北师大版 九年级（上）数学 1.2 矩形的性质与判定 专项训练2（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
1.2 矩形的性质与判定 专项训练
一．选择题（共10小题）
1．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（　　）
A．OA＝OC B．AC＝BD C．DA⊥AB D．∠OAB＝∠OBA
3．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠BOC＝120°，则BC的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．4cm D．8cm
4．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC
5．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，AE＝CF，∠EFB＝45°，若AB＝6，BC＝14，则DE的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．10
6．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.2km，则M，C之间的距离是（　　）
A．0.8km B．1.6km C．2.0km D．3.2km
7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．16 B． C． D．3
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在BC上，DF平分∠ADE，DE⊥EF，则BF长为（　　）
A． B．1 C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，AE＝5，且EO＝2BE，则OA的长为（　　）
A． B． C．3 D．
10．如图，点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥AB，分别交AD，BC于点E，F，连接MD，MB．若DE＝2，EM＝5，则阴影部分的面积为（　　）
A．5 B．10 C．12 D．14
二．填空题（共8小题）
11．矩形的长是宽的2倍，对角线的长是5cm，则这个矩形的长是　 　cm．
12．一个矩形的一条对角线与一条边的夹角是60°，若这条对角线长8cm，则这个矩形的较小的一条边长　 　cm．
13．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，要使它变为矩形，需要添加的条件　 　（写出一种情况即可）
14．将矩形纸片沿AE、EC剪下后（如图所示），得到的∠A+∠E+∠C＝　 　度．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB中点，若∠B＝30°，AC＝2，则CD＝　 　．
16．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（3，2），则对角线AC＝　 　．
17．把长方形ABCD沿着直线EF对折，折痕为EF，对折后的图形EHGF的边FG恰好经过点C，若∠AFE＝55°，则∠CEB'＝　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，求EF的最小值是　 　．
三．解答题（共7小题）
19．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，求AC的长度．
20．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内任意一点，点D、E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点，∠A＝2∠BDF．求证：四边形DEGF是矩形．
21．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．求证：四边形OCED是矩形．
22．如图，在一个矩形木板上截下△ABC，使AB＝6cm，BC＝8cm，求：
（1）截线AC的长度；
（2）点B到AC的距离．
23．如图所示，在?ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形EGCF是矩形．
24．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE＝2，DE＝4，求矩形BFDE的面积．
25．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度数．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等，
②矩形的四个角都是直角，
③矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，
②菱形的对角相等，
③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：C．
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（　　）
A．OA＝OC B．AC＝BD C．DA⊥AB D．∠OAB＝∠OBA
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
A、OA＝OC时，平行四边形ABCD仍然是平行四边形，故选项A符合题意；
B、AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、DA⊥AB时，∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∠OAB＝∠OBA时，OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
3．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠BOC＝120°，则BC的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．4cm D．8cm
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，
∵∠BOC＝120°，
∴∠ACB＝30°，
∴AB＝AC＝4，
∴由勾股定理可知：BC＝4，
故选：C．
4．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC
解：A、是对角线平分对角，可判断平行四边形ABCD成为菱形；
B、是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；
C、是对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形；
D、是邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形；
故选：B．
5．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，AE＝CF，∠EFB＝45°，若AB＝6，BC＝14，则DE的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．10
解：如图所示，过E点作EH⊥BC于H点，则BH＝AE＝CF．
∵∠EFH＝45°，
∴FH＝EH＝AB＝6．
设AE＝a，则BH＝FC＝a，
∵BC＝14，
∴a+6+a＝14，
解得a＝4，
即AE＝4，
∴DE＝AD﹣AE＝14﹣4＝10，
故选：D．
6．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.2km，则M，C之间的距离是（　　）
A．0.8km B．1.6km C．2.0km D．3.2km
解：由题意可知，△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴MC＝AB＝×3.2＝1.6（km）．
故选：B．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．16 B． C． D．3
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴AO＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AC＝2AO＝8，
∴BC＝＝＝4，
∴矩形ABCD的面积＝AB?BC＝4×4＝16，
故选：B．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在BC上，DF平分∠ADE，DE⊥EF，则BF长为（　　）
A． B．1 C． D．
解：∵矩形ABCD中，DF平分∠ADE，DE⊥EF，
∴∠ADF＝∠EDF，∠A＝∠DEF＝90°，
又∵DF＝DF，
∴△ADF≌△EDF（AAS），
∴DE＝DA＝5，AF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠B＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，
∴Rt△CDE中，CE＝＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝5﹣4＝1，
设BF＝x，则AF＝EF＝3﹣x，
