第一章 1.1 第1课时
1．甲、乙两个班级分别有29名、30名学生，从两个班中选一名学生，则( C )
A．有29种不同的选法
B．有30种不同的选法
C．有59种不同的选法
D．有29×30种不同的选法
[解析] 分两类：第一类从甲班选有29种方法，第二类从乙班选有30种方法．由分类加法计数原理得共有29＋30＝59种不同方法，故选C．
2．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 四位同学各自在周六、周日两天中选择一天参加公益活动的情况有24＝16种方式，其中仅在周六或周日参加的各有一种，故所求概率P＝1－＝．
3．用1、2、3这3个数字可以写出没有重复数字的整数__15__个．
[解析] 分三类：第一类为一位整数，有3个；
第二类为两位整数，有12,21,13,31,23,32，共6个；
第三类为三位整数，有123,132,321,312,231,213，共6个，
∴可写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15个．
4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( C )
A．30个
B．42个
C．36个
D．35个
[解析] ∵a＋bi为虚数，∴b≠0，完成这件事，分两步进行，第一步确定b，有6种不同的方法，第二步确定a，由于a≠b，但a可以为0，故有6种不同的方法，故共有虚数6×6＝36个．第一章 1.1 第1课时
请同学们认真完成练案[1]
A级 基础巩固
一、选择题
1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( A )
A．13种
B．16种
C．24种
D．48种
[解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A．
2．(2020·朝阳区高三)从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是( C )
A．6
B．8
C．10
D．12
[解析] 当末位数字为0时，首位可以是1,2,3,4中的一个，有4个，当末位数字为2或4时，首位可以是除了0之外的其他3个数字中的1个，故有2×3＝6种，所以偶数的个数是10个，故选C．
3．定义集合A与B的运算A
B如下：A
B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A
B的元素个数为( C )
A．34
B．43
C．12
D．24
[解析] 显然(a，a)、(a，c)等均为A
B中的元素，确定A
B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步乘法计数原理可知A
B中有3×4＝12个元素．故选C．
4．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开从不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( D )
A．26
B．24
C．20
D．19
[解析] 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D．
5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( B )
A．8种
B．9种
C．10种
D．11种
[解析] 设四个班级分别是A、B、C、D，它们的老师分别是a、b、c、d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C、D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B、C、D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法．
6．从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( B )
A．24
B．18
C．12
D．6
[解析] (1)当从0,2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能奇数，只要2不排在个位即可，先排2再排1,3,5中选出的两个奇数，共有2×3×2＝12(个)．
(2)当从0,2中选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，只要排好从1,3,5中选出的两个奇数．共有3×2＝6(个)．
综上，由分类加法计数原理知共有12＋6＝18(个)．
二、填空题
7．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有__12__条．
[解析] 经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步，确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条．
8．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示__22__条不同的直线．
[解析] 若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20条，故共有20＋2＝22条不同的直线．
9．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛
，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有__48__种．(用数字作答)
[解析] 本题可分为两类完成：两老一新时，有3×2×2＝12(种)排法；两新一老时，有2×3×3×2＝36(种)排法，即共有48种排法．
三、解答题
10．有不同的红球8个，不同的白球7个．
(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
[解析] (1)由分类加法计数原理得，
从中任取一个球共有8＋7＝15种．
(2)由分步乘法计数原理得，
从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2020·石家庄高二检测)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( B )
A．243
B．252
C．261
D．279
[解析] 用0,1，…，9十个数字，可以组成的三位数的个数为9×10×10＝900，其中三位数字全不相同的为9×9×8＝648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252．
2．(多选题)如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能是( ABCD )
A．B
B．D
C．E
D．F
[解析] 每个焊接点都有正常与脱落两种情况，只要有一个脱落电路即不通，所以选ABCD．
二、填空题
3．一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名
同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法__9__种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法__20__种．
[解析] 由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5＋4＝9种，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4＝20种．
4．某班2020年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为__42__．
[解析] 将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种)．
三、解答题
5．集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}．现从A，B中各取一个元素作为点P(x，y)的坐标．
(1)可以得到多少个不同的点？
(2)在这些点中，位于第一象限的有几个？
[解析] (1)一个点的坐标由x，y两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类：
