第1课时 集合的概念及几种常见的数集
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
元素与集合的概念
1.下列对象能构成集合的是( )
A．高一年级全体较胖的学生
B．sin
30°，sin
45°，cos
60°，1
C．全体很大的自然数
D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
2．下列说法中，正确的有________．(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，如果a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合.
知识点二
元素与集合的关系
3.给出下列关系：
①∈R；②?Q；③|－3|?N；④|－|∈Q；⑤0?N.其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
5．用适当的符号填空：
已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A；－5________A.
知识点三
集合中元素特性的应用
6.由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
7．若由a2,2
019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是( )
A．a＝0
B．a＝2
019
C．a＝1
D．a＝0或a＝2
019
8．已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________.
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．以下各组对象不能组成集合的是( )
A．中国古代四大发明
B．地球上的小河流
C．方程x2－7＝0的实数解
D．周长为10
cm的三角形
2．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是( )
A．5
B．6
C．7
D．8
3．下列说法中，正确的个数是( )
①集合N
中最小的数是1；
②若－a?N
，则a∈N
；
③若a∈N
，b∈N
，则a＋b的最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集中包含两个元素2,2.
A．0
B．1
C．2
D．3
4．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A且x?B，则x等于( )
A．2
B．3
C．4
D．6
5．(易错题)已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为( )
A．－2
B．－1
C．－1或－2
D．－2或－3
6．已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R，若1?A，2∈A，则( )
A．a＞－4
B．a≤－2
C．－4＜a＜－2
D．－4＜a≤－2
二、填空题
7．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a＝________.
8．下列说法中：①集合N与集合N
是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．
9．已知集合A中的元素满足x＝3k－1，k∈Z，则－1________A，－34________A．(填“∈”或“?”)
三、解答题
10．(探究题)已知集合A由0,1，x三个元素组成，且x2∈A，求实数x的值．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成集合A，则( )
A．2∈A
B．3∈A
C．－1∈A
D．1∈A
2．已知集合A由a，b，c三个元素组成，集合B由0,1,2三个元素组成，且集合A与集合B相等．下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．
3．(学科素养—逻辑推理)设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．求证：
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
第1课时 集合的概念及几种常见的数集
必备知识基础练
1．解析：由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin
30°＝cos
60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.
答案：D
2．解析：①不正确．book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.
②正确．集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．
③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．
答案：②
3．解析：①②正确；③④⑤不正确．
答案：B
4．解析：∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0,4}满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1,3}满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.
答案：C
5．解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－?Z.所以－5?A.
答案：∈ ?
6．解析：对a进行分类讨论：①当a＝0时，四个数都为0，只含有一个元素；②当a≠0时，含有两个元素a，－a，所以集合中最多含有2个元素．故选B.
答案：B
7．解析：若集合M中有两个元素，则a2≠2
019a.即a≠0，且a≠2
019.故选C.
答案：C
8．解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，
∴a≠1.
当a＝－1时，
集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．
∴a＝－1.
答案：－1
关键能力综合练
1．解析：因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．
答案：B
2．解析：根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7.
答案：C
3．解析：N
是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a?N
，a?N
，故②错误；若a∈N
，则a的最小值是1，同理，b∈N
，b的最小值也是1，所以当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性，知④错误．
答案：C
4．解析：集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意．
答案：B
5．解析：由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1，故选C.
答案：C
6．解析：∵1?A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.
又∵2∈A，∴2×2＋a＞0，a＞－4，
∴－4＜a≤－2.
答案：D
7．解析：若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0?A.故a＝2或4.
答案：2或4
8．解析：因为集合N
表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
答案：②④
9．解析：当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A.
答案：∈ ∈
10．解析：因为x2∈A，
所以x2＝0或x2＝1或x2＝x.
若x2＝0，则x＝0，此时A中三个元素为0,1,0，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时，集合A中三个元素为0,1,1，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当x＝－1时，集合A中三个元素分别为0,1，－1，符合题意．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，由以上可知，x＝0和x＝1都不符合题意．
综上所述，x＝－1.
学科素养升级练
1．解析：①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；
②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；
③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；
④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，
∴集合A由元素－1,3组成．
∴－1∈A.3∈A.
答案：BC
2．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，易知a≠0，b≠0，所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
答案：201
3．证明：(1)若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以＝－1∈A.
因为－1∈A，所以＝∈A.
因为∈A，所以＝2∈A.
所以A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数解．
所以a≠，所以集合A不可能是单元素集．第2课时 集合的表示
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
列举法表示集合
1.(1)方程＝0的所有实数根组成的集合；
(2)不大于10的质数集；
(3)一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合．
知识点二
描述法表示集合
2.用描述法表示下列集合：
(1)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合；
(2)所有被3除余1的整数的集合；
(3)使y＝有意义的实数x的集合．
知识点三
区间的概念
3.用区间表示下列数集．
(1){x|x≥2}＝________；
(2){x|3(3){x|x>1且x≠2}＝________.
