第1课时 函数的单调性的定义与证明
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
函数单调性的判断与证明
1.函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意不等实数x1，x2均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则函数f(x)在(a，b)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．不增不减函数
D．既增又减函数
2．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为( )
A．f(x1)＜f(x2)
B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．不能确定
3．用函数单调性的定义证明：
(1)函数f(x)＝－2x2＋3x＋3在上是增函数；
(2)函数f(x)＝在(－3，＋∞)上是减函数．
知识点二
求函数的单调区间
4．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则该函数的减区间为( )
A．(－3,1)∪(1,4)
B．(－5，－3)∪(－1,1)
C．(－3，－1)，(1,4)
D．(－5，－3)，(－1,1)
5．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的单调递减区间是( )
A.
B．[－1，＋∞)
C.
D．(－∞，＋∞)
6．函数y＝的单调递减区间是________.
知识点三
函数单调性的应用
7.若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)8．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
9．若函数f(x)＝4x2＋mx＋5－m在[－2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围为________.
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x|
B．y＝3－x
C．y＝
D．y＝－x2＋4
2．下列说法中，正确的有( )
①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，＜0，则y＝f(x)在I上是减函数；
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2
B．－2
C．2或－2
D．0
4．当y＝x2＋bx＋c，x∈(－∞，1)是单调函数时，b的取值范围是( )
A．[－2，＋∞)
B．(－∞，－2]
C．(－2，＋∞)
D．(－∞，－2)
5．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－1,1)
C．(0,1)
D．(0,1]
6．(易错题)已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.∪
二、填空题
7．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是________，单调递增区间是________．
8．已知函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是________．
9．若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)三、解答题
10．(探究题)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－1)
B．(－3，－1)
C．(0,1)
D．(1,3)
2．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－2，＋∞)
3．(学科素养—数学抽象)函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)＞1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3.
第1课时 函数的单调性的定义与证明
必备知识基础练
1．解析：∵(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?
或
即当x1f(x2)或当x1>x2时，
f(x1)答案：B
2．解析：由函数单调性的定义，知所取两个自变量的值必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．故选D.
答案：D
3．证明：(1)设x1，x2是上的任意两个实数，且x10，f(x2)－f(x1)＝(－2x＋3x2＋3)－(－2x＋3x1＋3)＝2x－2x＋3x2－3x1＝2(x1＋x2)(x1－x2)－3(x1－x2)＝[2(x1＋x2)－3]·(x1－x2)．因为x1由x1，x2∈，得x1<，x2≤，
则x1＋x2<，所以2(x1＋x2)<3，
则2(x1＋x2)－3<0，所以f(x2)>f(x1)，
所以函数f(x)＝－2x2＋3x＋3在上是增函数．
(2)设x1，x2是(－3，＋∞)上的任意两个实数，且x10，
f(x2)－f(x1)＝－＝.
因为x2－x1>0，所以－(x2－x1)<0，
由x1，x2∈(－3，＋∞)，得x1>－3，x2>－3，
即x1＋3>0，x2＋3>0，所以f(x2)所以f(x)＝在(－3，＋∞)上是减函数．
4．解析：在某个区间上，若函数y＝f(x)的图像从左到右是上升的，则该区间为增区间，若从左到右是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．
答案：C
5．解析：y＝x2＋x＋1＝2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－时单调递减．
答案：C
6.
解析：解法一 y＝的图像可由y＝的图像向右平移一个单位得到，如图，所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
解法二 函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
7．解析：∵f(x)在(－∞，＋∞)为减函数，且a2＋1>a2，∴f(a2＋1)答案：D
8．解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.
答案：C
9．解析：由题意可知，二次函数图像的对称轴是直线x＝－，若函数f(x)在[－2，＋∞)上是增函数，则需满足－≤－2，即m≥16.
答案：[16，＋∞)
关键能力综合练
1．解析：B项在R上为减函数；C项在(－∞，0)上和(0，＋∞)上为减函数；D项在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数；A项在(0，＋∞)上为增函数．故选A.
答案：A
2．解析：①若任意x1，x2∈I，当x1答案：B
3．解析：当a＝0时，不满足题意；当a>0时，y＝ax＋1在[1,2]上为增函数，所以2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，y＝ax＋1在[1,2]上为减函数，所以a＋1－(2a＋1)＝2，解得a＝－2，故a＝±2.
答案：C
4．解析：由y＝x2＋bx＋c可知，二次函数的对称轴为
x＝－，要使函数y＝x2＋bx＋c在(－∞，1)上是单调函数，则－≥1，所以b≤－2.故选B.
