第2课时 均值不等式的综合应用
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
用均值不等式求最值
1.已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )
A.
B.
C.
D.
2．已知x>0，y>0，且＋＝1，则3x＋4y的最小值是________．
3．已知x，y均为正实数，且满足＋＝1，则xy的最大值为________.
知识点二
均值不等式的实际应用
4.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处
B．4千米处
C．3千米处
D．2千米处
5．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．已知y＝x＋－2(x＜0)，则y有( )
A．最大值为0
B．最小值为0
C．最大值为－4
D．最小值为－4
2．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是( )
A．18
B．16
C．8
D．10
3．函数y＝的最大值为( )
A.
B.
C.
D．1
4．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )
A．200件
B．5
000件
C．2
500件
D．1
000件
5．已知p>0，q>0，p＋q＝1，且x＝p＋，y＝q＋，则x＋y的最小值为( )
A．6
B．5
C．4
D．3
6．已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值是( )
A．3＋2
B．3－2
C．6－4
D．6＋4
二、填空题
7．当x＜时，函数y＝4x－2＋的最大值为________________________________________________________________________．
8．(易错题)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则＋的最小值为________．
9．建造一个容积为8
m3，深为2
m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
三、解答题
10．(探究题)若对任意x＞0，≤a恒成立，求a的取值范围．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )
A．ab有最大值
B.＋有最小值
C.＋有最小值4
D．a2＋b2有最小值
2．已知正实数x，y满足4x2＋y2＝1＋2xy，则当x＝________时，＋＋的最小值是________．
3．(命题情境—生活情境)某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？
第2课时 均值不等式的综合应用
必备知识基础练
1．解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×2＝×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．
答案：B
2．解析：因为x>0，y>0，＋＝1，
所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝13＋＋≥13＋3×2＝25(当且仅当x＝2y＝5时取等号)，
所以(3x＋4y)min＝25.
答案：25
3．解析：xy＝12×≤12×2
＝12×2＝3，
当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时，等号成立，
所以xy的最大值为3.
答案：3
4．解析：设仓库与车站的距离为d，
则y1＝，y2＝k2d，由题意知2＝，8＝10k2，
∴k1＝20，k2＝，
∴y1＋y2＝＋≥2＝8，
当且仅当＝，即d＝5时，等号成立，故选A.
答案：A
5．解析：(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则
y＝50n－98－
＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，
∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为
＝－2≤－2＝12，
当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．
所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．
关键能力综合练
1．解析：∵x＜0，∴－x＞0.
∴x＋－2＝－－2
≤－2－2＝－4.
当且仅当－x＝－，即x＝－1时取等号．故选C.
答案：C
2．解析：x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝4y时，等号成立．
答案：A
3．解析：令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴y＝＝.
当t＝0时，y＝0；
当t＞0时，y＝＝.
∵t＋≥2，∴0＜≤，当且仅当t＝1时，等号成立．
∴y的最大值为.
答案：B
4．解析：设进货n次，则每次的进货量为，一年的运费和租金为y元．
根据题意得y＝100n＋≥2
000，当且仅当n＝10时取等号，此时每次进货量应为1
000件．故选D.
答案：D
5．解析：由p＋q＝1，∴x＋y＝p＋＋q＋＝1＋＋＝1＋(p＋q)
＝1＋2＋＋≥3＋2＝5，
当且仅当＝即p＝q＝时取等号，
所以B选项是正确的．
答案：B
6．解析：＋＋＝(a＋2b＋c)＝4＋＋＋＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝6＋4，
当且仅当＝，＝，＝时，等号成立，
即a2＝c2＝2b2时，等号成立．
答案：D
7．解析：∵x＜，∴4x－5＜0，
∴y＝4x－5＋＋3＝－＋3
≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
答案：1
8．易错分析：易错解为＋＝(x＋2y)≥2·2＝4.在求解过程中使用了两次均值不等式：x＋2y≥2，＋≥2，但这两次取“＝”分别需满足x＝2y与x＝y，自相矛盾，所以“＝”取不到．
解析：∵x＋2y＝1，x＞0，y＞0，
∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2，.
由解得
∴当且仅当x＝－1，y＝1－时，＋有最小值，为3＋2.
答案：3＋2
9．解析：设水池池底的一边长为x
m，则其邻边长为
m，则总造价为：
y＝120×4＋80××2＝480＋320≥480＋320×2＝1
760.
当且仅当x＝即x＝2时，y取最小值1760.
所以水池的最低总造价为1
760元．
答案：1
760
10．解析：设y＝＝，
∵x＞0，∴x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立．
∴y≤，即ymax＝.∴a≥.
学科素养升级练
1．解析：∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1；∴1＝a＋b≥2；∴ab≤；
∴ab有最大值，∴选项A正确；
(＋)2＝a＋b＋2≤2，
∴＋的最小值不是，∴B错误；
＋＝＝≥4，∴＋有最小值4，∴C正确；
a2＋b2≥2ab,2ab≤，∴a2＋b2的最小值不是，∴D错误．
故选：AC.