知识点四
集合表示法的应用
4.下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
5．已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－2∈A，则k的取值范围是________．
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．方程组的解组成的集合是( )
A．{2,1}
B．(2,1)
C．{(2,1)}
D．{－1,2}
2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1}
B．{1}
C．{x＝1}
D．{x2－2x＋1＝0}
3．下列各组集合中，表示同一集合的是( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{3,2}，N＝{2,3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{3,2}，N＝{(3,2)}
4．已知M＝{x|x－1<}，那么( )
A．2∈M，－2∈M
B．2∈M，－2?M
C．2?M，－2?M
D．2?M，－2∈M
5．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1
B．3
C．5
D．9
6．(易错题)若集合A＝{x|ax2－8x＋16＝0，a∈R}中只有一个元素，则a的值为( )
A．1
B．4
C．0
D．0或1
二、填空题
7．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，则用列举法表示B＝________.
8．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
9．(探究题)给出下列说法：
①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为{(x，y)|x>0，y>0}；
②方程＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；
③集合{y|y＝x2－1，x∈R}与{y|y＝x－1，x∈R}是不相等的．
其中正确的是________(填序号)．
三、解答题
10．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是( )
A．x1x2∈A
B．x2x3∈B
C．x1＋x2∈B
D．x1＋x2＋x3∈A
2．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．(答案不唯一)
3．(学科素养—数学运算)设集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}．
(1)当a＝2时，试求出集合A；
(2)a为何值时，集合A中只有一个元素；
(3)a为何值时，集合A中有两个元素．
第2课时 集合的表示
必备知识基础练
1．解析：(1)方程＝0的实数根为2，
故其实数根组成的集合为{2}．
(2)不大于10的质数有2,3,5,7，故不大于10的质数集为{2,3,5,7}．
(3)由解得
故一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合为{(1,1)}．
2．解析：(1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．
(2)因为被3除余1的整数可表示为3n＋1，n∈Z，所以所有被3除余1的整数的集合为{x|x＝3n＋1，n∈Z}．
(3)要使y＝有意义，
则x2＋x－6≠0.
由x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3.
所以使y＝有意义的实数x的集合为{x|x≠2且x≠－3，x∈R}．
3．解析：由区间表示法知：(1)[2，＋∞)；(2)(3,4]；
(3)(1,2)∪(2，＋∞)．
答案：(1)[2，＋∞) (2)(3,4] (3)(1,2)∪(2，＋∞)
4．解析：选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{ }”与“全体”意思重复．
答案：D
5．解析：∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1.
答案：k<1
关键能力综合练
1．解析：先求出方程组的解再写成集合的形式．注意集合的元素是有序实数对(2,1)，故选C.
答案：C
2．解析：∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，选B.
答案：B
3．解析：由于集合中的元素具有无序性，故{3,2}＝{2,3}．
答案：B
4．解析：若x＝2，则x－1＝1<，所以2∈M；若x＝－2，则x－1＝－3<，所以－2∈M.故选A.
答案：A
5．解析：根据已知条件，列表如下：
yx－y
x
0
1
2
0
0
－1
－2
1
1
0
－1
2
2
1
0
根据集合中元素的互异性，由上表可知B＝{0，－1，－2,1,2}，因此集合B中共含有5个元素．故选C.
答案：C
6．解析：①当a＝0时，原方程为16－8x＝0.
∴x＝2，此时A＝{2}；
②当a≠0时，由集合A中只有一个元素，
∴方程ax2－8x＋16＝0有两个相等实根，
则Δ＝64－64a＝0，即a＝1.
从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．
综上所述，实数a的值为0或1.故选D.
答案：D
7．解析：由题意，A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，依次计算出B中元素，用列举法表示可得B＝{4,9,16}，故答案为{4,9,16}．
答案：{4,9,16}
8．解析：∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；
当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.
∴B＝{0,1}．
答案：{0,1}
9．解析：对于①，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点(x，y)，所以①正确；对于②，方程＋|y＋2|＝0的解为解集为{(2，－2)}或，所以②不正确；对于③，因为集合{y|y＝x2－1，x∈R}等于集合{y|y≥－1}，集合{y|y＝x－1，x∈R}等于R，故这两个集合不相等，所以③正确．
答案：①③
10．解析：①若a＋3＝1，则a＝－2，
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；
当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2,0,1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
学科素养升级练
1．解析：由题意易知集合A表示奇数集，集合B表示偶数集．又由x1，x2∈A，x3∈B，则x1，x2是奇数，x3是偶数．对于A，两个奇数的积为奇数，即x1x2∈A，故A正确；对于B，一奇一偶两个数的积为偶数，即x2x3∈B，故B正确；对于C，两个奇数的和为偶数，即x1＋x2∈B，故C正确；对于D，两个奇数与一个偶数的和为偶数，即x1＋x2＋x3∈B，故D错误．
答案：ABC
2．解析：由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等．
答案：不是
3．解析：集合A是方程x2＋ax＋1＝0的解构成的集合．
(1)当a＝2时，x2＋2x＋1＝0，即(x＋1)2＝0，x＝－1，所以A＝{－1}．
(2)A中只有一个元素，即方程x2＋ax＋1＝0有两个相等实根，由Δ＝a2－4＝0，得a＝±2.
所以a＝±2时，集合A中只有一个元素．
(3)A中有两个元素，即方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实根，由Δ＝a2－4>0，得a<－2或a>2.
所以a<－2或a>2时，集合A中有两个元素．
