北师大版 九年级（上）数学 1.1 菱形的性质与判定 专题训练2（含解析）

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1.1 菱形的性质与判定 专题训练
一．选择题（共10小题）
1．下面性质中，菱形不一定具备的是　　
A．四条边都相等 B．每一条对角线平分一组对角
C．邻角互补 D．对角线相等
2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是　　
A．对角线互相垂直且相等的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的平行四边形
D．对角线互相平分且垂直的四边形
3．在菱形中，，，则此菱形的面积是　　
A．48 B．96 C．60 D．120
4．已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是　　
A．13 B．52 C．120 D．240
5．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为　　
A． B． C． D．
6．四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为　　
A． B． C．4 D．8
7．如图，四边形的两条对角线，交于点，，．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是　　
A． B． C． D．
8．如图，菱形对角线，，则菱形高长为　　
A． B． C． D．
9．如图，在菱形中，于点，点恰好为的中点，则菱形的较大内角度数为　　
A． B． C． D．
10．如图，在菱形中，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动的过程中，的长度　　
A．逐渐增加 B．逐渐减小
C．保持不变且与的长度相等 D．保持不变且与的长度相等
二．填空题（共8小题）
11．若菱形的周长为20，且较长的对角线的长为8，则较短的对角线的长为　　
12．如图，已知菱形的边长为2，，则对角线的长为　　．
13．如图，的对角线、相交于点，则添加一个适当的条件：　　可使其成为菱形（只填一个即可）．
14．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为　 　．
15．在菱形中，对角线、交于点，点为中点，过点作于点交于点，连接，若，则　　．
16．如图，菱形中，点为对角线的三等分点且，连接，，，已知，那么菱形的边长为　 　．
17．如图，菱形的对角线相交于点，过点作交的延长线于点，连接．若菱形的面积等于12，对角线，则的长为　　．
18．如图，在菱形中，，，为中点，为对角线上一动点，连接和，则的最小值是　　．
三．解答题（共7小题）
19．如图，已知菱形的一条对角线恰好与其边的长相等，求这个菱形各内角的大小．
20．如图，在已知平行四边形中，平分，与相交于点，，与相交于点．求证：四边形是菱形．
21．已知，如菱形，垂直于，且为的中点，已知．求：
（1）的度数；
（2）的长．
22．如图，四边形和四边形都是菱形，点，在上．已知，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
23．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
24．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
25．如图，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．
（1）连接，当经过边的中点时，试判定四边形的形状并说明理由；
（2）当为多少时，四边形是菱形．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下面性质中，菱形不一定具备的是　　
A．四条边都相等 B．每一条对角线平分一组对角
C．邻角互补 D．对角线相等
解：、菱形的四条边都相等，故此选项不符合题意；
、菱形的每一条对角线平分一组对角，故此选项不符合题意；
、菱形的对角相等，邻角互补，故此选项不符合题意；
、菱形的对角线不一定相等，故此选项符合题意；
故选：．
2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是　　
A．对角线互相垂直且相等的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的平行四边形
D．对角线互相平分且垂直的四边形
解：、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；
、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；
、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；
、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；
故选：．
3．在菱形中，，，则此菱形的面积是　　
A．48 B．96 C．60 D．120
解：四边形是菱形，
，，，
，
，
在中，，
，
；
故选：．
4．已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是　　
A．13 B．52 C．120 D．240
解：菱形中，，，
，，
在中，，
菱形的周长．
故选：．
5．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为　　
A． B． C． D．
解：菱形，，
，
，
，
，
故选：．
6．四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为　　
A． B． C．4 D．8
解：四边形是菱形，
，，，
在中，
，
，
，
，
菱形的面积．
故选：．
7．如图，四边形的两条对角线，交于点，，．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是　　
A． B． C． D．
解：四边形中，，，
四边形是平行四边形，
，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
当时，
由得：，
，
，
四边形是菱形；
故选：．
8．如图，菱形对角线，，则菱形高长为　　
A． B． C． D．
解：菱形对角线，，
，
，
，
根据勾股定理，，
菱形的面积，
即，
解得．
故选：．
9．如图，在菱形中，于点，点恰好为的中点，则菱形的较大内角度数为　　
A． B． C． D．
解：连接，如图：
四边形是菱形，
，，，，
，
，点是中点，
，
是等边三角形，
，
，；
即菱形的较大内角度数为；
故选：．
10．如图，在菱形中，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动的过程中，的长度　　
A．逐渐增加 B．逐渐减小
C．保持不变且与的长度相等 D．保持不变且与的长度相等
解：连接，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．若菱形的周长为20，且较长的对角线的长为8，则较短的对角线的长为　6　
解：菱形周长为20，则，
，
，
，
，
故答案为：6．
12．如图，已知菱形的边长为2，，则对角线的长为　　．
解：连接交于，如图，
四边形为菱形，
，，，
，
，
为等边三角形，
，
．
故答案为：．
13．如图，的对角线、相交于点，则添加一个适当的条件：　或（答案不唯一）　可使其成为菱形（只填一个即可）．
解：的对角线，相交于点，当或使其成为菱形．
故答案为：或（答案不唯一）．
14．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为　　．
解：在菱形中，，
，
，
，
．
故答案为：．
15．在菱形中，对角线、交于点，点为中点，过点作于点交于点，连接，若，则　35　．
解：四边形是菱形，
，．
垂直平分，
，
，
，
故答案为35．
16．如图，菱形中，点为对角线的三等分点且，连接，，，已知，那么菱形的边长为　　．
解：如图，连接交于．
四边形是菱形，
，，
，，
，，
，，
．
故答案为．
17．如图，菱形的对角线相交于点，过点作交的延长线于点，连接．若菱形的面积等于12，对角线，则的长为　3　．
解：四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
，
故答案是：3．
18．如图，在菱形中，，，为中点，为对角线上一动点，连接和，则的最小值是　　．
解：作点关于的对称点，交于点，连接，则就是的最小值，
在菱形中，，，为中点，，
，，点为的中点，
是等边三角形，，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．如图，已知菱形的一条对角线恰好与其边的长相等，求这个菱形各内角的大小．
解：四边形为菱形，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，
即这个菱形各内角的大小分别为，，，．
20．如图，在已知平行四边形中，平分，与相交于点，，与相交于点．求证：四边形是菱形．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，
又，
四边形为平行四边形，
平分，
，
，
，
，
平行四边形为菱形．
21．已知，如菱形，垂直于，且为的中点，已知．求：
（1）的度数；
（2）的长．
解：（1）于，且为的中点，
．
四边形是菱形，
．
．
是等边三角形．
．
（2），是等边三角形，
，，
．
．
22．如图，四边形和四边形都是菱形，点，在上．已知，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
解：（1）四边形是菱形，
，，
，
；
（2），四边形是菱形，
，则，
．
23．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
菱形的面积，
，
菱形的面积，
．
24．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
【解答】（1）证明：，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长．
25．如图，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．
（1）连接，当经过边的中点时，试判定四边形的形状并说明理由；
（2）当为多少时，四边形是菱形．
【解答】（1）解：四边形是平行四边形．
理由：，
，，
为的中点，
，
在和中，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：若四边形是菱形，则有，
则此时的时间．
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