第2课时 函数奇偶性的应用
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
利用奇偶性求函数解析式
1.设函数f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，那么当x∈(－∞，0]时，f(x)等于( )
A．－x(1＋)
B．x(1＋)
C．－x(1－)
D．x(1－)
2．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
知识点二
函数奇偶性与单调性
3.若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有( )
A．最小值6
B．最小值－6
C．最大值－6
D．最大值6
4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A.
B.
C.
D.
5．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则下列关系式中，正确的是( )
A．f(5)>f(－5)
B．f(4)>f(3)
C．f(－2)>f(2)
D．f(－8)＝f(8)
6．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1
B．y＝－x2
C．y＝－
D．y＝3x
2．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是( )
A．f(x)－f(－x)＞0
B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0
D．f(x)·f(－x)＞0
3．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．[1，＋∞)
4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是( )
A．y＝x(x－2)
B．y＝x(|x|＋2)
C．y＝|x|(x－2)
D．y＝x(|x|－2)
5．f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是( )
A．a<1
B．a<3
C．a>1
D．a>3
6．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．fB．f(－1)C．f(2)D．f(2)二、填空题
7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
8．如果定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(0，＋∞)内是减函数，又有f(3)＝0，则x·f(x)<0的解集为________．
9．(探究题)已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝－，则函数f(x)的解析式f(x)＝________.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝ax＋＋c(a，b，c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝，f(2)＝.
(1)求a，b，c的值；
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性并证明．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小值为－4
B．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增
C．函数f(|x|)为偶函数
D．若方程f(|x－1|)＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝4
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)3．(学科素养—数学抽象)(1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围．
(2)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)第2课时 函数奇偶性的应用
必备知识基础练
1．解析：当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝－x(1＋)＝－x(1－)．
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－)，又f(0)＝0，
∴x∈(－∞，0]时，f(x)＝x(1－)．故选D.
答案：D
2．解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，
∴f(x)＝－x＋1.
答案：－x＋1
3．解析：因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可设a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.
答案：C
4．解析：由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)答案：A
5．解析：∵f(x)为奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数，
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，又－2<2，∴f(－2)>f(2)，故选C.
答案：C
6．解析：∵f(2)＝0，f(x－1)＞0，∴f(x－1)＞f(2)．
又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(|x－1|)＞f(2)，
∴|x－1|＜2，∴－2＜x－1＜2，∴－1＜x＜3，
∴x∈(－1,3)．
答案：(－1,3)
关键能力综合练
1．解析：A中，由函数y＝x＋1的图像知该函数不是奇函数．B中，函数y＝－x2是偶函数．C中，函数y＝－在其定义域内没有单调性．D中，函数y＝3x是奇函数，且在其定义域内是增函数，符合题意．故选D.
答案：D
2．解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0.
答案：C
3．解析：因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
答案：A
4．解析：由x≥0时，f(x)＝x2－2x，f(x)是定义在R上的奇函数得，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．
∴f(x)＝即f(x)＝x(|x|－2)．
答案：D
5．解析：∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)．
又f(x)在R上单调递减，
∴2－a>a－4，得a<3.
答案：B
6．解析：因为f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又－2<－<－1，且函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，所以f(－2)答案：D
7．解析：由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，
∴f(－2)＋f(0)＝－5.
答案：－5
8.
解析：由题意可画出函数f(x)的草图．当x>0时，f(x)<0，所以x>3；当x<0时，f(x)>0，所以x<－3.综上x>3或x<－3.
答案：{x|x<－3或x>3}
9．解析：f(x)的定义域为∪，若f(x)是奇函数，则＝0，得q＝0.故f(x)＝，又f(2)＝－，得＝－，得p＝2，因此f(x)＝＝－.
答案：－
10．解析：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－ax－＋c＝－ax－－c，
∴c＝0，∴f(x)＝ax＋.
又∵f(1)＝，f(2)＝，
∴
∴a＝2，b＝.
综上，a＝2，b＝，c＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝2x＋.
函数f(x)在区间上为减函数．
证明如下：
任取0则f(x1)－f(x2)＝2x1＋－2x2－
＝(x1－x2)
＝(x1－x2).
∵0∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.
∴f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在上为减函数．
学科素养升级练
1．解析：二次函数f(x)在对称轴x＝1处取得最小值，且最小值f(1)＝－4，故选项A正确；二次函数f(x)的对称轴为x＝1，其在(0，＋∞)上有增有减，故选项B错误；由f(x)得，f(|x|)＝|x|2－2|x|－3，显然f(|x|)为偶函数，故选项C正确；令h(x)＝f(|x－1|)＝|x－1|2－2|x－1|－3，方程f(|x－1|)＝a的零点转化为y＝h(x)与y＝a
的交点，作出h(x)图像如下图所示：图像关于x＝1对称，当y＝h(x)与y＝a有四个交点时，两两分别关于x＝1对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4，故选项D正确．故选ACD.
答案：ACD
2．解析：由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图像关于直线x＝1对称，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取到最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以f(0)答案：1 (0,2)
3．解析：(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1,1]上单调递减，
∴解得
∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)．
(2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于解得－1≤m<.
