第1课时 不等式及其性质
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
用不等式表示不等关系
1.下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是( )
A．a－b＞0
B．a－b＜0
C．a－b≥0
D．a－b≤0
2．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为( )
A．h＜4.5
B．h＞4.5
C．h≤4.5
D．h≥4.5
知识点二
作差法比较大小
3.设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( )
A．a>b
B．a
C．a≥b
D．a≤b
4．若P＝＋，Q＝＋(a>－5)，则P，Q的大小关系为( )
A．PB．P＝Q
C．P>Q
D．不能确定
5．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( )
A．A≤B
B．A≥B
C．AB
D．A>B
知识点三
用不等式的性质判断或证明
6.下列命题正确的是( )
A．若ac＞bc，则a＞b
B．若a2＞b2，则a＞b
C．若＞，则a＜b
D．若＜，则a＜b
7．给出下列命题：
①若ab>0，a>b，则<；
②若a>b，c>d，则a－c>b－d；
③对于正数a，b，m，若a8．(1)已知a＜b＜0，求证：＜；
(2)已知a＞b，＜，求证：ab＞0.
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．按照神州十一号飞船环境控制与生命保障系统的设计指标，要求神州六号飞船返回舱的温度在(21±4)
℃之间(包含端点)，则该返回舱中温度t(单位：℃)的取值范围是( )
A．t≤25
B．t≥17
C．17≤t≤25
D．172．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a
D．a>b>－a>－b
3．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是( )
A．ad>bc
B．ac>bd
C．a＋c>b＋d
D．a－c>b－d
4．已知a，b，c均为正实数，若＜＜，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜a＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．c＜b＜a
5．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是( )
A．xy＞yz
B．xz＞yz
C．xy＞xz
D．x|y|＞z|y|
6．已知a，b∈(0,1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＜N
B．M＞N
C．M＝N
D．不确定
二、填空题
7．一辆汽车原来每天行驶x
km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19
km，那么在8天内它的行程就超过2
200
km，写出不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12
km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．
8．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________．
9．(探究题)给定下列命题：
①a>b?a2>b2；②a2>b2?a>b；③a>b?<1；④a>b，c>d?ac>bd；⑤a>b，c>d?a－c>b－d.
其中错误的命题是________(填写相应序号)．
三、解答题
10．(易错题)已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，求9x－3y的取值范围．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)给出四个选项能推出＜的有( )
A．b＞0＞a
B．0＞a＞b
C．a＞0＞b
D．a＞b＞0
2．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是( )
A．P>Q
B．P≥Q
C．PD．P≤Q
3．(情境命题—生活情境)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？
第1课时 不等式及其性质
必备知识基础练
1．解析：“a与b的差是非负数”用不等式表示为a－b≥0.故选C.
答案：C
2．解析：“限高4.5米”即h＜4.5，故选A.
答案：A
3．解析：a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.
答案：C
4．解析：P2＝2a＋13＋2，
Q2＝2a＋13＋2，
因为(a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8)＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2>0，
所以>，
所以P2>Q2，所以P>Q.
答案：C
5．解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝2＋b2≥0，所以A≥B.
答案：B
6．解析：对于A，若c＜0，其不成立；对于B，若a，b均小于0或a＜0，其不成立；对于C，若a＞0，b＜0，其不成立；对于D，其中a≥0，b＞0，平方后显然有a＜b.
答案：D
7．解析：对于①，若ab>0，则>0，
又a>b，所以>，所以<，所以①正确；
对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，
则7－0<6－(－10)，②错误；
对于③，对于正数a，b，m，
若a所以am＋ab所以0又>0，所以<，③正确．
综上，真命题的序号是①③.
答案：①③
8．证明：(1)证法一：∵a－b>0，
∴0<－<－， ①
∵0<－b<－a,
②
①②相乘，<.
证法二：－＝＝，
∵a＜b＜0，
∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
(2)∵＜，∴－＜0，即＜0，
又a＞b，∴b－a＜0，
∴ab＞0.
关键能力综合练
1．解析：由题意知21－4≤t≤21＋4，即17≤t≤25.
答案：C
2．解析：解法一 ∵a＋b>0，∴a>－b，
又b<0，∴a>0，且|a|>|b|，
∴a>－b>b>－a.
解法二 设a＝3，b＝－2，则a>－b>b>－a.
故选C.
答案：C
3．解析：由a>b，c>d得a＋c>b＋d，故选C.
答案：C
4．解析：∵＜，∴c(b＋c)＜a(a＋b)，bc＋c2＜a2＋ab，移项后因式分解得，(a－c)(a＋b＋c)＞0，∵a，b，c均为正实数，∴a＞c，同理b＞a.∴c＜a＜b，故选A.
答案：A
5．解析：因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，
所以3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0，
所以x＞0，z＜0.所以由可得xy＞xz.故选C.
答案：C
6．解析：M－N＝ab－(a＋b－1)＝ab－a－b＋1
＝(a－1)(b－1)．
∵a，b∈(0,1)，∴a－1<0，b－1<0，
∴M－N>0，∴M>N.
答案：B
7．解析：由题意知，汽车原来每天行驶x
km,8天内它的行程超过2
200
km，则8(x＋19)＞2
200.若每天行驶的路程比原来少12
km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即＞9(x>12)．
答案：8(x＋19)＞2
200 ＞9(x>12)
8．解析：＋－
＝.
