一九年级数学元二次方程
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文档简介
第1课时 一元二次方程 教20110903001
教学目标
1. 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目；
2．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义；
3．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重难点关键
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程
一、预习自学课本24—27页，请你试着解决下列问题：
1．列方程
问题1 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是 ．
问题2 光明中学组织一次班级篮球赛，参赛的每两个班级之间都要比赛一场，根据学校场地和时间等条件，计划比赛9天，每天在四个球场各比赛一场，你知道这次篮球赛一共有多少个班级参加吗？
解：设邀请个队参赛．
2．观察与概括：
（1）观察方程的共同点归纳出概念：
像这样的等号两边都是 ， 的方程，叫做一元二次方程． 一元二次方程满足的三个条件有哪些？
（2）下列方程哪些是一元二次方程？
（3）一元二次方程的一般形式: _____________ ,是__ ,
是__ ；是___ ___，是____ ,是_____ ___ ．
一元二次方程的二次项系数是 ，一次项系数 ，常数项是 ．
（4）一元二次方程的方程的解： 的未知数的值叫做一元二次方程的方程的解．
二、创设情景，导入新课
复习一元一次方程的定义、一般形式是什么？师生一起探讨预习中问题１和问题２
（１）这两个问题得出的两个方程有什么共同点？未知数的个数和最高次数各是多少？
（２）什么叫一元一次方程？类比一元二次方程的概念，一元二次方程概念中的关键词是什么？
三、合作学习，探究新知
像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
教师强调一元二次方程定义中的三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是２，三个条件缺一不可．
（学生举例说明）如：
教师继续提问：，是否是一元二次方程？学生通过回顾预习过的内容，讨论，交流．
教师板书：一般地，任何一个关于的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．
教师强调：看一个一元二次方程是否是一元二次方程，首先要将其整理成一元二次方程的一般形式，然后在看是否符合其一般形式进行判断．尤其注意：二次项系数不为．
四、精讲例题，巩固新知
例１ 判断下列方程中是关于的一元二次方程的是 ．（填序号）
(1)； (2) ； (3)；(4)； （5）；（6） （7）
（8）
例2 将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
教师归纳：把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数．
(巩固练习)课本27页第1题
例3 若关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．
（让学生说说解题后的体会）
例4 若关于的方程的一个根是2，则的值为 ．
教师归纳：若已知某一个值是方程的解，则将此值代入方程一定能使方程左右两边相等，即若已知m是方程的解，则一定有．
(巩固练习)
1．已知关于x的一元二次方程的一根是0．求的值．
2．一元二次方程有一个根为1，则 ，若有一个根为，则之间的关系为 ，若有一个根为，则= ．
五、总结反思（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充．
（１）一元二次方程的定义要求的三个条件．要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围．
（２）正确理解一般形式ax2＋bx＋c＝０（a≠0）．
（３）如何将方程转化成一般形式．
（４）学会由“一元一次”类推“一元二次”，体验类比的数学思想．
六、课堂反馈、应用提高
1.已知方程：①②③④
⑤⑥其中是一元二次方程的有 （只需填序号）．
2.已知关于的一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是，则这个一元二次方程是 ．
3.已知关于的方程是一元二次方程，则= ．
4.已知关于的方程有一个根为2，则的值是 ．
5.已知关于的一元二次方程有一个根为，则= ．
6.已知：、是方程的根，试求
的值．
七、作业布置
中午作业：
晚自修作业：
第1课时 一元二次方程 学20110903001
班级 小组 姓名
【预习案】
一、预习自学课本24—27页，请你试着解决下列问题：
1．列方程解决下列问题：
问题1 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是 ．
问题2 光明中学组织一次班级篮球赛，参赛的每两个班级之间都要比赛一场，根据学校场地和时间等条件，计划比赛9天，每天在四个球场各比赛一场，你知道这次篮球赛一共有多少个班级参加吗？
解：设邀请个队参赛．
2．观察与概括：
（1）观察方程的共同点归纳出概念：
像这样的等号两边都是 ， 的方程，叫做一元二次方程． 一元二次方程满足的三个条件有哪些？
（2）下列方程哪些是一元二次方程？
（3）一元二次方程的一般形式: _____________ ,是__ ,
是__ ；是___ ___，是____ ,是_____ ___ ．
一元二次方程的二次项系数是 ，一次项系数 ，常数项是 ．
（4）一元二次方程的方程的解： 的未知数的值叫做一元二次方程的方程的解．
【探究案】
探究一：判断下列方程中是关于的一元二次方程的是 ．（填序号）
(1)； (2) ； (3)；(4)；
（5）；（6） （7）
（8）
探究二： 将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
(巩固练习)课本27页第1题
探究三：若关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．
探究四：若关于的方程的一个根是2，则的值为 ．
(巩固练习)
1．已知关于x的一元二次方程的一根是0．求的值．
2．一元二次方程有一个根为1，则 ，
若有一个根为，则之间的关系为 ，
若有一个根为，则= ．
【训练案】
1.已知方程：①②③④
⑤⑥其中是一元二次方程的有 （只需填序号）．
