第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
二分法的概念
1.下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
2．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]上的零点时，需要的条件是( )
①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)f(b)<0；③f(a)f(b)>0；④f(a)f(b)≥0.
A．①③
B．①②
C．①④
D．②
3．已知函数f(x)的图像如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求近似解的零点的个数分别为( )
A．4,4
B．3,4
C．5,4
D．4,3
知识点二
判断函数零点所在的区间
4.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
f(x)
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4)
B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2)
D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
5．若a
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
6．已知，函数f(x)，g(x)的图像在[－1,3]上都是连续不断的．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是( )
x
－1
0
1
2
3
f(x)
－0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g(x)
－0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
A.(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
知识点三
用二分法求函数零点的近似值
7.用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
8．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A．(0,0.5)，f(0.125)
B．(0.5,1)，f(0.875)
C．(0.5,1)，f(0.75)
D．(0,0.5)，f(0.25)
9．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437
5)
＝0.162
f(1.406
25)
＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________．
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2
019)<0，f(2
020)<0，f(2
021)>0，则下列叙述正确的是( )
A．函数f(x)在(2
019,2
020)内可能存在零点
B．函数f(x)在(2
020,2
021)内不存在零点
C．函数f(x)在(2
020,2
021)内存在零点，并且仅有一个
D．函数f(x)在(2
019,2
020)内不存在零点
2．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必定属于( )
A．[－2,1]
B．[1,1.75]
C．[1.75,2.5]
D．[2.5,4]
3．对于函数f(x)＝x2＋c，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( )
A．可能有两个零点
B．一定没有零点
C.
一定有零点
D．至多有一个零点
4．已知连续函数f(x)的部分对应值如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
14
8
－2
2
7
3
－2
－1
8
则函数f(x)在区间[1,9]上的零点至少有( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
5．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.9
B．0.7
C．0.5
D．0.4
6．(易错题)已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间内一定有零点
B．函数f(x)在区间或内有零点
C．函数f(x)在内无零点
D．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是
二、填空题
7．已知函数f(x)＝mx2＋2x－1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是________．
8．定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x>0时，y＝f(x)是单调递增的，且f(1)f(2)<0，则函数f(x)的零点个数是________．
9．已知图像连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________________________________________________________________________．
三、解答题
10．(探究题)已知函数f(x)＝|x2－2x|－a，
(1)若函数f(x)没有零点，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)有三个零点，求实数a的取值范围；
(4)若函数f(x)有四个零点，求实数a的取值范围．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是( )
A．a<1
B．若x1x2≠0，则＋＝
C．f(－1)＝f(3)
D．函数有y＝f(|x|)四个零点
2．(学科素养—数学抽象)若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是________．
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；
②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；
③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；
④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．
3．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
必备知识基础练
1．解析：按定义，f(x)在区间[a，b]上是不间断的，且f(a)f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图像可得B，C，D满足条件，而A不满足，在A中，函数图像经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.
答案：A
2．解析：
由二分法的定义知①②正确．故选B.
答案：B
3．解析：由图像知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点近似解，而其余3个均可使用二分法求零点近似解．
答案：D
4．解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根．
答案：A
5．解析：∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
答案：A
6．解析：令F(x)＝f(x)－g(x)，
因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)
＝－0.677－(－0.530)＝－0.147<0，
F(0)＝f(0)－g(0)＝3.011－3.451＝－0.44<0，
F(1)＝f(1)－g(1)＝5.432－4.890＝0.542>0，
F(2)＝f(2)－g(2)＝5.980－5.241＝0.739>0，
F(3)＝f(3)－g(3)＝7.651－6.892＝0.759>0，
于是有F(0)·F(1)<0.所以F(x)在(0,1)内有零点，即f(x)＝g(x)在(0,1)内有实数解．故选B.
答案：B
7．解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．
答案：B
8．解析：∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0，
∴f(0)·f(0.5)<0，
∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，
第二次应计算的函数值应为f(0.25)，故选D.
答案：D
9．解析：根据题意知函数的零点在区间[1.375,1.5]内时，|1.5－1.375|＝0.125<2×0.1，故方程的一个近似根为1.437
5.
答案：1.437
5
关键能力综合练
1．解析：由题意得，f(x)在(2
019,2
020)内可能存在零点，在(2
020，2
021)内至少存在一个变号零点．
答案：A
2．解析：∵f(－2)＝－28<0，f(4)＝38>0，
f(1)＝－4<0，f(2.5)＝4.625>0，
f(1.75)＝－1.515
625<0.
∴f(x)在[－2,4]上的零点必定属于[1.75,2.5]．故选C.
答案：C
3．解析：利用特殖值法和数形结合的思想验证．如：①令c＝1，则f(x)＝x2＋1，f(2)＝f(－2)＝5>0，在(－2,2)内无零点；②令c＝0，则f(x)＝x2，f(2)＝f(－2)＝4>0，在(－2,2)内有一个零点；③令c＝－1，则f(x)＝x2－1，f(2)＝f(－2)＝3>0，在(－2,2)内有两个零点．因此只有A正确．
答案：A
4．解析：∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，f(4)＝2>0，
f(6)＝3>0，f(7)＝－2<0，f(8)＝－1<0，f(9)＝8>0，
∴f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，
f(6)·f(7)<0，f(8)·f(9)<0，
∴在(2,3)，(3,4)，(6,7)，(8,9)上都至少各有一个零点，
∴至少有4个零点，故选B.