∵a2b2＞0，所以只需判断a3＋b3－ab2－a2b的符号．
a3＋b3－ab2－a2b
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)≥0，
等号当a＝b时成立，
所以＋≥＋.
答案：＋≥＋
9．解析：由性质7可知，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a>b>0，c>d>0时，ac>bd才成立，故④错误；对于⑤，由c>d得－d>－c，从而a－d>b－c，故⑤错误．
答案：①②③④⑤
10．解析：设9x－3y＝a(x－y)＋b(4x－y)＝(a＋4b)x－(a＋b)y，
∴?
∴9x－3y＝(x－y)＋2(4x－y)，
∵－1≤4x－y≤5，∴－2≤2(4x－y)≤10，
又－4≤x－y≤－1，
∴－6≤9x－3y≤9.
学科素养升级练
1．解析：＜?＜0?ab(a－b)＞0，
A．ab＜0，a－b＜0，ab(a－b)＞0成立
B．ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立
C．ab＜0，a－b＞0，ab(a－b)＜0，不成立，
D．ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立
故选ABD.
答案：ABD
2．解析：∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)
＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，
又∵a，b，c为不全相等的实数，∴等号取不到，
∴P>Q，故选A.
答案：A
3．解析：设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，则甲用时t1＝＋，乙用时t2＝，t1－t2＝＋－＝s＝·s＝>0，
∴甲用时多．∴乙先到达教室．第2课时 不等式的证明方法
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
综合法证明不等式
1.已知c>a>b>0，求证：>.
2．已知a，b，x，y都是正数，且>，x>y，求证：>.
知识点二
反证法证明不等式
3.若x>0，y>0，且x＋y>2，求证与至少有一个小于2.
4．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
知识点三
分析法
5.求证：－1>－.
6．已知a>0，b>0，求证＋≥＋.
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．命题“△ABC中，若A>B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．aB．a≤b
C．a＝b
D．a≥b
3．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q
B．P＝Q
C．PD．由a的取值确定
4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为( )
A．①②③
B．①③②
C．②③①
D．③①②
5．(易错题))若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是( )
A．ab>0
B．b>a
C．aD．ab(a－b)<0
6．若a，b为实数，则“0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
7．如果a>b，则实数a，b应满足的条件是________．
8．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
9．(探究题)已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成________个正确的命题．
三、解答题
10．设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)使不等式＋2>1＋成立的正整数p的值可取( )
A．10
B．12
C．13
D．15
2．(学科素养—逻辑推理)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
3．若a>b>0，c.
第2课时 不等式的证明方法
必备知识基础练
1．证明：∵a>b，∴－a<－b，又c>a>b>0，
∴0∴>>0.又∵a>b>0，∴>.
2．证明：∵a，b，x，y都是正数且>，x>y，∴>，故<，则＋1<＋1，即<.∴>.
3．证明：假设与都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，
两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)．
∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾．
∴假设不成立，原命题成立．
故与至少有一个小于2.
4．证明：假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数．
5．证明：要证－1>－，
只需证＋>＋1，
即证7＋2＋5>11＋2＋1，
即证>，
∵35>11，
∴原不等式成立．
6．证明：要证＋≥＋，
只需证≥＋，
只需证()3＋()3≥a＋b，
只需证()3＋()3－a－b≥0，
即证(－)(a－b)≥0，即(－)2(＋)≥0.
∵a>0，b>0，∴(－)2(＋)≥0显然成立．
∴原不等式成立．
关键能力综合练
1．解析：分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使结论成立的充分条件．
答案：A
2．解析：“大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选B.
答案：B
3．解析：∵P>0，Q>0，
∴要比较P，Q的大小关系，
只需比较P2，Q2的大小关系，
∵P2＝a＋a＋7＋2·
＝2a＋7＋2，
Q2＝a＋3＋a＋4＋2·
＝2a＋7＋2.
∵(a＋3)(a＋4)＝a2＋7a＋12>a2＋7a＝a(a＋7)．
∴Q2>P2.
∴P答案：C
4．解析：根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．
答案：D
5．解析：由a，但>不能推出a∴a成立的一个充分不必要条件．
答案：C
6．解析：对于00，则b>0，a<成立，如果a<0，则b<0，b>成立，因此“0”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a<或b>”成立，但条件0”的必要条件，即“0”的充分而不必要条件．故选A.
答案：A
7．解析：要使a>b成立，只需(a)2>(b)2，只需a3>b3≥0，即a，b应满足a>b≥0.
答案：a>b≥0
8．解析：∵a2－c2＝2－(8－4)＝－>0，
∴a>c，
又∵＝＝
>1，∴c>b，∴a>c>b.
答案：a>c>b
9．解析：对不等式②作等价变形：>?>0.
于是，若ab>0，bc>ad，
则>0，故①③?②.若ab>0，>0，
则bc>ad，故①②?③.
若bc>ad，>0，
则ab>0，故②③?①.因此可组成3个正确的命题．
答案：3
10．证明：当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，
即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，不等式成立．
学科素养升级练
1．解析：由＋2>1＋，得<＋2－1，
即p<(＋2－1)2，所以p<12＋4－4－2，
由于12＋4－4－2≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.故选AB.
答案：AB
2．解析：因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手．
答案：丙
3．证明：∵c－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
则(a－c)2>(b－d)2>0，
即<.
又e<0，∴>.