答案：AC
2．解析：依题意，1＋2xy＝4x2＋y2≥4xy，即xy≤，当且仅当“x＝＝”时取等号，
∴＋＋≥2＋＝＋2＝2－2≥(＋)2－2＝6，当且仅当“x＝＝”时取等号，故答案为：，6.
答案： 6
3．解析：设2021年该产品利润为y，
由题意，可知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)
＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝－＋29，
∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．第1课时 均值不等式
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
利用均值不等式比较大小
1.下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C.≥
D．x2＋≥2
2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )
A．a＜b＜＜
B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜
D.＜a＜＜b
3．某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )
A．x＝
B．x≤
C．x>
D．x≥
知识点二
利用均值不等式证明不等式
4.已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋.
5．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：≥8.
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．对x∈R且x≠0都成立的不等式是( )
A．x＋≥2
B．x＋≤－2
C.≥
D.≥2
2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2＋b2＞2ab
B．a＋b≥2
C.＋＞
D.＋≥2
3．若0
A.
B．a2＋b2
C．2ab
D．a
4．若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
5．若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的一个是( )
A．a2＋b2
B．2
C．2ab
D．a＋b
6．(探究题)若a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a－b＞－
B.＜
C.>
D.＞
二、填空题
7．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
8．设a，b为非零实数，给出下列不等式：
①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2.其中恒成立的是________．(填序号)
9．(易错题)不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________．
三、解答题
10．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋＞a＋b＋c.
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋1＞a
B．a2＋9＞6a
C．(a＋b)(＋)≥4
D．(a＋)(b＋)≥4
2．已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值等于________；＋的最小值等于________．
3．(1)已知m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值；
(2)已知x>3，求y＝x＋的最小值．
第1课时 均值不等式
必备知识基础练
1．解析：若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则＜，故C错误；由均值不等式可知D正确．
答案：D
2．解析：解法一 ∵0＜a＜b，∴a＜＜b，排除A，C.又－a＝(－)＞0，即＞a，排除D，故选B.
解法二 取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.故选B.
答案：B
3．解析：第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，
第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)．
若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.
依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∵a>0，b>0，x>0，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2，
∴1＋x≤＝1＋，∴x≤.
答案：B
4．证明：∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.
∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，
即a＋b＋c≥＋＋.
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a＋b＋c>＋＋.
5．证明：∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
关键能力综合练
1．解析：因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋＝－≤－2，所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D.
答案：D
2．解析：根据条件，当a，b均小于0时，B，C不成立；当a＝b时，A不成立；因为ab＞0，所以＋≥2＝2，故D成立．
答案：D
3．解析：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.
∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，
∵0答案：B
4．解析：当a>0，b>0时，a＋b≥2，则当a＋b≤4时有2≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立．
当a＝1，b＝4时满足ab≤4，但此时a＋b＝5>4，必要性不成立，综上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．
答案：A
5．解析：∵0＜a＜1,0＜b＜1，a≠b.
∴a＋b＞2，a2＋b2＞2ab.
∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．
而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)．
又∵0＜a＜1,0＜b＜1，∴a(a－1)＜0，b(b－1)＜0，
∴a2＋b2－(a＋b)＜0，即a2＋b2＜a＋b，
∴a＋b最大，故选D.
答案：D
6．解析：逐一考查所给的选项：
当a＝2，b＝时，a－b＝，－＝，不满足a－b＞－，A错误；当c＝0时，＝＝0，不满足＜，B错误；当a＝2，b＝1时，＝，＝2，不满足＞，D错误；若a＞b＞0，则a＋b>2，即a＋b>，整理可得>，C正确．故选C.
答案：C
7．解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，
∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立．
答案：≤
8．解析：由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；
＝＝≥＝＝2，可知②正确；
当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；
当a＝1，b＝－1时，可知④不正确．
答案：①②
9．解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0时“＝”成立，此时a＝1.
答案：a＝1
10．证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋≥2＝2c，＋≥2＝2a，
＋≥2＝2b.
∴2≥2(a＋b＋c)
即＋＋≥a＋b＋c
又a，b，c不全相等，
故上述等号至少有一个不成立．
∴＋＋＞a＋b＋c.
学科素养升级练
1．解析：设a＞0，b＞0，a2＋1－a＝(a－)2＋＞0，A成立；a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立；(a＋b)(＋)≥(1＋1)2＝4，故C成立；a＋≥2，b＋≥2，故D成立．
故选ACD.
答案：ACD
2．解析：因为正数x，y满足x＋y＝1，
则＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋4＝9，
当且仅当＝且x＋y＝1即x＝，y＝时取等号，此时取得最小值9，
＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当＝且x＋y＝1即x＝y＝时取等号，此时取得最小值3.
故答案为：9,3.
答案：9 3
3．解析：(1)∵m，n>0且m＋n＝16，
∴由均值不等式可得mn≤2＝2＝64，
当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.
∴mn的最大值为32.
(2)∵x>3，∴x－3>0，>0，
于是y＝x＋＝x－3＋＋3
≥2＋3＝7，
当且仅当x－3＝，即x＝5时，y取到最小值7.