答案：B
5．解析：∵f(0.72)>0，f(0.68)<0，∴f(0.72)×f(0.68)<0，∴存在x0∈(0.68,0.72)使x0为函数的零点，而0.7∈(0.68,0.72)．故选B.
答案：B
6．解析：根据二分法，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，零点应在或内，或零点是.
答案：D
7．解析：当m＝0时，零点为x＝，满足题意．
当m≠0时，Δ＝4＋4m≥0，解得m>0或－1≤m<0，
设x1，x2是函数的两个零点，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
若m＝－1，函数只有一个零点1，满足题意；
若－1若m>0，则x1，x2一正一负，满足题意．
综上，实数m的取值范围是{－1}∪[0，＋∞)．
答案：{－1}∪[0，＋∞)
8．解析：由已知可知，存在x0∈(1,2)，使f(x0)＝0，又函数f(x)为偶函数，所以存在x0′∈(－2，－1)，使f(x0′)＝0，且x0′＝－x0.故函数f(x)的零点个数是2.
答案：2
9．解析：设等分的最少次数为n，则由<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4.所以至少等分4次即可．
答案：4
10．解析：
令|x2－2x|－a＝0，则|x2－2x|＝a，构造函数g(x)＝|x2－2x|，y＝a，作出函数g(x)＝|x2－2x|的图像，
如图所示，由图像可知：
(1)当a<0时，a≠|x2－2x|，
此时函数y＝a与y＝g(x)的图像没有交点．
即函数f(x)没有零点．
(2)当a＝0或a>1时，函数y＝a与y＝g(x)的图像有两个交点，即f(x)有两个零点．
(3)当a＝1时，函数y＝a与y＝g(x)的图像有三个交点，即f(x)有三个零点．
(4)当0学科素养升级练
1．解析：根据题意，函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，即方程x2－2x＋a＝0有两个不同的根，为x1，x2，
据此分析选项：
对于A，若方程x2－2x＋a＝0有两个不同的根，则有(－2)2－4a>0，解可得a<1，故A正确；对于B，方程x2－2x＋a＝0有两个不同的根，为x1，x2，则有x1＋x2＝2，x1x2＝a，则＋＝＝，B正确；对于C，函数f(x)＝x2－2x＋a，其对称轴为x＝1，则有f(－1)＝f(3)，故C正确；对于D，当a＝0时，y＝f(|x|)＝x2－2|x|，有3个零点，故D错误．
答案：ABC
2．解析：∵f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的．
函数的图像与x轴相交有4种可能，如图所示：
∴函数f(x)必在区间(0,4)内有零点．故选④.
答案：④
3．解析：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得
解得2≤a＜.
即a的取值范围为.
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞.
即a的取值范围为.
(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得
解得＜a＜.
即a的取值范围为.第1课时 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
求函数的零点
1.y＝x－2的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是( )
A．2,2
B．(2,0)，2
C．－2，－2
D．(－2,0)，－2
2．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－，－1
B.，1
C.，－1
D．－，1
3．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________.
知识点二
函数零点的个数问题
4.函数f(x)＝x3－x的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
5．函数f(x)＝的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
6．函数f(x)＝x－－2的零点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
知识点三
利用函数的零点求不等式的解集
7.不等式x2－4x＋3＜0的解集为( )
A．(1,3)
B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．(－3，－1)
D．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)
8．不等式6x2＋x－2≥0的解集为( )
A.
B.∪
C.
D.
9．不等式(x＋1)(x－2)(x－3)＜0的解集为________.
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．下列函数没有零点的是( )
A．f(x)＝0
B．f(x)＝x2－1
C．f(x)＝2
D．f(x)＝x－
2．下列四个函数图像，在区间(－∞，0)内，函数fi(x)(i＝1,2,3,4)中有零点的是( )
3．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2
B．－2
C．±2
D．3
4．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(1)＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为( )
A．1
B．2
C．0
D．不能确定
5．若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，则有( )
A．a<0
B．a>0
C．a<－1
D．a>1
6．(易错题)设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为( )
A．(－∞，a)∪
B．(a，＋∞)
C.∪(a，＋∞)
D.
二、填空题
7．函数f(x)＝的零点为________________________________________________________________________．
8．已知函数f(x)＝ax2－5x＋2a＋3的一个零点为0，则f(x)的单调递增区间为________．
9．(探究题)设函数f(x)＝(x>0)．
(1)若0(2)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，则m的取值范围是________．
三、解答题
10．利用函数图像求下列不等式的解集．
(1)－x2－2x＋3＞0；
(2)x3－x2－4x＋4＜0.
