北师大版 九年级（上）数学 1.3 正方形的性质与判定 专项训练 （含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
1.3 正方形的性质与判定 专项训练
一．选择题（共10小题）
1．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是　　
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线长度相等 D．一组对角线平分一组对角
2．下列条件不能判断四边形为正方形的是　　
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形
D．对角线相等的菱形
3．为正方形内一点，且是等边三角形，求的度数是　　
A． B． C． D．
4．在菱形中，若添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是　　
A． B． C． D．平分
5．正方形的对角线长为，则它的两条对角线的交点到它的一边的距离为　　
A． B． C． D．
6．如图，正方形中，延长至，使，连接，则　　
A． B． C． D．
7．如图，正方形中，，点是对角线上一点，于点，连结，当时，的长是　　
A．1 B． C． D．
8．如图，四边形、、都是正方形，边长分别为，，；，，，，五点在同一直线上，则　　
A． B． C． D．
9．如图，以正方形的对角线为一边作菱形，点在的延长线上，连接交于点，则的度数为　　
A． B． C． D．
10．如图，已知正方形的边长为4，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为　　
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
二．填空题（共8小题）
11．正方形的对角线长为，面积为　　．
12．正方形既是矩形又是菱形，矩形的两对角线相互平分且相等，而菱形的两对角线互相平分且垂直，那么正方形的对角线具有性质　　．
13．以正方形的边为一边，在正方形外部作等边，则的度数为　　．
14．如图，直线过正方形的顶点，点、到的距离分别是2和1，则正方形的边长是　　．
15．矩形中，要使矩形成为正方形还需满足的条件是　　（横线只需填一个你认为合适的条件即可）
16．如图，两个正方形Ⅰ、Ⅱ和两个矩形Ⅲ、Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ、Ⅱ的面积分别为10和3，那么大正方形的面积是　　．
17．如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是　　．
18．如图，正方形的对角线相交于点，对角线长为，过点任作一条直线分别交，于，，则阴影部分的面积是　　．
三．解答题（共7小题）
19．如图，点是正方形内部一点，，于点．求证：．
20．已知：如图，在矩形中，平分，平分，，．求证：四边形是正方形．
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是、、，，求证：四边形是正方形．
22．如图，在四边形中，，对角线平分，是上一点，过点作，，垂足分别为、．
（1）求证：；
（2）若　　时，四边形是正方形，并说明理由．
23．如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点，交于点，且；
（1）试判断四边形是什么四边形？并说明理由．
（2）当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请回答并证明你的结论．
24．如图，点为正方形对角线上一点，于，于点．
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为1，求四边形的周长．
25．如图，在中，，是的角平分线，点为的中点，过点作直线交并延长到点，使，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是矩形；
（3）当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是　　
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线长度相等 D．一组对角线平分一组对角
解：菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；
矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；
正方形具有菱形和矩形的性质，
菱形不具有的性质为：对角线相等，
故选：．
2．下列条件不能判断四边形为正方形的是　　
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形
D．对角线相等的菱形
解：、根据对角线互相垂直且相等的平行四边形，所以能判断四边形是正方形；
、对角线互相垂直的矩形，所以能判断四边形是正方形；
、根据对角线互相垂直且相等的四边形，不能判断四边形是正方形；
、对角线相等是菱形，所以能判断四边形是正方形．
故选：．
3．为正方形内一点，且是等边三角形，求的度数是　　
A． B． C． D．
解：为正方形内一点，且是等边三角形，
，，，
，
，
故选：．
4．在菱形中，若添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是　　
A． B． C． D．平分
解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：，即；
故添加的条件为：或或．
故选：．
5．正方形的对角线长为，则它的两条对角线的交点到它的一边的距离为　　
A． B． C． D．
解：如图，，
；
；
四边形是正方形，
，，
，
故选：．
6．如图，正方形中，延长至，使，连接，则　　
A． B． C． D．
解：是正方形的对角线，
，
，
，
，
，
，