2.已知关于的一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是，则这个一元二次方程是 ．
3．已知关于的方程是一元二次方程，则= ．
4．已知关于的方程 有一个根为2，则的值是 ．
5．已知关于的一元二次方程有一个根为，则= ．
6．课本27页第2题
(1) (2)
(3) (4)
7．已知：、是方程的根，试求
的值．
第1课时 一元二次方程 学20110903001
班级 小组 姓名 得分
一、课本习题22.1
第2题，第5、6、7题
（1） （2）
（3） （4）
二、选择题
1．下列方程中关于x的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是一元二次方程的一个 根 ，那么的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．一2
3．下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的一个根是1，则 D．以上都不对
4．方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．两根互为倒数 D．两根互为相反数
5．如果关于的一元二次方程的两根分别为与，那么这个一元二次方程是（ ） A． B． C． D．
6．方程一定是( )
A．一元二次方程 B．一元一次方程 C．整式方程 D．关于的一元二次方程
7．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是( )
A．任意实数 B．≠－1 C．＞1 D．＞0
三、填空题
8．方程 化为一般形式为_____,其中二次项系数为_____，一次项系数为_______．
9．关于的一元二次方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，
常数项是 ，对m的限制是 ．
10．若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是 ．
11．若关于x的方程是一元二次方程．则a= ，b=
12．分别根据下列条件，写出一元二次方程的一般形式：
（1）
（2）
（3）二次项系数为5，一次项系数为－3，常数项为－1；
（4）二次项系数为mn，一次项系数为，常数项为
13．一元二次方程的一个根是3，则 ；
14．请写出一个根为1，的一元二次方程是 ．
15．是实数，且，则的值是 ．
16．一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长．小明在做这道题时，是这样做的：
设铁片的长为，列出的方程为，整理得：．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：
第一步：
所以，________<<__________
第二步：
所以，________<<__________
（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；
（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______
四、解答题
17．满足什么条件时，关于的方程是一元二次方程？
18．关于的方程可能是一元二次方程吗？为什么？
19．已知是方程的一个根，求的值．
80cm
x
x
x
x
50cm
80cm
x
x
x
x
50cm
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教学目标
1. 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目；
2．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义；
3．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重难点关键
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程
一、预习自学课本24—27页，请你试着解决下列问题：
1．列方程
问题1 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是 ．
问题2 光明中学组织一次班级篮球赛，参赛的每两个班级之间都要比赛一场，根据学校场地和时间等条件，计划比赛9天，每天在四个球场各比赛一场，你知道这次篮球赛一共有多少个班级参加吗？
解：设邀请个队参赛．
2．观察与概括：
（1）观察方程的共同点归纳出概念：
像这样的等号两边都是 ， 的方程，叫做一元二次方程． 一元二次方程满足的三个条件有哪些？
（2）下列方程哪些是一元二次方程？
（3）一元二次方程的一般形式: _____________ ,是__ ,
是__ ；是___ ___，是____ ,是_____ ___ ．
一元二次方程的二次项系数是 ，一次项系数 ，常数项是 ．
（4）一元二次方程的方程的解： 的未知数的值叫做一元二次方程的方程的解．
二、创设情景，导入新课
复习一元一次方程的定义、一般形式是什么？师生一起探讨预习中问题１和问题２
（１）这两个问题得出的两个方程有什么共同点？未知数的个数和最高次数各是多少？
（２）什么叫一元一次方程？类比一元二次方程的概念，一元二次方程概念中的关键词是什么？
三、合作学习，探究新知
像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
教师强调一元二次方程定义中的三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是２，三个条件缺一不可．
（学生举例说明）如：
教师继续提问：，是否是一元二次方程？学生通过回顾预习过的内容，讨论，交流．
教师板书：一般地，任何一个关于的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．
教师强调：看一个一元二次方程是否是一元二次方程，首先要将其整理成一元二次方程的一般形式，然后在看是否符合其一般形式进行判断．尤其注意：二次项系数不为．
四、精讲例题，巩固新知
例１ 判断下列方程中是关于的一元二次方程的是 ．（填序号）
(1)； (2) ； (3)；(4)； （5）；（6） （7）
（8）
例2 将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
教师归纳：把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数．
(巩固练习)课本27页第1题
例3 若关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．
（让学生说说解题后的体会）