∴实数m的取值范围是.第1课时 函数的奇偶性
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
函数奇偶性的判断
1.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
知识点二
奇偶函数的图像
2.函数f(x)＝＋x3的图像( )
A．关于y轴对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝－x对称
3．已知函数y＝f(x)是偶函数，且图像与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4
B．2
C．1
D．0
4．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图，则不等式f(x)<0的解集是________．
知识点三
利用函数的奇偶性求值
5.若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
6．已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx.若f(2)＝－3，则m的值为________．
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．下列函数中奇函数的个数为( )
①f(x)＝x3；②f(x)＝x5；③f(x)＝x＋；④f(x)＝.
A．1
B．2
C．3
D．4
2．函数f(x)＝－x的图像关于( )
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
3．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－2，若f(－3)＝10，则f(3)＝( )
A．－8
B．18
C．10
D．－14
4．若f(x)＝a－是定义在R上的奇函数，则a的值为( )
A．0
B．－1
C．1
D．2
5．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx( )
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
6．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝则f[f(－2)]的值为( )
A．1
B．3
C．－2
D．－3
二、填空题
7．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
8．函数f(x)＝的定义域为______，为________函数(填“奇”或“偶”)．
9．(探究题)若函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，则f(x)＋g(x)＝________.
三、解答题
10．用定义判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝－3x2＋1；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，下列结论正确的是( )
A．函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称
B．f(4)＝0
C．f(x＋8)＝f(x)
D．若f(－5)＝－1，则f(2
019)＝－1
2．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
3．(学科素养—数学抽象)(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数；
(2)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
第1课时 函数的奇偶性
必备知识基础练
1．解析：(1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝是非奇非偶函数．
(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．
f(－x)＝＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
2．解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－x3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图像关于原点对称．
答案：C
3．解析：因为f(x)是偶函数，且图像与x轴四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.选D.
答案：D
4．解析：由奇函数的性质知，其图像关于原点对称，则f(x)在定义域[－5,5]上的图像如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2答案：{x|－25．解析：∵函数f(x)在[a－1,2a]上是偶函数，
∴a－1＋2a＝0，得a＝.
又f(－x)＝f(x)，即x2－bx＋1＋b＝x2＋bx＋1＋b
对x∈均成立，
∴b＝0.
答案： 0
6．解析：∵f(－2)＝－f(2)＝3，∴f(－2)＝(－2)2－2m＝3，
∴m＝.
答案：
关键能力综合练
1．答案：C
2．解析：∵f(－x)＝－＋x＝－f(x)，∴f(x)＝－x是奇函数，所以f(x)的图像关于原点对称，故选C.
答案：C
3．解析：由f(x)＝x5＋ax3＋bx－2，
得f(x)＋2＝x5＋ax3＋bx.
令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋2，
∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)
＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，
∴G(x)是奇函数．∴G(－3)＝－G(3)，
即f(－3)＋2＝－f(3)－2，又f(－3)＝10，
∴f(3)＝－f(－3)－4＝－10－4＝－14.
答案：D
4．解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0即f(0)＝a－＝0，∴a＝1.
答案：C
5．解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，∴b＝0，
∴g(x)＝ax3＋cx，∴g(－x)＝－g(x)，∴g(x)是奇函数，故选A.
答案：A
6．解析：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝2－2＝0，f(0)＝0＋1＝1.∴f[f(－2)]＝f(0)＝1.故选A.
答案：A
7．解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.
答案：5
8．解析：依题意有
解得－2≤x≤2且x≠0，
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
∵f(x)＝＝＝－，定义域关于原点对称，
∴f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
答案：[－2,0)∪(0,2] 奇
9．解析：∵f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，
∴f(－x)－g(－x)＝x2－3x＋2，
又函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，
∴－f(x)－g(x)＝x2－3x＋2，
∴f(x)＋g(x)＝－x2＋3x－2.
答案：－x2＋3x－2
10．解析：(1)f(x)＝的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．
(2)f(x)＝－3x2＋1的定义域是R，f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)f(x)＝的定义域是[－1,0)∪(0,1]，
所以f(x)的解析式可化简为f(x)＝，满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(4)函数的定义域为R.
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；
当x＝0时，f(－x)＝f(x)＝1；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝f(x)．
综上，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
学科素养升级练
1．解析：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
又由函数f(x＋2)为偶函数，则函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，则有f(－x)＝f(4＋x)，
则有f(x＋4)＝－f(x)，即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数；
据此分析选项：
对于A，函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，A错误；
对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，又由函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，则f(4)＝0，B正确
对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)＝f(x)，C正确；
对于D，若f(－5)＝－1，则f(2
019)＝f(－5＋2
024)＝f(－5＋8×253)＝f(－5)＝－1，D正确；
故选BCD.
答案：BCD
2．解析：根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
答案：
3．证明：(1)令x1＝0，x2＝x，得
f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)．①
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)·f(x)．②
由①②，得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)．
可见，f(－x)的定义域也是(－l，l)．
设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，
则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的．
∵F(－x)＝f(－x)＋f[－(－x)]＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，
∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