答案：B
5．解析：由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，得a≤1.由函数g(x)＝在[1,2]上是减函数，得a>0，故a的取值范围为(0,1]．
答案：D
6．解析：要使f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件：
①g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上为减函数；
②h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上为减函数；
③g(1)≥h(1)．
所以
所以≤a＜.
答案：C
7．解析：当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)．单调递增区间为(1，＋∞)
答案：(－∞，1) (1，＋∞)
8．解析：当x∈R时，f(x)＝|x＋a|＝
∴f(x)的递减区间为(－∞，－a]．
由题意，(－∞，1]?(－∞，－a]，
∴－a≥1，即a≤－1.
答案：a≤－1
9．解析：因为y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
f(1－a)，
所以所求a的取值范围是.
答案：
10．解析：(1)由x2－1≠0，得x≠±1，
所以函数f(x)＝的定义域为{x∈R|x≠±1}．
(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x2>x1>1，所以x－1>0，x－1>0，x2－x1>0，x2＋x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
学科素养升级练
1．解析：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，对称轴为直线x＝1，开口向下，所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3，所以－3又f(|x|)＝－x2＋2|x|＋1＝且y＝－x2－2x＋1图像的对称轴为直线x＝－1，所以由二次函数的图像与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是(－3，－1)和(0,1)．
故选BC.
答案：BC
2．解析：画出f(x)的图像(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a)?4－a>a，解得a<2.
答案：A
3．解析：(1)证明：设x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0，f(x2－x1)＞1.
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1>0.
∴f(x2)>f(x1)．故f(x)在R上是增函数．
(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
∴原不等式可化为f(3m－2)∵f(x)在R上是增函数，∴3m－2<2，解得m＜.
故不等式的解集为.第2课时 函数的平均变化率与最值
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
函数的平均变化率
1.函数f(x)＝1－x2在区间[0,2]上的平均变化率为( )
A．－3
B．－4
C．2
D．－2
2．函数：①f(x)＝x2，②f(x)＝，③f(x)＝|x|，④f(x)＝2x＋1中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0的是________．
3．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状可以是( )
知识点二
求函数的最值
4．函数f(x)的图像如图，则f(x)在[－2,2]上的最大、最小值分别为( )
A．f，f
B．f(0)，f
C．f(0)，f
D．f(0)，f(－1)
5．函数y＝x＋( )
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，有最大值2
D．无最大值，也无最小值
6．判断函数f(x)＝在区间[2,6]上的单调性，并求函数在该区间上的最值．
7．已知函数f(x)＝x2－2x－1，x∈A，当A为下列区间时，分别求f(x)的最大值和最小值．
(1)A＝[－2,0]；
(2)A＝[－1,2]；
(3)A＝[2,3]．
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x2＋4图像上的两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为( )
A．2
B．2.3
C．2.09
D．2.1
2．函数f(x)＝2－在区间[1,3]上的最大值是( )
A．2
B．3
C．－1
D．1
3．函数f(x)＝的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
4．函数f(x)＝的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
6．(探究题)如图，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C，D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分的面积为f(t)，则函数S＝f(t)的图像大致是( )
二、填空题
7．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为______．
8．函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间[－2,6]上单调递增，且f(－4)9．(易错题)已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，且函数f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________________．
三、解答题
10．判断函数f(x)＝在区间[2,4]上的单调性，并求这个函数在该区间上的最值．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)已知函数f(x)，?x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)成立，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，<0，(x1≠x2)，以下结论中正确的是( )
A．f(0)>f(－3)
B．?x∈R，f(x)≤f(－1)
C．f(a2－a＋1)≥f
D．若f(m)2．已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况是( )
A．最大值为3，最小值为－1
B．最小值为－1，无最大值
C．最大值为3，无最小值
D．既无最大值，又无最小值
3．(学科素养—数学抽象)设函数f(x)＝x2－2x＋2(其中x∈[t，t＋1]，t∈R)的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
第2课时 函数的平均变化率与最值
必备知识基础练
1．解析：函数f(x)＝1－x2在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝－2.
答案：D
2．解析：显然只有②在(0，＋∞)上单调递减，①③④在(0，＋∞)上单调递增．由平均变化率和单调性的关系可知填②.
答案：②
3．解析：由函数图像可知，固定的Δh内，随着h的增大，ΔV逐渐减少，由此可以判断水瓶的下半部分体积大，上半部分体积小．故选B.
