人教B版（2019）高中数学 必修第一册同步训练 1.2.1　命题与量词word版含答案

1.2.1　命题与量词
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
命题的判断
1.下列语句为命题的是(　　)
A．x－1＝0
B．2＋3＝8
C．你会说英语吗？
D．这是一棵大树
2．下列语句为命题的有________(填序号)．
①一个数不是正数就是负数；
②梯形是不是平面图形呢？
③22
019是一个很大的数；
④4是集合{2,3,4}中的元素；
⑤作△ABC≌△A′B′C′.
知识点二
全称量词和全称量词命题
3.下列命题中全称量词命题的个数是(　　)
①任意一个自然数都是正整数；
②所有的素数都是奇数；
③有的正方形不是菱形；
④三角形的内角和是180°.
A．0
B．1
C．2
D．3
4．试判断下列全称量词命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2＞0；
(2)?x∈N，x4≥1；
(3)?x∈R，x2＋1≥2.
5．已知命题“?x∈[1,2]，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
知识点三
存在量词与存在量词命题
6.下列命题中存在量词命题的个数是(　　)
①至少有一个偶数是质数；
②?x∈R，x2≤0；
③有的奇数能被2整除．
A．0
B．1
C．2
D．3
7．判断下列存在量词命题的真假．
(1)有的集合中不含有任何元素．
(2)存在对角线不互相垂直的菱形．
(3)?x∈R，满足3x2＋2>0.
(4)有些整数只有两个正因数．
8．若?x∈R，x2＋2x＋a＝0，求实数a的取值范围．
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．下列语句中，命题的个数是(　　)
①空集是任何集合的子集；②求证9是无理数；③若x∈R，则x2－x＋1＝0；④面积相等的三角形是全等三角形．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．既是存在量词命题，又是真命题的是(　　)
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个x∈R，使x2≤0
C．两个无理数的和是无理数
D．存在一个负数x，使>2
3．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是(　　)
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．存在x∈R，使得x2＝x
D．二次函数y＝x2－ax－1的图像与x轴恒有交点
4．下面四个命题：
①?x∈R，x2－3x＋2>0；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.
其中真命题的个数为(　　)
A．3
B．2
C．1
D．0
5．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|x>3}，则下列命题中真命题的个数是(　　)
①?m∈A，m?B；②?m∈B，m?A；③?m∈A，m∈B；④?m∈B，m∈A.
A．4
B．3
C．2
D．1
6．(易错题)已知命题p：?x∈R，x2＋x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>
B．a≤
C．a<
D．a≥
二、填空题
7．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“?”或“?”符号表示为________．
8．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.
既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号)．
9．(探究题)已知命题p：?x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
10．用量词符号“?”“?”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)下列命题中，是全称量词命题且为真命题的有(　　)
A．?x∈R，x2－x＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C．?x∈R，x2＋2x＋2≤0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
2．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．
3．(学科素养—逻辑推理)已知命题p：“?x∈[－1,1]，2x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，x2＋2x＋2－a＝0”，若命题p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围．
1．2.1　命题与量词
必备知识基础练
1．解析：A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．
答案：B
2．解析：①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句．
答案：①④
3．解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，③是存在量词命题，故有三个全称量词命题．
答案：D
4．解析：(1)由于?x∈R，都有x2≥0.因而有x2＋2≥2＞0.即x2＋2＞0，所以命题“?x∈R，x2＋2＞0”是真命题．
(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题．
(3)由于0∈R，当x＝0时，x2＋1≥2不成立，所以“?x∈R，x2＋1≥2”是假命题．
5．解析：∵“?x∈[1,2]，x2－m≥0”成立，
∴x2－m≥0在x∈[1,2]恒成立．
又y＝x2－m在[1,2]上单调递增，
∴y＝x2－m的最小值为1－m.
∴1－m≥0.解得m≤1.
∴实数m的取值范围是(－∞，1]．
6．解析：①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号“?”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．
答案：D
7．解析：(1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．
(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．
(3)?x∈R，有3x2＋2>0，因此存在量词命题“?x∈R,3x2＋2>0”是真命题．
(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．
8．解析：因为?x∈R，x2＋2x＋a＝0，即关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有解，所以Δ＝22－4×1×a＝4－4a≥0.解得a≤1.
故实数a的取值范围为(－∞，1]．
关键能力综合练
1．解析：①③④是命题，②不是命题．故选C.
答案：C
2．解析：A，C为全称量词命题．B是存在量词命题，当x＝0时，x2＝0，此命题正确．D显然是假命题．故选B.
答案：B
3．解析：A中含有全称量词“任意的”，故是全称量词命题．由于a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题．B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线不一定相等，所以B是假命题．C是存在量词命题．故选D.
答案：D
4．解析：当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故②为假命题；因为x2＋1＞0(x∈R)恒成立，故③为假命题；原不等式可化为x2－2x＋1＞0，即(x－1)2＞0，当x＝1时，(x－1)2＝0，故④为假命题．故选D.
答案：D
5．解析：因为A＝{y|y＝x2＋2}＝{y|y≥2}，B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集，所以①④为真命题，②③为假命题，所以真命题的个数为2.故选C.
答案：C
6．解析：假设命题p为真，则?x∈R，x2＋x＋a＝0，即关于x的一元二次方程x2＋x＋a＝0有解，所以Δ＝12－4a≥0.解得a≤.因为命题p是假命题，所以a>.故选A.
答案：A
7．解析：命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“?”符号可以表示为?x≤0，x3≤0.
答案：?x≤0，x3≤0
8．解析：①是全称量词命题，是真命题；②是全称量词命题，是真命题；③含存在量词“有的”，是存在量词命题，是真命题；④是存在量词命题，是真命题；⑤是存在量词命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.
答案：①②　③④
9．解析：由题意可得a答案：(－∞，－1)
10．解析：(1)?x∈R，x2＋x＋1>0；真命题．
(2)?a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．
如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个．
(3)?x，y∈Z,3x－2y＝10；真命题．
(4)?x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题．
学科素养升级练
1．解析：因为x2－x＋＝2≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为假命题，且为存在量词命题，BD全称量词命题，且为真命题，故选BD.
答案：BD
2．解析：当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；
当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1故0综上所述，实数a的取值范围是a<1.
答案：{a|a<1}
3．解析：若命题p为真命题，即?x∈[－1,1]，使a≤2x2成立，即a小于2x2的最大值，所以a≤2.
若命题q为真命题，则关于x的方程x2＋2x＋2－a＝0有实根．
所以Δ＝4－4×1×(2－a)≥0.解得a≥1.所以实数a的取值范围为[1,2]．