AB,
∴DM=DN.
∵S△ABD︰S△ADC=BD︰DC,
且S△ABD=·AB·DN,S△ADC=·AC·DM,
∴BD∶DC=AB∶AC=2∶3.
设△ABC的面积为S,则S△ADC=S.
∵E为AC的中点,
∴S△BEC=S.
∵△OAE的面积比△BOD的面积大1,
∴△ADC的面积比△BEC的面积大1.
∴S-S=1.∴S=10.
故答案为10.
14.
如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11，PE=2，S△BPC=2，则S△ABC= .?
【答案】7 [解析]
过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP.∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，∴PF=PG=PE=2.∵S△BPC=2，∴BC·2=2，解得BC=2.∵△ABC的周长为11，
∴AC+AB=11-2=9.
∴S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BPC=AC·PE+AB·PG-S△BPC=×9×2-2=7.
15.
如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．
【答案】32° [解析]
∵PD＝PE＝PF，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，
∴CP平分∠ACF，BP平分∠ABC.
∴∠PCF＝∠ACF，∠PBF＝∠ABC.
∴∠BPC＝∠PCF－∠PBF＝(∠ACF－∠ABC)＝∠BAC＝32°.
三、解答题（本大题共3道小题）
16.
育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20
m，AC＝10
m，分别求一串红与鸡冠花两种花草的种植面积．
【答案】
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF.
∵AB＝20
m，AC＝10
m，
∴S△ABC＝×20×10＝×20·DE＋×10·DF，解得DE＝(m)．
∴△ACD的面积＝×10×＝(m2)，
△ABD的面积＝×20×＝(m2)．
故一串红的种植面积为
m2，鸡冠花的种植面积为
m2.
17.
如图，已知△ABC的周长是20
cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4
cm.求△ABC的面积．
【答案】
解：∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴点O到AB，AC，BC的距离相等．
∵△ABC的周长是20
cm，OD⊥BC于点D，且OD＝4
cm，∴S△ABC＝×20×4＝40(cm2)．
18.
如图,已知AD∥BC,∠D=90°.
(1)如图①,若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P,CD经过点P,则P是线段CD的中点吗?为什么?
(2)如图②,若P是DC的中点,BP平分∠ABC,∠CPB=35°,求∠PAD的度数.
【答案】
解:(1)P是线段CD的中点.
理由如下:过点P作PE⊥AB于点E.
∵AD∥BC,∠D=90°,∴∠C=180°-∠D=90°,即PC⊥BC.∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P,∴PD=PE,PC=PE.∴PC=PD,即P是线段CD的中点.
(2)过点P作PE⊥AB于点E.
∵AD∥BC,∠D=90°,
∴∠C=180°-∠D=90°,即PC⊥BC.
∵BP平分∠ABC,
∴∠PBE=∠PBC.
在△PBE与△PBC中,
∴△PBE≌△PBC(AAS).
∴∠EPB=∠CPB=35°,PE=PC.
∵PC=PD,∴PD=PE.
在Rt△PAD与Rt△PAE中,
∴Rt△PAD≌Rt△PAE(HL).
∴∠APD=∠APE.
∵∠APD+∠APE=180°-2×35°=110°,
∴∠APD=55°.
∴∠PAD=90°-∠APD=35°.