故选：．
7．如图，正方形中，，点是对角线上一点，于点，连结，当时，的长是　　
A．1 B． C． D．
解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：．
8．如图，四边形、、都是正方形，边长分别为，，；，，，，五点在同一直线上，则　　
A． B． C． D．
解：四边形、、都是正方形，
，，，．
，，
．
又，
．
．
在中，，
．
故选：．
9．如图，以正方形的对角线为一边作菱形，点在的延长线上，连接交于点，则的度数为　　
A． B． C． D．
解：四边形是正方形，
，，
四边形是菱形，
，
，
故选：．
10．如图，已知正方形的边长为4，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为　　
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
解：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
、，
，
，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．正方形的对角线长为，面积为　1　．
解：四边形为正方形，
，，
正方形的面积，
故答案为：1．
12．正方形既是矩形又是菱形，矩形的两对角线相互平分且相等，而菱形的两对角线互相平分且垂直，那么正方形的对角线具有性质　两对角线相互平分垂直且相等　．
解：正方形既是矩形又是菱形，
正方形的对角线具有性质是两对角线相互平分垂直且相等，
故答案为：两对角线相互平分垂直且相等．
13．以正方形的边为一边，在正方形外部作等边，则的度数为　　．
解：四边形是正方形，是等边三角形，
，，，
，，
，
故答案为：．
14．如图，直线过正方形的顶点，点、到的距离分别是2和1，则正方形的边长是　　．
解：四边形是正方形，
，，
，
而，，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
15．矩形中，要使矩形成为正方形还需满足的条件是　（答案不唯一）．　（横线只需填一个你认为合适的条件即可）
解：添加的条件可以是．理由如下：
四边形是矩形，，
四边形是正方形．
故答案为：（答案不唯一）．
16．如图，两个正方形Ⅰ、Ⅱ和两个矩形Ⅲ、Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ、Ⅱ的面积分别为10和3，那么大正方形的面积是　　．
解：正方形Ⅰ的面积为10，
正方形Ⅰ的边长为，
正方形Ⅱ的面积为3，
正方形Ⅱ的边长为，
大正方形的边长为，
大正方形的面积为，
故答案为：．
17．如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是　　．
解：连接交于点，
四边形是正方形，，
，，，
，
，
四边形的周长是，
故答案为：．
18．如图，正方形的对角线相交于点，对角线长为，过点任作一条直线分别交，于，，则阴影部分的面积是　　．
解：正方形的对角线相交于点，
与关于点成中心对称，
，
，
，
对角线长为，
，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．如图，点是正方形内部一点，，于点．求证：．
解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
于点，
，
，
．
20．已知：如图，在矩形中，平分，平分，，．求证：四边形是正方形．
【解答】证明：，
四边形是平行四边形，
又在矩形中，平分，平分
，
四边形是正方形．
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是、、，，求证：四边形是正方形．
解：、，
，，
，
同理可求得：，，，
，
四边形为菱形，
，
四边形为正方形．
22．如图，在四边形中，，对角线平分，是上一点，过点作，，垂足分别为、．
（1）求证：；
（2）若　90　时，四边形是正方形，并说明理由．
【解答】证明：（1）对角线平分，
，
在和中，
，
，
；
（2）当时，四边形是正方形，
理由如下：，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
矩形是正方形，
故答案为：90．
23．如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点，交于点，且；
（1）试判断四边形是什么四边形？并说明理由．
（2）当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请回答并证明你的结论．
解：（1）四边形是菱形．
垂直平分，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）当时，菱形是正方形．
证明：，，
，
，
菱形是正方形．
24．如图，点为正方形对角线上一点，于，于点．
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为1，求四边形的周长．
【解答】证明：（1）四边形是正方形，
，，，
在与中，
，
，
；
（2），，
，．
又，
四边形是矩形，
，，
，，
，
又，
矩形的周长为．
25．如图，在中，，是的角平分线，点为的中点，过点作直线交并延长到点，使，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是矩形；
（3）当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由．
【解答】证明：（1），
．
又，
，
．
（2）点为的中点，
．
在和中，
，
．
，即，
四边形是平行四边形．
又在中，，
是的角平分线，
，
，
四边形是矩形．
（3）解：当满足时，四边形是正方形．理由如下：
是的角平分线，
，
，
．
四边形是矩形，
四边形是正方形．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_