答案：B
4．解析：由最大(小)值的几何意义及定义可知f(0)为最大值，f为最小值．
答案：C
5．解析：设y1＝x，y2＝，则y＝y1＋y2，
∵y1＝x在R上为增函数，y2＝在上为增函数，∴y＝x＋在上为增函数，∴y有最小值，无最大值．
答案：A
6．解析：设x1≠x2，则
＝＝
＝.
当x1，x2∈[2,6]时，有x2－1>0，x1－1>0，
从而<0，因此f(x)在区间[2,6]上是减函数．
由函数的单调性可知，函数f(x)＝在区间[2,6]上的两个端点处分别取得最大值和最小值，即当x＝2时取得最大值，最大值是2，当x＝6时取得最小值，最小值是.
7．解析：(1)当A＝[－2,0]时，函数f(x)在[－2,0]上为减函数，
∴f(x)max＝f(－2)＝7，f(x)min＝f(0)＝－1.
(2)当A＝[－1,2]时，函数f(x)在[－1,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．
∴f(x)min＝f(1)＝－2，f(x)max＝max{f(－1)，f(2)}＝f(－1)＝2.
(3)当A＝[2,3]时，f(x)在[2,3]上是增函数，
∴f(x)max＝f(3)＝2，f(x)min＝f(2)＝－1.
关键能力综合练
1．解析：∵f(1)＝5，f(1.3)＝5.69，∴kAB＝＝＝2.3，故选B.
答案：B
2．解析：函数f(x)＝2－在[1,3]上单调递增，
∴f(x)的最大值为f(3)＝2－＝2－1＝1.
故选D.
答案：D
3．解析：因为1－x(1－x)＝x2－x＋1＝2＋≥，所以0<≤.故f(x)的最大值为.
答案：C
4．解析：当x≥1时，f(x)≤f(1)＝1，当x<1时，f(x)≤f(0)＝2，所以函数f(x)的最大值为2.故选B.
答案：B
5．解析：因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图像的对称轴为x＝2.又因为函数图像开口向下，所以f(x)在[0,1]上单调递增．又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
答案：C
6．解析：判断S＝f(t)的图像，可用观察法，直线l在运动到B点之前，左侧面积增大的速度越来越快，而过了B点之后，左侧面积增大的速度越来越慢，而速度的快、慢反映在图像上是陡、缓．故选C.
答案：C
7．解析：由函数平均变化率的定义可得，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率＝＝＝－1.
答案：－1
8．解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知最小值为f(－2)，最大值为f(6)．
答案：f(－2) f(6)
9．解析：∵函数f(x)＝x2－6x＋8的图像的对称轴为直线x＝3，且在区间[1，a]上，f(x)min＝f(a)，∴a≤3.又a＞1，∴1＜a≤3.
答案：(1,3]
10．解析：设x1≠x2，则＝
＝＝.
∵x1，x2∈[2,4]，∴x1＋2>0，x2＋2>0.
∴>0，∴函数f(x)＝在区间[2,4]上是增函数．故该函数在区间[2,4]上的最大值为f(4)＝，最小值为f(2)＝.
学科素养升级练
1．解析：根据题意，函数f(x)，?x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)成立，则函数f(x)的图像关于直线x＝－1对称，又由任取x1，x2∈[－1，＋∞)，<0，(x1≠x2)，则f(x)在区间[－1，＋∞)上为减函数，则f(x)在(－∞，－1]上为增函数；
据此分析选项：
对于A，f(－3)＝f(1)，则有f(0)>f(1)＝f(－3)，A正确；
对于B，f(x)在区间[－1，＋∞)上为减函数，在(－∞，－1]上为增函数，故f(x)在x＝－1时，取得最大值，即有?x∈R，f(x)≤f(－1)，B正确；
对于C，f(x)在区间[－1，＋∞)上为减函数，又由a2－a＋1＝2＋≥，则f(a2－a＋1)≤f，C错误；
对于D，若f(m)3，解可得：
m<－4或m>2，D错误；
故选AB.
答案：AB
2．解析：由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；
由f(x)3，
所以F(x)＝
作出函数F(x)的图像(图略)，可得F(x)无最大值，无最小值．
答案：D
3．解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，其对称轴为直线x＝1.
①当t＋1≤1，即t≤0时，由图(1)知，[t，t＋1]为函数的减区间，所以g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
②当t≤1③当t>1时，由图(3)知，[t，t＋1]为函数的增区间，所以g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
综上，g(t)＝