第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12(个)不同的点；
第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12(个)不同的点．
由分类加法计数原理得不同的点的个数为12＋12＝24(个)．
(2)第一象限内的点x，y必须为正数，从而只能取A、B的正数，同样可分为两类，类似于(1)．
由分类加法计数原理得适合题意的不同点的个数为2×2＋2×2＝8(个)．(共46张PPT)
数 学
选修2-3
·
人教A版
新课标导学
第一章
计数原理
高二一班某寝室有8名同学，他们约定毕业后每年春节要互寄一张贺年卡片，他们一共要消费多少张卡片？
第32届夏季奥运会因新冠肺疫情延期至2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，206个国家代表方队入场参加开幕式．这些代表方队的出场顺序一共有多少种排法？某城市的电话号码有8位数字，一共能构成多少个电话号码？汽车牌照由26个英文字母和10个阿拉伯数字选出五个组成，一共能组成多少辆汽车的牌照号码？……你知道是怎样计数的吗？
本章将系统学习计数原理，学习本章要注意体会有序与无序在计数中的区别，体会建模在数学研究中的作用．
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1
自主预习·探新知
2
互动探究·攻重难
3
课堂达标·固基础
4
课时作业·练素能
自主预习·探新知
第31届世界大学生夏季运动会将于2021年8月18日至29日在成都举行，某委员打算从泉城济南前往成都参加会议．他有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘坐动车组．假如这天飞机有3个航班可乘，动车组有4个班次可乘．
问：此委员这一天从济南到成都共有多少种快捷途径可选？
情景引入
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
2．分类加法计数原理的推广
完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有
m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝___________________种不同的方法．
m＋n
新知导学
m1＋m2＋…＋mn
3．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
4．分步乘法计数原理的推广
完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________________种不同的方法．
m×n
m1×m2×…×mn
1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有
( )
A．3种
B．4种
C．7种
D．12种
[解析] 选择课程的方法有2类：从A类课程中选一门有3种不同方法，从B类课程中选1门有4种不同方法，∴共有不同选法3＋4＝7种．
C
预习自测
2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是
( )
A．1
B．3
C．6
D．9
[解析] 这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．
D
3．现有4件不同款式的上衣与3件不同颜色的长裤，如果一条长裤和一件上衣配成一套，则不同选法是
( )
A．7
B．64
C．12
D．81
[解析] ∵选定一件上衣时，有不同颜色的裤子3条，
∴有3种不同的穿衣方案，
∴共有3×4＝12种不同的搭配方法，
故选C．
C
4．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．
(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？
(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？
[解析] (1)小明爸爸选凳子可以分两类：
第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；
第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法．
根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法．
(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：
第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)
第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．
互动探究·攻重难
分类加法计数原理的应用
有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有多少种不同的取法？
[解析] 有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．
其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15(种)．
命题方向
1
典例
1
互动探究解疑
『规律总结』 (1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事．
(2)利用分类加法计数原理解题的一般思路
高二(1)班有学生50人，男生30人；高二(2)班有学生60人，女生30人；高二(3)班有学生55人，男生35人．
(1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？
(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？
跟踪练习1
[解析] (1)选一名学生有3类不同的选法：
第一类，从高二(1)班选一名，有50种不同的方法；
第二类，从高二(2)班选一名，有60种不同的方法；
第三类，从高二(3)班选一名，有55种不同的方法．
故任选一名学生任学生会主席的选法共有50＋60＋55＝165种不同的方法．
(2)选一名学生任学生会体育部长有3类不同的选法；
第一类，从高二(1)班男生中选有30种不同的方法；
第二类，从高二(2)班男生中选有30种不同的方法；
第三类，从高二(3)班女生中选有20种不同的方法．
故选一名学生任学生会体育部长有30＋30＋20＝80种不同选法．
分步乘法计数原理的应用
已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：
(1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？
(2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？
(3)P(a，b)可表示多少个不在直线y＝x上的点？
命题方向
2
典例
2
[解析] (1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6×6＝36个．
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．
由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是3×2＝6个．
(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．
由(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30个．
『规律总结』 本题运用了分步乘法计数原理．利用此原理解决问题时要注意：
(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．
(2)各个步骤中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
书架的第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书．