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)已知函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1A．x1<2且2B．x1>2且x2>5
C．x1<2且x2>5
D．x1＋x2＝7
2．已知a为常数，则函数f(x)＝|x2－9|－a－2的零点个数最多为________．
3．(学科素养—运算能力)已知关于x的函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
第1课时 函数的零点及其与对应方程、
不等式解集之间的关系必备知识基础练
1．解析：由y＝x－2，得当y＝0时，x＝2，故交点坐标为(2,0)，由函数零点的定义知，函数y＝x－2的零点是2.
答案：B
2．解析：方程2x2－3x＋1＝0的根为x1＝1，x2＝.
答案：B
3．解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，
∴即a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－，－，－，－即为函数g(x)的零点．
答案：－，－
4．解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．
答案：D
5.
解析：解法一 方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点：－2与1.
解法二 画出函数f(x)＝的图像，如图所示，观察图像可知，f(x)的图像与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
答案：C
6．解析：令f(x)＝0得x－－2＝0，设t＝(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．故＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．
答案：B
7．解析：作出函数y＝x2－4x＋3的图像(图略)，由图可知选A.
答案：A
8．解析：设f(x)＝6x2＋x－2，令6x2＋x－2＝0.得(2x－1)(3x＋2)＝0，从而x＝或x＝－.由函数f(x)的图像可知所求不等式的解集为∪.故选B.
答案：B
9．解析：函数的零点为－1,2,3.
利用数轴穿根法作出函数图像的示意图(略)，
不等式(x＋1)(x－2)(x－3)＜0的解集为(－∞，－1)∪(2,3)
答案：(－∞，－1)∪(2,3)
关键能力综合练
1．解析：对于选项C，f(x)＝2表示对任意实数x，函数值都等于2，∴不存在x使f(x)＝0，∴f(x)＝2无零点．
答案：C
2．解析：由函数图像可知，f2(x)在(－∞，0)上与x轴有交点，故f2(x)在(－∞，0)上有零点．
答案：B
3．解析：因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.
答案：C
4．解析：f(1)＝a＋b＋c＝0，又a>b>c，∴a>0，c<0，
∴Δ＝b2－4ac>0，即函数的零点有2个．
答案：B
5．解析：解法一 令f(x)＝ax2＋2x＋1(a≠0)，
∵其图像经过(0,1)点，
∴欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图像与x轴的交点一个在y轴左边，一个在y轴右边)，需满足a<0.
解法二 设方程两根为x1，x2，由题意得
∴∴a<0.
答案：A
6．解析：∵a<－1，∴a(x－a)<0?(x－a)>0.又a<－1，∴>a，由函数f(x)＝(x－a)·的图像可得所求不等式的解集为(－∞，a)∪.
答案：A
7．解析：当x≥0时，由2x－4＝0，得x＝2；当x<0时，由2x2－3x－2＝0，得x＝－或2(舍去)．故函数f(x)的零点是2，－.
答案：2，－
8．解析：由已知，得f(0)＝2a＋3＝0，∴a＝－，∴f(x)＝－x2－5x，∴f(x)的单调递增区间为.
答案：
9．解析：(1)由f(x)＝
可知f(x)在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
∵0∴－1＝1－，∴＋＝2.
(2)
由函数的图像可知，当0答案：2 (0,1)
10．解析：(1)设f(x)＝－x2－2x＋3，令f(x)＝0，
得－x2－2x＋3＝0，
即(x＋3)(x－1)＝0.
从而x＝－3或x＝1，
因此－3和1都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于(－3,0)和(1,0)，
又因为函数的图像是开口向下的抛物线，
所以可以作出函数图像示意图，如图所示，
由图可知：
不等式的解集为(－3,1)．
(2)设g(x)＝x3－x2－4x＋4＝(x3－x2)－(4x－4)
＝x2(x－1)－4(x－1)
＝(x－1)(x2－4)
＝(x－1)(x＋2)(x－2)，
所以函数零点依次为－2,1,2.
函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示．
x
(－∞，－2)
(－2,1)
(1,2)
(2，＋∞)
g(x)
－
＋
－
＋
由此可以画出函数图像的示意图如图所示．
由图可知x3－x2－4x＋4＜0的解集为(－∞，－2)∪(1,2)．
学科素养升级练
1.
解析：令g(x)＝(x－2)(x－5)，则f(x)＝g(x)－1，∴函数y＝f(x)的零点就是函数g(x)＝(x－2)(x－5)与函数y＝1图像交点的横坐标．在同一坐标系内画出g(x)＝(x－2)(x－5)的图像与y＝1的图像如图所示，结合图像知只有CD正确．故选CD.
答案：CD
2．解析：令g(x)＝|x2－9|，h(x)＝a＋2，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图像，如图所示．
由图可知当a＋2>9，即a>7时，两函数图像有2个交点，即函数f(x)有2个零点；当a＋2＝9，即a＝7时，两函数图像有3个交点，即函数f(x)有3个零点；当0答案：4
3．解析：(1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5，显然有零点；
当m＋6≠0，即m≠－6时，
由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)
＝－36m－20≥0，得m≤－.
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数恒有零点．
综上，m≤－.
故m的取值范围是.
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，即＝－4，
∴－＝－4，解得m＝－3.
且当m＝－3时，
m＋6≠0，Δ>0符合题意，
∴m的值为－3.