北师大版 九年级（上）数学 1.1 菱形的性质与判定 专项训练1（含解析）

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1.1 菱形的性质与判定 专项训练
一．选择题（共10小题）
1．下列说法中错误的是　　
A．四边相等的四边形是菱形
B．菱形的对角线长度等于边长
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2．菱形的对角线不具备的性质是　　
A．对角线互相平分 B．对角线一定相等
C．对角线一定垂直 D．对角线平分一组对角
3．下列条件中，能判定是菱形的是　　
A． B． C． D．
4．在中，添加下列条件能够判定是菱形的是　　
A． B． C． D．
5．如图，菱形的边长为2，，，则这个菱形的面积是　　
A．4 B．8 C． D．
6．如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是　　
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，，则的长为　　
A．10 B．12 C．16 D．18
8．如图，已知四边形的四边相等，等边的顶点、分别在、上，且，则为　　
A． B． C． D．
9．如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作于点，连结．则四边形的周长为　　
A． B． C． D．8
10．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为54，则的长为　　
A．4 B．4.5 C．8 D．9
二．填空题（共8小题）
11．如果菱形的边长为17，一条对角线长为30，那么另一条对角线长为　　．
12．已知菱形的周长是，一条较小的对角线的长是，则该菱形较大的内角是　　度．
13．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的顶点坐标是，则顶点、的坐标分别是　 　．
14．如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点，若，则的度数为　　．
15．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，当线段时，线段的长为　　．
16．如图，在菱形中，，，且，连接交对角线于点，则　　．
17．如图，菱形中，，、分别是、的中点，若此菱形的边长为4，则　　．
18．菱形的两条对角线的长分别为6和8，点、分别是边、的中点，点是对角线上的一个动点，则的最小值是　 　．
三．解答题（共7小题）
19．已知一个菱形的两条对角线的长分别为和，求该菱形的周长和面积．
20．如图，四边形是菱形，，，于点，求的长．
21．如图，的对角线，相交于点，且，，，求证：是菱形．
22．如图，四边形是菱形，，，求：
（1），的度数．
（2），的长．
23．如图，在中，，分别是，的中点，，连接交于点．
（1）求证：；
（2）连接，求证四边形是菱形．
24．如图，在四边形中，，过对角线的中点作，分别交边，于点，，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
25．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．
（1）连接，当经过边的中点时，求证：；
（2）填空：
①当为　　时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形；
②当为　　时，四边形是菱形．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列说法中错误的是　　
A．四边相等的四边形是菱形
B．菱形的对角线长度等于边长
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
解：四边相等的四边形是菱形
选项正确
菱形的对角线长度不一定等于边长，
选项错误
一组邻边相等的平行四边形是菱形
选项正确
对角线互相垂直平分的四边形是菱形
选项正确
故选：．
2．菱形的对角线不具备的性质是　　
A．对角线互相平分 B．对角线一定相等
C．对角线一定垂直 D．对角线平分一组对角
解：菱形的性质：四条边都相等，对角线互相垂直平分，是轴对称图形，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形的对角线不一定相等；
故选：．
3．下列条件中，能判定是菱形的是　　
A． B． C． D．
解：四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形；
故选：．
4．在中，添加下列条件能够判定是菱形的是　　
A． B． C． D．
解：四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
故选：．
5．如图，菱形的边长为2，，，则这个菱形的面积是　　
A．4 B．8 C． D．
解：菱形的边长为2，
，
，，
，
菱形的面积；
故选：．
6．如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是　　
A． B． C． D．
解：需要添加的条件是；
理由如下：
四边形的对角线互相平分，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
故选：．
7．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，，则的长为　　
A．10 B．12 C．16 D．18
解：如图所示：
四边形是平行四边形，
，
，
的平分线交于点，
，
，
，同理可得，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，，
，
；
故选：．