例4 若关于的方程的一个根是2，则的值为 ．
教师归纳：若已知某一个值是方程的解，则将此值代入方程一定能使方程左右两边相等，即若已知m是方程的解，则一定有．
(巩固练习)
1．已知关于x的一元二次方程的一根是0．求的值．
2．一元二次方程有一个根为1，则 ，若有一个根为，则之间的关系为 ，若有一个根为，则= ．
五、总结反思（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充．
（１）一元二次方程的定义要求的三个条件．要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围．
（２）正确理解一般形式ax2＋bx＋c＝０（a≠0）．
（３）如何将方程转化成一般形式．
（４）学会由“一元一次”类推“一元二次”，体验类比的数学思想．
六、课堂反馈、应用提高
1.已知方程：①②③④
⑤⑥其中是一元二次方程的有 （只需填序号）．
2.已知关于的一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是，则这个一元二次方程是 ．
3.已知关于的方程是一元二次方程，则= ．
4.已知关于的方程有一个根为2，则的值是 ．
5.已知关于的一元二次方程有一个根为，则= ．
6.已知：、是方程的根，试求
的值．
七、作业布置
中午作业：
晚自修作业：
第1课时 一元二次方程 学20110903001
班级 小组 姓名
【预习案】
一、预习自学课本24—27页，请你试着解决下列问题：
1．列方程解决下列问题：
问题1 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是 ．
问题2 光明中学组织一次班级篮球赛，参赛的每两个班级之间都要比赛一场，根据学校场地和时间等条件，计划比赛9天，每天在四个球场各比赛一场，你知道这次篮球赛一共有多少个班级参加吗？
解：设邀请个队参赛．
2．观察与概括：
（1）观察方程的共同点归纳出概念：
像这样的等号两边都是 ， 的方程，叫做一元二次方程． 一元二次方程满足的三个条件有哪些？
（2）下列方程哪些是一元二次方程？
（3）一元二次方程的一般形式: _____________ ,是__ ,
是__ ；是___ ___，是____ ,是_____ ___ ．
一元二次方程的二次项系数是 ，一次项系数 ，常数项是 ．
（4）一元二次方程的方程的解： 的未知数的值叫做一元二次方程的方程的解．
【探究案】
探究一：判断下列方程中是关于的一元二次方程的是 ．（填序号）
(1)； (2) ； (3)；(4)；
（5）；（6） （7）
（8）
探究二： 将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
(巩固练习)课本27页第1题
探究三：若关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．
探究四：若关于的方程的一个根是2，则的值为 ．
(巩固练习)
1．已知关于x的一元二次方程的一根是0．求的值．
2．一元二次方程有一个根为1，则 ，
若有一个根为，则之间的关系为 ，
若有一个根为，则= ．
【训练案】
1.已知方程：①②③④
⑤⑥其中是一元二次方程的有 （只需填序号）．
2.已知关于的一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是，则这个一元二次方程是 ．
3．已知关于的方程是一元二次方程，则= ．
4．已知关于的方程 有一个根为2，则的值是 ．
5．已知关于的一元二次方程有一个根为，则= ．
6．课本27页第2题
(1) (2)
(3) (4)
7．已知：、是方程的根，试求
的值．
第1课时 一元二次方程 学20110903001
班级 小组 姓名 得分
一、课本习题22.1
第2题，第5、6、7题
（1） （2）
（3） （4）
二、选择题
1．下列方程中关于x的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是一元二次方程的一个 根 ，那么的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．一2
3．下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的一个根是1，则 D．以上都不对
4．方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．两根互为倒数 D．两根互为相反数
5．如果关于的一元二次方程的两根分别为与，那么这个一元二次方程是（ ） A． B． C． D．
6．方程一定是( )
A．一元二次方程 B．一元一次方程 C．整式方程 D．关于的一元二次方程
7．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是( )
A．任意实数 B．≠－1 C．＞1 D．＞0
三、填空题
8．方程 化为一般形式为_____,其中二次项系数为_____，一次项系数为_______．
9．关于的一元二次方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，
常数项是 ，对m的限制是 ．
10．若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是 ．
11．若关于x的方程是一元二次方程．则a= ，b=
12．分别根据下列条件，写出一元二次方程的一般形式：
（1）
（2）
（3）二次项系数为5，一次项系数为－3，常数项为－1；
（4）二次项系数为mn，一次项系数为，常数项为
13．一元二次方程的一个根是3，则 ；
14．请写出一个根为1，的一元二次方程是 ．
15．是实数，且，则的值是 ．
16．一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长．小明在做这道题时，是这样做的：
设铁片的长为，列出的方程为，整理得：．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：
第一步：
所以，________<<__________
第二步：
所以，________<<__________
（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；
（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______
四、解答题
17．满足什么条件时，关于的方程是一元二次方程？
18．关于的方程可能是一元二次方程吗？为什么？
19．已知是方程的一个根，求的值．
80cm
x
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