(1)从这些书中任取一本数学、一本语文和一本英语共三本书的不同取法有多少种？
(2)从这些书中任取三本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？
跟踪练习2
[解析] (1)完成这个工作可分三个步骤：
第1步，从第一层中任取一本数学书；第2步，从第二层中任取一本语文书；第3步，从第三层中任取一本英语书．
根据分步乘法计数原理，共有6×6×5＝180种不同的取法．
(2)本题实际上是从17本书中任取三本放在三个不同位置．完成这个工作分三个步骤：
第1步，从17本书中任取一本放在第一个位置上，共有17种不同的方法；
第2步，从16本书中任取一本放在第二个位置上，共有16种不同的方法；
第3步，从15本书中任取一本放在第三个位置上，共有15种不同的方法．
根据分步乘法计数原理，共有17×16×15＝4080种不同的排法．
两个计数原理的辨析
某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．
(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？
(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？
命题方向
3
典例
3
[解析] (1)分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，共有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，共有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，共6种不同的选法，由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(种)不同的选法．
(2)分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名组长，共有8种不同的选法；第二步从二班的10名优秀团员中选1名组长，共10种不同的选法；第三步是从三班的6名优秀团员中产生，共6种不同的选法，由分步乘法计数原理可得：共有N＝8×10×6＝480(种)不同的选法．
(3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法，因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(种)不同的选法．
『规律总结』 (1)运用两个原理的关键在于正确区分“分类”与“分步”，分类就是能“一步到位”，即任何一类中任何一种方法，都能完成这件事；而分步只能是“局部到位”，即任何一步中任何一种方法只能完成事件中的某一部分．
(2)在既有分类又有分步的题型中，一般先分类，然后在每一类中再分步．
有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？
(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法？
[解析] (1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．
由分类加法计数原理知，有3＋8＋5＝16种选法．
跟踪练习3
(2)分三步：第1步选老师，有3种方法；第2步选男同学，有8种方法；第3步选女同学，有5种方法．
由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120种选法．
(3)可分两类，每一类又分两步．
第1类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；
第2类，选一名老师再选一名女同学，有3×5＝15种选法．
由分类加法计数原理知，共有24＋15＝39种选法．
(1)枚举法：将各种情况通过树形图、表格等方法一一列举出来．它适用于计数种数较少的情况，分类计数时将问题分类实际上就是将分类种数一一列举出来．
枚举法是一种解决问题的基本方法，当计数的种数不是很多时，都可以用此方法解决．
(2)间接法：若计数时分类较多，或无法直接计算时，可用间接法，先求出没有限制条件的种数，再减去不满足条件的种数．
学科核心素养
解决计数问题的常用的方法
(3)字典排序法：字典排序法就是把所有的字母分为前后，先排前面的字母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最后的字母排完，则排列结束．
利用字典排序法并结合分步乘法计数原理可以解决与排列顺序有关的计数问题，利用字典排序法还可以把这些排列不重不漏地一一列举出来．
(4)模型法：模型法就是通过构造图形，利用形象、直观的图形帮助我们分析、解决问题的方法．模型法是解决计数问题的重要方法．
4个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己的贺年卡，共有多少种不同取法？
[思路分析] 可以把4个人编号，用一、二、三、四表示，各自的卡片用1,2,3,4表示，用表格的形式一一列举出来．
[解析] 解法一：显然这个问题难用两个计数原理列式计算，但可以把各种方法一一列举出来，最后再数出方法种数．把4个人编号为一、二、三、四，他们写的4张贺年卡依次为1,2,3,4号，则取一张不是自己写的贺年卡的各种方法全部列举出来为：
典例
4
共有9种方法．
四个人
取贺年卡的方法
一
2
2
2
3
3
3
4
4
4
二
1
3
4
1
4
4
1
3
3
三
4
4
1
4
1
2
2
1
2
四
3
1
3
2
2
1
3
2
1
方法编号
法1
法2
法3
法4
法5
法6
法7
法8
法9
解法二：将该问题转化为“用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，要求1不在个位、2不在十位、3不在百位、4不在千位的四位数有多少个”．因此，可分三步，第一步确定个位数，有3种不同的方法；第二步确定把1放到十位、百位、千位中的任一位上，也有3种不同的方法；第三步，余下的两个数字只有一种方法，由分类计数原理可得不同的分配方法为3×3＝9种．
『规律总结』 破解此类看似简单，实则繁难题的关键是选用“枚举法”，即可轻松破解．用枚举法需要注意做到不重不漏．
某彩票购买规则规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想从01到10中选出3个连续的号，从11到20中选2个连续的号，从21到30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要__________元．
[解析] 需分步：第1步，从01到10中选3个连续的号，有8种选法，第2步，从11到20中选2个连续的号，有9种选法，第3步，从21到30中选1个号，有10种选法，第4步，从31到36中选1个号，有6种选法，∴共有N＝8×9×10×6＝4
320个号，共需要8×9×10×6×2＝8
640元．
8
640
跟踪练习4
(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有
( )
A．24种
B．4种
C．43种
D．34种
(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3班，则此人的走法共有_____种．
易混易错警示
因分辨不清两个计数原理而致错
典例
5
C
7
[辨析] (1)若选择信箱作为标准，则第一个信箱可以有3封信去投，共有3种投法；同理第二个信箱也有3种投法；依次类推共有3×3×3×3＝34种投法，故而错选D；
(2)若搞不清分步还是分类，把此题当成分步，则有3×4＝12种，从而出错．
[正解] (1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投完，就完成了这件事情．由分步乘法计数原理可得共有43种方法，故选C．
(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地．根据分类加法计数原理可得此人的走法共有4＋3＝7(种)．
[误区警示] 解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理来计算．解决本题易出现的问题是对完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地要先乘火车后坐轮船，进而使用分步乘法计数原理计算．
课堂达标·固基础
课时作业·练素能