8．如图，已知四边形的四边相等，等边的顶点、分别在、上，且，则为　　
A． B． C． D．
解：四边形的四边都相等，
四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，，
，，
，，
由三角形的内角和定理得：，
设，
则，
，
，
解得：，
．
故选：．
9．如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作于点，连结．则四边形的周长为　　
A． B． C． D．8
解：四边形为菱形，
，，
，
，
是对角线的中点，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
四边形的周长．
故选：．
10．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为54，则的长为　　
A．4 B．4.5 C．8 D．9
解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．如果菱形的边长为17，一条对角线长为30，那么另一条对角线长为　16　．
解：在菱形中，，，
对角线互相垂直平分，
，，
在中，，
．
即另一条对角线长为16，
故答案为：16．
12．已知菱形的周长是，一条较小的对角线的长是，则该菱形较大的内角是　120　度．
解：菱形的周长为，
菱形的边长为：，
一条对角线的长是，
这条对角线跟相邻的两边组成的三角形为等边三角形，
则菱形的较小的内角为，
则较大内角为．
故答案为：．
13．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的顶点坐标是，则顶点、的坐标分别是　，　．
解：顶点的坐标是，
，
四边形是菱形，
，，
顶点、的坐标分别是：，．
故答案是：，．
14．如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点，若，则的度数为　　．
解：连接，，
四边形是菱形，
，
．
垂直平分，垂直平分，
，，
，
，
，即，
，
，则，
．
故答案为：．
15．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，当线段时，线段的长为　5　．
解：由条件可知，，
四边形为平行四边形，
．
故答案为：5．
16．如图，在菱形中，，，且，连接交对角线于点，则　105　．
解：菱形中，
，，，
是等边三角形
故答案为：
17．如图，菱形中，，、分别是、的中点，若此菱形的边长为4，则　2　．
解：连接，如图所示：
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
、分别是、的中点，
是的中位线，
，
故答案为：2．
18．菱形的两条对角线的长分别为6和8，点、分别是边、的中点，点是对角线上的一个动点，则的最小值是　5　．
解：如图：
作交于，连接，
则就是的最小值，
、分别是、的中点，
，
交于，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
而由已知可得，
的最小值为5，
故答案为5．
三．解答题（共7小题）
19．已知一个菱形的两条对角线的长分别为和，求该菱形的周长和面积．
解：如图．已知，，菱形对角线互相垂直平分，
，，
，
，
菱形的周长为．
即菱形的面积．
20．如图，四边形是菱形，，，于点，求的长．
解：菱形面积是，
，，
，，
，
则，
解得．
21．如图，的对角线，相交于点，且，，，求证：是菱形．
【解答】证明：，，，
．
是直角三角形．
．
又四边形为平行四边形，
四边形为菱形．
22．如图，四边形是菱形，，，求：
（1），的度数．
（2），的长．
解：（1）四边形是菱形，
，，，
，
为等边三角形，
，
，
；
（2）为等边三角形，，
，
，
，
．
23．如图，在中，，分别是，的中点，，连接交于点．
（1）求证：；
（2）连接，求证四边形是菱形．
解：
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
、分别是，的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：
是的中点，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
24．如图，在四边形中，，过对角线的中点作，分别交边，于点，，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【解答】（1）证明：方法1，，
．
在和中，
，
．
，
又，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
方法2：证同方法1，
，
，
四边形是平行四边形．
，，
是的垂直平分线，
，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，，
．
又在中，
由勾股定理得到：，
．
．
25．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．
（1）连接，当经过边的中点时，求证：；
（2）填空：
①当为　或8　时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形；
②当为　　时，四边形是菱形．
【解答】（1）证明：，
，，
为的中点，
，
在和中，，
；
（2）解：①当点在的左侧时，根据题意得：，，
则，
，
当时，四边形是平行四边形，
即，
解得：；
当点在的右侧时，根据题意得：，，
则，
，
当时，四边形是平行四边形，
即，
解得：；
综上可得：当或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形．
②若四边形是菱形，则有，
则此时的时间；
故答案是：或8；8．
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