∵Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴12+x2＝（3﹣x）2，
解得x＝，
∴BF＝，
故选：D．
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，AE＝5，且EO＝2BE，则OA的长为（　　）
A． B． C．3 D．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，
∵EO＝2BE，
∴BO＝3BE＝OA，
∵AE2+EO2＝AO2，
∴25+4BE2＝9BE2，
∴BE＝，
∴OA＝3BE＝3，
故选：C．
10．如图，点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥AB，分别交AD，BC于点E，F，连接MD，MB．若DE＝2，EM＝5，则阴影部分的面积为（　　）
A．5 B．10 C．12 D．14
解：作PM⊥AB于P，交DC于Q．
则有四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，
∴S△DEM＝S△DQM，S△QCM＝S△MFC，S△AEM＝S△APM，S△MPB＝S△MFB，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC﹣S△AMP﹣S△MCF＝S△ADC﹣S△AEM﹣S△MQC，
∴S四边形DEMQ＝S四边形MPBF，
∵DE＝CF＝2，
∴S△DEM＝S△MFB＝×2×5＝5，
∴S阴＝5+5＝10，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．矩形的长是宽的2倍，对角线的长是5cm，则这个矩形的长是　2　cm．
解：设矩形的宽是acm，则长是2acm，
∵对角线的长是5cm，
∴a2+（2a）2＝25，
解得a＝，
∴这个矩形的长＝2a＝2cm．
故答案为：2．
12．一个矩形的一条对角线与一条边的夹角是60°，若这条对角线长8cm，则这个矩形的较小的一条边长　4　cm．
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，OA＝OB＝AB＝AC＝4cm，
即：这个矩形的较小的一条边长AB＝4cm．
故答案为：4．
13．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，要使它变为矩形，需要添加的条件　AD＝BC（答案不唯一）　（写出一种情况即可）
解：可添加AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．
14．将矩形纸片沿AE、EC剪下后（如图所示），得到的∠A+∠E+∠C＝　360　度．
解：如图，四边形FGDB为矩形，
∴∠F＝∠G＝90°，
∵∠BAE＝∠F+∠AEF，∠DCE＝∠G+∠CEG，
∴∠BAE+∠DCE＝∠F+∠AEF+∠G+∠CEG＝90°+90°+∠AEF+∠CEG＝180°+∠AEF+∠CEG，
∵∠AEC+∠AEF+∠CEG＝180°，
∴∠AEF+∠CEG＝180°﹣∠AEC，
∴∠BAE+∠DCE＝180°+180°﹣∠AEC，
∴∠BAE+∠DCE+∠AEC＝360°．
故答案为360°．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB中点，若∠B＝30°，AC＝2，则CD＝　2　．
解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝4，
∵D是斜边AB中点，
∴CD＝AB＝2，
故答案为：2．
16．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（3，2），则对角线AC＝　　．
解：如图，连接AC，BO，
∵点B的坐标为（3，2），
∴OB＝＝，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AC＝BO＝，
故答案为：．
17．把长方形ABCD沿着直线EF对折，折痕为EF，对折后的图形EHGF的边FG恰好经过点C，若∠AFE＝55°，则∠CEB'＝　70°　．
解：如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，则∠FEC＝∠AFE＝55°．
∴∠BEF＝180°﹣55°＝125°．
根据折叠的性质知：∠B′EF＝∠BEF＝125°．
∴∠CEB'＝∠B′EF﹣∠FEC＝125°﹣55°＝70°．
故答案是：70°．
18．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，求EF的最小值是　4.8　．
解：连接AP，
∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠BAC＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最小，
在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
由勾股定理得：AC＝＝＝8，
由三角形面积公式得：△ABC的面积＝×AB×AC＝×BC×AP，
∴AP＝＝＝4.8，
即EF＝4.8，
故答案为：4.8．
三．解答题（共7小题）
19．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，求AC的长度．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠AOD＝60°，AD＝2，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝OD＝2，
∴AC＝2OA＝4，
即AC的长度为4．
20．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内任意一点，点D、E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点，∠A＝2∠BDF．求证：四边形DEGF是矩形．
【解答】证明：∵点D、E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，FG是△OBC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，FG∥BC，FG＝BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，DE∥FG，DE＝FG，
∴四边形DEGF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，即2∠ADE+∠A＝180°，
∴∠ADE+∠A＝90°，
∵∠A＝2∠BDF，
∴∠BDF＝∠A，
∴∠ADE+∠BDF＝90°，
∴∠EDF＝180°﹣∠ADE﹣∠BDF＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形DEGF是矩形．
21．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．求证：四边形OCED是矩形．
【解答】证明：∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
22．如图，在一个矩形木板上截下△ABC，使AB＝6cm，BC＝8cm，求：
（1）截线AC的长度；
（2）点B到AC的距离．
解：∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝＝10cm；
（2）设点C到AB的距离为h，
∴AB?BC＝AC?h，
∴h＝＝4.8cm，
∴点B到AC的距离为4.8cm．
23．如图所示，在?ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形EGCF是矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥CF，∠GEF＝∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，AE∥CF，
∴AE＝CF，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
又∵∠GEF＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
24．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE＝2，DE＝4，求矩形BFDE的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴DF∥BE，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
在Rt△ADE中，∵AE＝2，DE＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴DF＝2，
∴矩形BFDE的面积＝DF×DE＝2×4＝8．
25．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AEO和△DFO中，，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠BAE：∠EAD＝2：3，
∴∠BAE＝36°，
∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°，
∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_