北师大版 九年级（上）数学 1.2 矩形的性质与判定 专题训练1（含解析）

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1.2 矩形的性质与判定 专题训练
一．选择题（共10小题）
1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是　　
A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对边平行且相等
2．在平行四边形中，对角线，相交于点．下列条件不能判定平行四边形为矩形的是　　
A． B． C． D．
3．如图所示，在平行四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为矩形的是　　
A． B． C． D．
4．如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是　　
A．4 B．5 C．6 D．8
5．如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形为矩形的是　　
A． B． C． D．
6．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于　　
A．6 B．8 C． D．
7．如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接．若，则的度数是　　
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中对角线与相交于点，，垂足为点，，，则的长为　　
A． B．4 C．6 D．8
9．如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是　　
A．1 B． C．2 D．
10．如图，在中，，，为边上的中线，平分，交边于点，过点作，垂足为，则的度数为　　
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．矩形一个角的角平分线分矩形一边为1和3两部分，则这个矩形的面积为　　．
12．如图，在矩形中，平分，交于点，，，则的长为　　．
13．已知一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别为，，，则这个长方形的第四个顶点的坐标是　　．
14．房梁的一部分如图所示，其中，，，点是的中点，且，垂足为，则的长为　　．
15．如图，点是矩形内任一点，若，．则图中阴影部分的面积为　　．
16．在四边形中，对角线，交于点且，互相平分，若添加一个条件使得四边形是矩形，则这个条件可以是　　（填写一个即可）．
17．如图，在中，，，，为斜边上一动点，过作，过作于点，则线段的最小为　　．
18．把长方形沿着直线对折，折痕为，对折后的图形的边恰好经过点，若，则　　．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在矩形中，，，求的面积和周长．
20．如图，矩形的对角线，相交于点，且，，交于点．求证：．
21．如图，在中，，为的中点，，．求证：四边形为矩形．
22．如图，在菱形中，对角线、相交于点．
（1）若，．求菱形的周长．
（2）若，．求证：四边形是矩形．
23．如图，将的边延长到点，使，连接，交边于点．
（1）求证：；
（2）连接，，若，求证：四边形是矩形．
24．如图，已知平行四边形．
（1）若，是上两点，且，，求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求平行四边形的面积．
25．如图，在中，，平分，于点交于点，延长至使，连接．
（1）证明：四边形是矩形；
（2）当时，猜想线段、、的数量关系，并证明．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是　　
A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对边平行且相等
解：矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分，四个角都是直角，对边平行且相等；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直，对边平行且相等；
矩形具有而菱形不一定具有的性质是：四个角都是直角．
故选：．
2．在平行四边形中，对角线，相交于点．下列条件不能判定平行四边形为矩形的是　　
A． B． C． D．
解：．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形为矩形，故此选项不符合题意；
．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形为矩形，故此选项不符合题意；
．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形能判定平行四边形为菱形，不能判定平行四边形为矩形，故此选项符合题意；
．平行四边形中，，
，
又，
，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形为矩形，故此选项不符合题意．
故选：．
3．如图所示，在平行四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为矩形的是　　
A． B． C． D．
解：．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形为矩形，故此选项不符合题意；
．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形为矩形，故此选项不符合题意；
．不能判定平行四边形为矩形，故此选项符合题意；
．平行四边形中，，
，
又，
，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形为矩形，故此选项不符合题意．
故选：．
4．如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是　　
A．4 B．5 C．6 D．8
解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
故选：．
5．如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形为矩形的是　　
A． B． C． D．
解：四边形的对角线相交于点，且互相平分，
四边形是平行四边形，
若，则四边形是矩形，
故选项不符合题意；
若，则四边形是菱形，
故选项符合题意；
若，则四边形是矩形，
故选项不符合题意；
，
，
，，
四边形是平行四边形，，
则四边形是矩形，
故选项不符合题意；
故选：．
6．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于　　
A．6 B．8 C． D．
解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
7．如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接．若，则的度数是　　
A． B． C． D．
解：如图，连接，
矩形中，，，
，，
，，
，
中，，
故选：．
8．如图，在矩形中对角线与相交于点，，垂足为点，，，则的长为　　
A． B．4 C．6 D．8
解：四边形是矩形，
，
，
故选：．
9．如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是　　
A．1 B． C．2 D．
解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即；
故选：．
10．如图，在中，，，为边上的中线，平分，交边于点，过点作，垂足为，则的度数为　　
A． B． C． D．
解：，为边上的中线，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．矩形一个角的角平分线分矩形一边为1和3两部分，则这个矩形的面积为　4或12　．
解：四边形是矩形，
，，，
，
平分，
，
，
，
①如图，当时，，，
此时矩形的面积是：；
②同理可得，当时，，，
此时矩形的面积是；
故答案为：4或12．
12．如图，在矩形中，平分，交于点，，，则的长为　7　．
解：四边形是矩形，
，，，，
，，
，
，；
，
；
平分，
，
，
，
，
故答案为：7．
13．已知一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别为，，，则这个长方形的第四个顶点的坐标是　　．
解：依照题意画出图形，如图所示．
设点的坐标为，
点，，，
，，
解得：；
，，
解得：．
点的坐标为．
故答案为：．
14．房梁的一部分如图所示，其中，，，点是的中点，且，垂足为，则的长为　2　．
解：为的中点，，
，
于点，，
，
故答案是：2．
15．如图，点是矩形内任一点，若，．则图中阴影部分的面积为　14　．
解：四边形是矩形，
，
设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则，
矩形的面积；
故答案为：14．
16．在四边形中，对角线，交于点且，互相平分，若添加一个条件使得四边形是矩形，则这个条件可以是　或有个内角等于90度　（填写一个即可）．
解：对角线与互相平分，
四边形是平行四边形，
要使四边形成为矩形，
需添加一个条件是：或有个内角等于90度．
故答案为：或有个内角等于90度．
17．如图，在中，，，，为斜边上一动点，过作，过作于点，则线段的最小为　　．
解：连接，如图所示：
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，，，
，
当时，最短，此时的面积，
的最小值，
线段的最小值为；
故答案为：．
18．把长方形沿着直线对折，折痕为，对折后的图形的边恰好经过点，若，则　　．
解：如图，在长方形中，，则．
．
根据折叠的性质知：．
．
故答案是：．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在矩形中，，，求的面积和周长．
解：在矩形中，，，且，
与为等腰直角三角形，
，，，，
，
的周长，
的面积．
20．如图，矩形的对角线，相交于点，且，，交于点．求证：．
解：四边形是矩形，
与相等且互相平分，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
．
21．如图，在中，，为的中点，，．求证：四边形为矩形．
【解答】证明：，
．
又，
四边形是平行四边形，
．
为的中点，
，
；
，，即，
四边形是平行四边形．
又，为的中点，
，
平行四边形为矩形．
22．如图，在菱形中，对角线、相交于点．
（1）若，．求菱形的周长．
（2）若，．求证：四边形是矩形．
【解答】（1）解：四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
菱形的周长；
（2）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形．
23．如图，将的边延长到点，使，连接，交边于点．
（1）求证：；
（2）连接，，若，求证：四边形是矩形．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形．
，．
．
，
，，
在与中，，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，．
．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，，
，
四边形是矩形．
24．如图，已知平行四边形．
（1）若，是上两点，且，，求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求平行四边形的面积．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
对角线上的两点、满足，
，即，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的面积．
25．如图，在中，，平分，于点交于点，延长至使，连接．
（1）证明：四边形是矩形；
（2）当时，猜想线段、、的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平形四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）猜想：，
证明：如图，延长到，使，连接，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
在和中
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
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